Đánh giá mức độ phổ biến của yêu cầu "Định lý Fermat - một cách chứng minh ngắn gọn", bài toán này thực sự được nhiều người quan tâm. Định lý này được Pierre de Fermat phát biểu lần đầu tiên vào năm 1637 trên rìa của một bản sao Số học, nơi ông tuyên bố rằng ông có một nghiệm quá lớn để phù hợp với cạnh.
Bằng chứng thành công đầu tiên được xuất bản vào năm 1995 - đó là bằng chứng hoàn chỉnh cho Định lý Fermat của Andrew Wiles. Nó đã được mô tả là "tiến bộ đáng kinh ngạc" và khiến Wiles nhận được Giải thưởng Abel vào năm 2016. Mặc dù được mô tả tương đối ngắn gọn, việc chứng minh định lý Fermat cũng chứng minh được phần lớn định lý môđun và mở ra cách tiếp cận mới cho nhiều vấn đề khác và các phương pháp hiệu quả để nâng môđun. Những thành tựu này có nền toán học tiên tiến 100 năm sau. Ngày nay, việc chứng minh định lý nhỏ Fermat không phải làlà một điều gì đó khác thường.
Vấn đề chưa được giải quyết đã kích thích sự phát triển của lý thuyết số đại số trong thế kỷ 19 và việc tìm kiếm bằng chứng cho định lý môđun trong thế kỷ 20. Đây là một trong những định lý đáng chú ý nhất trong lịch sử toán học, và cho đến khi chứng minh được phép chia đầy đủ của Định lý cuối cùng của Fermat, nó đã được ghi vào sách kỷ lục Guinness là "vấn đề toán học khó nhất", một trong những đặc điểm nổi bật của nó là nó có số lượng lớn nhất các bằng chứng không thành công.
Bối cảnh lịch sử
Phương trình Pitago x2+ y2=z2có vô số dương nghiệm nguyên của x, y và z. Những giải pháp này được gọi là bộ ba Pythagore. Vào khoảng năm 1637, Fermat viết trên lề cuốn sách rằng phương trình tổng quát hơn a + b =c không có các giải pháp ở dạng số tự nhiên nếu n là số nguyên lớn hơn 2. Mặc dù bản thân Fermat đã tuyên bố có giải pháp cho vấn đề của mình, nhưng ông không để lại bất kỳ chi tiết nào về cách chứng minh của nó. Bằng chứng cơ bản của định lý Fermat, được tuyên bố bởi người tạo ra nó, đúng hơn là phát minh kiêu hãnh của ông. Cuốn sách của nhà toán học vĩ đại người Pháp được phát hiện 30 năm sau khi ông qua đời. Phương trình này, được gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, vẫn chưa được giải đáp trong toán học trong ba thế kỷ rưỡi.
Định lý cuối cùng đã trở thành một trong những vấn đề chưa được giải quyết đáng chú ý nhất trong toán học. Nỗ lực chứng minh điều này đã gây ra sự phát triển đáng kể của lý thuyết số, và với đoạnthời gian, định lý cuối cùng của Fermat được biết đến như một vấn đề chưa được giải quyết trong toán học.
Lược sử Bằng chứng
Nếu n=4, như đã được chứng minh bởi chính Fermat, thì nó đủ để chứng minh định lý cho các chỉ số n là số nguyên tố. Trong hai thế kỷ tiếp theo (1637-1839), phỏng đoán chỉ được chứng minh cho các số nguyên tố 3, 5 và 7, mặc dù Sophie Germain đã cập nhật và chứng minh một cách tiếp cận áp dụng cho toàn bộ các số nguyên tố. Vào giữa thế kỷ 19, Ernst Kummer đã mở rộng điều này và chứng minh định lý cho tất cả các số nguyên tố thông thường, theo đó các số nguyên tố bất thường được phân tích riêng lẻ. Dựa trên công trình của Kummer và sử dụng nghiên cứu máy tính phức tạp, các nhà toán học khác đã có thể mở rộng lời giải của định lý, với mục tiêu bao gồm tất cả các số mũ chính lên đến bốn triệu, nhưng bằng chứng cho tất cả các số mũ vẫn chưa có sẵn (nghĩa là các nhà toán học thường được coi là lời giải của định lý không thể, cực kỳ khó hoặc không thể đạt được với kiến thức hiện tại).
Tác phẩm của Shimura và Taniyama
Năm 1955, các nhà toán học Nhật Bản Goro Shimura và Yutaka Taniyama nghi ngờ rằng có mối liên hệ giữa đường cong elliptic và dạng mô-đun, hai nhánh toán học rất khác nhau. Vào thời điểm đó, được gọi là giả thuyết Taniyama-Shimura-Weyl và (cuối cùng) là định lý mô đun, nó tồn tại tự nó, không có mối liên hệ rõ ràng nào với định lý cuối cùng của Fermat. Bản thân nó đã được mọi người coi là một định lý toán học quan trọng, nhưng nó được coi là không thể chứng minh (giống như định lý Fermat). Tại đóĐồng thời, việc chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat (bằng cách chia và áp dụng các công thức toán học phức tạp) đã được thực hiện chỉ nửa thế kỷ sau.
Năm 1984, Gerhard Frey nhận thấy mối liên hệ rõ ràng giữa hai vấn đề trước đây không liên quan và chưa được giải quyết. Một xác nhận hoàn toàn rằng hai định lý có liên quan chặt chẽ với nhau được công bố vào năm 1986 bởi Ken Ribet, người dựa trên một chứng minh một phần của Jean-Pierre Serra, người đã chứng minh tất cả trừ một phần, được gọi là "giả thuyết epsilon". Nói một cách đơn giản, những công trình này của Frey, Serra và Ribe đã chỉ ra rằng nếu định lý môđun có thể được chứng minh, ít nhất là đối với một loại đường cong elip có thể bán được, thì chứng minh của định lý cuối cùng của Fermat cũng sẽ sớm được phát hiện. Bất kỳ giải pháp nào có thể mâu thuẫn với định lý cuối cùng của Fermat cũng có thể được sử dụng để mâu thuẫn với định lý mô đun. Do đó, nếu định lý môđun trở thành đúng, thì theo định nghĩa không thể có lời giải mâu thuẫn với định lý cuối cùng của Fermat, có nghĩa là nó đáng lẽ phải sớm được chứng minh.
Mặc dù cả hai định lý đều là những bài toán khó trong toán học, được coi là không thể giải được, nhưng công việc của hai người Nhật Bản là gợi ý đầu tiên về cách có thể mở rộng và chứng minh định lý cuối cùng của Fermat cho tất cả các số, không chỉ một số. Điều quan trọng đối với các nhà nghiên cứu đã chọn chủ đề nghiên cứu là thực tế là, trái ngược với định lý cuối cùng của Fermat, định lý mô đun là lĩnh vực nghiên cứu hoạt động chính, màbằng chứng đã được phát triển, và không chỉ là sự kỳ quặc về lịch sử, vì vậy thời gian dành cho công việc của cô ấy có thể được biện minh từ quan điểm chuyên môn. Tuy nhiên, sự đồng thuận chung là việc giải quyết phỏng đoán Taniyama-Shimura được chứng minh là không phù hợp.
Định lý cuối cùng của Farm: Chứng minh của Wiles
Khi biết rằng Ribet đã chứng minh lý thuyết của Frey là đúng, nhà toán học người Anh Andrew Wiles, người đã quan tâm đến Định lý cuối cùng của Fermat từ khi còn nhỏ và có kinh nghiệm làm việc với các đường cong elliptic và các miền liền kề, đã quyết định cố gắng chứng minh Taniyama-Shimura Phỏng đoán như một cách để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Năm 1993, sáu năm sau khi công bố mục tiêu của mình, trong khi bí mật nghiên cứu vấn đề giải định lý, Wiles đã chứng minh được một phỏng đoán liên quan, từ đó sẽ giúp ông chứng minh định lý cuối cùng của Fermat. Tài liệu của Wiles có kích thước và phạm vi rất lớn.
Một lỗ hổng đã được phát hiện trong một phần của bài báo gốc của anh ấy trong quá trình đánh giá đồng cấp và cần thêm một năm cộng tác với Richard Taylor để cùng giải định lý. Kết quả là, chứng minh cuối cùng của Wiles về Định lý cuối cùng của Fermat sẽ không còn lâu nữa. Năm 1995, nó được xuất bản ở quy mô nhỏ hơn nhiều so với công trình toán học trước đây của Wiles, minh chứng rằng ông đã không nhầm lẫn trong các kết luận trước đây của mình về khả năng chứng minh định lý. Thành tích của Wiles đã được công bố rộng rãi trên báo chí và phổ biến trên sách báo và các chương trình truyền hình. Các phần còn lại của phỏng đoán Taniyama-Shimura-Weil, hiện đã được chứng minh vàđược gọi là định lý môđun, sau đó đã được chứng minh bởi các nhà toán học khác, những người đã xây dựng dựa trên công trình của Wiles từ năm 1996 đến năm 2001. Với thành tích của mình, Wiles đã được vinh danh và nhận được nhiều giải thưởng, bao gồm cả giải thưởng Abel năm 2016.
Wiles 'chứng minh định lý cuối cùng của Fermat là một trường hợp đặc biệt của việc giải định lý môđun cho đường cong elliptic. Tuy nhiên, đây là trường hợp nổi tiếng nhất của một phép toán quy mô lớn như vậy. Cùng với việc giải định lý Ribe, nhà toán học người Anh cũng thu được một chứng minh cho định lý cuối cùng của Fermat. Định lý cuối cùng và Định lý mô đun của Fermat hầu như không thể chứng minh được bởi các nhà toán học hiện đại, nhưng Andrew Wiles đã có thể chứng minh cho giới khoa học thấy rằng ngay cả các chuyên gia cũng có thể sai.
Wyles lần đầu tiên công bố khám phá của mình vào thứ Tư ngày 23 tháng 6 năm 1993 tại một bài giảng của Cambridge có tiêu đề "Các dạng mô-đun, đường cong Elliptic và biểu diễn Galois". Tuy nhiên, vào tháng 9 năm 1993, người ta phát hiện ra rằng các tính toán của ông có một sai sót. Một năm sau, vào ngày 19 tháng 9 năm 1994, trong cái mà ông gọi là "thời điểm quan trọng nhất trong cuộc đời làm việc của mình", Wiles tình cờ phát hiện ra một điều đã cho phép ông sửa lời giải cho bài toán đến mức nó có thể thỏa mãn toán học. cộng đồng.
Mô tả công việc
Chứng minh Định lý Fermat của Andrew Wiles sử dụng nhiều phương pháp từ hình học đại số và lý thuyết số và có nhiều phân nhánh trong nhữnglĩnh vực toán học. Ông cũng sử dụng các cấu trúc tiêu chuẩn của hình học đại số hiện đại, chẳng hạn như loại lược đồ và lý thuyết Iwasawa, cũng như các phương pháp khác của thế kỷ 20 mà Pierre de Fermat không có.
Hai bài báo chứa bằng chứng dài 129 trang và được viết trong suốt bảy năm. John Coates đã mô tả khám phá này là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của lý thuyết số, và John Conway gọi nó là thành tựu toán học lớn của thế kỷ 20. Wiles, để chứng minh định lý cuối cùng của Fermat bằng cách chứng minh định lý môđun cho trường hợp đặc biệt của đường cong elliptic bán nguyệt, đã phát triển các phương pháp mạnh mẽ để nâng môđun và mở ra cách tiếp cận mới cho nhiều vấn đề khác. Vì giải được định lý cuối cùng của Fermat, ông đã được phong tước hiệp sĩ và nhận được các giải thưởng khác. Khi được biết Wiles đã giành được giải thưởng Abel, Viện Hàn lâm Khoa học Na Uy đã mô tả thành tích của ông là "một bằng chứng thú vị và sơ đẳng về định lý cuối cùng của Fermat."
Nó như thế nào
Một trong những người đã xem lại bản thảo gốc của Wiles với lời giải cho định lý là Nick Katz. Trong quá trình xem xét của mình, ông đã hỏi người Anh một số câu hỏi để làm rõ khiến Wiles thừa nhận rằng công việc của ông rõ ràng có một lỗ hổng. Trong một phần quan trọng của bằng chứng, một lỗi đã xảy ra khiến ước tính thứ tự của một nhóm cụ thể: hệ thống Euler được sử dụng để mở rộng phương pháp Kolyvagin và Flach không hoàn chỉnh. Tuy nhiên, sai lầm không làm cho công việc của ông trở nên vô ích - mỗi tác phẩm của Wiles đều rất có ý nghĩa và sáng tạo, cũng như nhiều tác phẩm khác của ông.những phát triển và phương pháp mà ông đã tạo ra trong quá trình làm việc của mình và chỉ ảnh hưởng đến một phần của bản thảo. Tuy nhiên, công trình gốc này, xuất bản năm 1993, không thực sự có bằng chứng về Định lý cuối cùng của Fermat.
Wyles đã dành gần một năm để cố gắng tìm lại lời giải cho định lý, đầu tiên là một mình và sau đó là sự cộng tác của học trò cũ Richard Taylor, nhưng tất cả dường như đều vô ích. Vào cuối năm 1993, tin đồn đã lan truyền rằng bằng chứng của Wiles đã thất bại trong quá trình thử nghiệm, nhưng sự thất bại đó nghiêm trọng như thế nào thì không ai biết. Các nhà toán học bắt đầu gây áp lực buộc Wiles phải tiết lộ chi tiết công việc của anh ta, cho dù nó đã được hoàn thành hay chưa, để cộng đồng các nhà toán học rộng lớn hơn có thể khám phá và sử dụng bất cứ điều gì anh ta có thể đạt được. Thay vì nhanh chóng sửa chữa sai lầm của mình, Wiles chỉ phát hiện ra những khía cạnh khó khăn bổ sung trong việc chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, và cuối cùng nhận ra nó khó khăn như thế nào.
Wyles nói rằng vào sáng ngày 19 tháng 9 năm 1994, anh ấy đang đứng trước bờ vực của sự từ bỏ và bỏ cuộc, và gần như cam chịu vì thất bại. Anh đã sẵn sàng xuất bản công việc còn dang dở của mình để những người khác có thể xây dựng nó và tìm ra chỗ anh đã sai. Nhà toán học người Anh quyết định cho mình một cơ hội cuối cùng và phân tích định lý lần cuối để cố gắng tìm hiểu những lý do chính khiến phương pháp của ông không hiệu quả, khi ông đột nhiên nhận ra rằng phương pháp Kolyvagin-Flac sẽ không hoạt động cho đến khi ôngcũng sẽ bao gồm lý thuyết của Iwasawa trong quá trình chứng minh, làm cho nó hoạt động.
Vào ngày 6 tháng 10, Wiles yêu cầu ba đồng nghiệp (bao gồm cả F altins) xem xét lại công trình mới của mình, và vào ngày 24 tháng 10 năm 1994, anh đã gửi hai bản thảo - "Đường cong elip mô-đun và định lý cuối cùng của Fermat" và "Tính chất lý thuyết của vòng của một số đại số Hecke ", phần thứ hai mà Wiles đồng viết với Taylor và chứng minh rằng các điều kiện nhất định đã được đáp ứng để biện minh cho bước đã sửa trong bài viết chính.
Hai bài báo này đã được xem xét và cuối cùng được xuất bản thành một ấn bản toàn văn trong Biên niên sử Toán học tháng 5 năm 1995. Các tính toán mới của Andrew đã được phân tích rộng rãi và cuối cùng được cộng đồng khoa học chấp nhận. Trong những bài báo này, định lý môđun cho các đường cong elliptic bán nguyệt được thiết lập - bước cuối cùng để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat, 358 năm sau khi nó được tạo ra.
Lịch sử của Vấn đề Vĩ đại
Giải định lý này đã được coi là vấn đề lớn nhất trong toán học trong nhiều thế kỷ. Năm 1816 và năm 1850, Viện Hàn lâm Khoa học Pháp đã trao giải thưởng cho một chứng minh tổng quát của Định lý cuối cùng của Fermat. Năm 1857, Học viện trao tặng 3.000 franc và huy chương vàng cho Kummer vì nghiên cứu của ông về các con số lý tưởng, mặc dù ông đã không đăng ký giải thưởng. Một giải thưởng khác đã được trao cho ông vào năm 1883 bởi Học viện Brussels.
Giải thưởng Wolfskell
Năm 1908, nhà công nghiệp và nhà toán học nghiệp dư người Đức Paul Wolfskel đã để lại 100.000 dấu vàng (một số tiền lớn vào thời điểm đó)Học viện Khoa học Göttingen, để số tiền này trở thành giải thưởng cho việc chứng minh hoàn chỉnh định lý cuối cùng của Fermat. Vào ngày 27 tháng 6 năm 1908, Viện Hàn lâm đã công bố chín điều lệ giải thưởng. Trong số những điều khác, các quy tắc này yêu cầu bằng chứng phải được xuất bản trên một tạp chí được bình duyệt. Giải thưởng chỉ được trao hai năm sau khi công bố. Cuộc thi sẽ kết thúc vào ngày 13 tháng 9 năm 2007 - khoảng một thế kỷ sau khi nó bắt đầu. Vào ngày 27 tháng 6 năm 1997, Wiles nhận được tiền thưởng của Wolfschel và sau đó là 50.000 đô la khác. Vào tháng 3 năm 2016, ông đã nhận được 600.000 € từ chính phủ Na Uy như một phần của Giải thưởng Abel cho "một bằng chứng đáng kinh ngạc về định lý cuối cùng của Fermat với sự trợ giúp của phỏng đoán mô-đun cho các đường cong elip có thể bán được, mở ra một kỷ nguyên mới trong lý thuyết số." Đó là chiến thắng thế giới của một người Anh khiêm tốn.
Trước chứng minh của Wiles, định lý Fermat, như đã đề cập trước đó, được coi là hoàn toàn không thể giải được trong nhiều thế kỷ. Hàng ngàn bằng chứng không chính xác vào nhiều thời điểm khác nhau đã được trình bày cho ủy ban Wolfskell, lên tới xấp xỉ 10 feet (3 mét) thư từ. Chỉ trong năm đầu tiên giải thưởng tồn tại (1907-1908), 621 đơn đăng ký đã được gửi yêu cầu giải được định lý, mặc dù đến những năm 1970, số lượng đơn đăng ký của chúng đã giảm xuống còn khoảng 3-4 đơn đăng ký mỗi tháng. Theo F. Schlichting, người phản biện của Wolfschel, hầu hết các bằng chứng đều dựa trên các phương pháp cơ bản được dạy trong trường học và thường được trình bày là "những người có trình độ kỹ thuật nhưng sự nghiệp không thành công". Theo nhà sử học toán học Howard Aves, cuối cùngĐịnh lý Fermat đã tạo nên một kỷ lục - đây là định lý có số lượng chứng minh sai lớn nhất.
Vòng nguyệt quế của Farm đã đến tay người Nhật
Như đã đề cập trước đó, vào khoảng năm 1955, các nhà toán học Nhật Bản Goro Shimura và Yutaka Taniyama đã phát hiện ra mối liên hệ có thể có giữa hai nhánh toán học rõ ràng hoàn toàn khác nhau - đường cong elliptic và dạng mô-đun. Định lý mô đun kết quả (khi đó được gọi là giả thuyết Taniyama-Shimura) nói rằng mọi đường cong elliptic đều là mô đun, nghĩa là nó có thể được kết hợp với một dạng mô đun duy nhất.
Lý thuyết ban đầu bị bác bỏ vì khó có thể xảy ra hoặc mang tính suy đoán cao, nhưng đã được xem xét nghiêm túc hơn khi nhà lý thuyết số André Weil tìm thấy bằng chứng hỗ trợ cho kết luận của người Nhật. Do đó, giả thuyết thường được gọi là giả thuyết Taniyama-Shimura-Weil. Cô ấy đã trở thành một phần của chương trình Langlands, đây là danh sách các giả thuyết quan trọng cần được chứng minh trong tương lai.
Ngay cả sau khi xem xét kỹ lưỡng, phỏng đoán đã được các nhà toán học hiện đại công nhận là cực kỳ khó, hoặc có lẽ không thể tiếp cận để chứng minh. Giờ đây, định lý đặc biệt này đang chờ đợi Andrew Wiles, người có thể khiến cả thế giới ngạc nhiên với lời giải của nó.
Định lý Fermat: Chứng minh của Perelman
Mặc dù là huyền thoại phổ biến, nhà toán học người Nga Grigory Perelman, với tất cả thiên tài của mình, không liên quan gì đến định lý Fermat. Điều này, tuy nhiên, không có cách nào làm giảm giá trị của nó.nhiều đóng góp cho cộng đồng khoa học.
