Georg Kantor (ảnh được đưa ra sau trong bài) là một nhà toán học người Đức, người đã tạo ra lý thuyết tập hợp và đưa ra khái niệm về số vô hạn, lớn vô hạn, nhưng khác xa nhau. Ông cũng xác định số thứ tự và số thứ tự và tạo ra số học của chúng.
Georg Kantor: tiểu sử ngắn
Sinh tại St. Petersburg vào ngày 1845-03-03. Cha của anh là một người Dane theo đạo Tin lành, Georg-Valdemar Kantor, người đã tham gia vào lĩnh vực thương mại, bao gồm cả trên sàn giao dịch chứng khoán. Mẹ của anh là Maria Bem là một người Công giáo và xuất thân trong một gia đình nhạc sĩ lỗi lạc. Khi cha của Georg lâm bệnh vào năm 1856, gia đình chuyển đầu tiên đến Wiesbaden và sau đó đến Frankfurt để tìm kiếm một khí hậu ôn hòa hơn. Tài năng toán học của cậu bé đã bộc lộ ngay trước sinh nhật lần thứ 15 khi đang học tại các trường tư thục và phòng tập thể dục ở Darmstadt và Wiesbaden. Cuối cùng, Georg Cantor đã thuyết phục được cha mình về ý định trở thành nhà toán học chứ không phải kỹ sư.
Sau một nghiên cứu ngắn tại Đại học Zurich, năm 1863 Kantor chuyển đến Đại học Berlin để nghiên cứu vật lý, triết học và toán học. Có anh ấyđã dạy:
- Karl Theodor Weierstrass, người có chuyên môn về phân tích có lẽ có ảnh hưởng lớn nhất đến Georg;
- Ernst Eduard Kummer, người đã dạy số học cao hơn;
- Leopold Kronecker, nhà lý thuyết số sau này phản đối Cantor.
Sau khi dành một học kỳ tại Đại học Göttingen vào năm 1866, năm sau Georg viết luận án tiến sĩ có tựa đề "Trong toán học, nghệ thuật đặt câu hỏi có giá trị hơn giải quyết vấn đề", liên quan đến một vấn đề mà Carl Friedrich Gauss đã gặp phải. vẫn chưa được giải đáp trong Disquisitiones Arithmeticae (1801) của ông. Sau một thời gian ngắn giảng dạy tại Trường Nữ sinh Berlin, Kantor bắt đầu làm việc tại Đại học Halle, nơi ông vẫn làm việc cho đến cuối đời, đầu tiên là một giáo viên, từ năm 1872 với tư cách là trợ lý giáo sư, và từ năm 1879 với tư cách là giáo sư.
Nghiên cứu
Vào đầu một loạt 10 bài báo từ năm 1869 đến năm 1873, Georg Cantor đã xem xét lý thuyết số. Tác phẩm phản ánh niềm đam mê của ông đối với chủ đề này, các nghiên cứu của ông về Gauss và ảnh hưởng của Kronecker. Theo gợi ý của Heinrich Eduard Heine, đồng nghiệp của Cantor ở Halle, người đã nhận ra tài năng toán học của ông, ông đã chuyển sang lý thuyết về chuỗi lượng giác, trong đó ông mở rộng khái niệm về số thực.
Dựa trên công trình nghiên cứu về hàm của một biến phức của nhà toán học người Đức Bernhard Riemann vào năm 1854, năm 1870 Kantor đã chỉ ra rằng một hàm như vậy có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất - bằng chuỗi lượng giác. Xem xét một tập hợp các số (điểm) màsẽ không mâu thuẫn với quan điểm như vậy, trước tiên, vào năm 1872, ông đã dẫn dắt ông đến định nghĩa số vô tỷ dưới dạng chuỗi hội tụ của các số hữu tỉ (phân số của số nguyên) và xa hơn là khi bắt đầu nghiên cứu về công trình của cuộc đời ông, lý thuyết tập hợp và khái niệm số vô hạn.
Lý thuyết Đặt
Georg Cantor, người có lý thuyết tập hợp bắt nguồn từ thư từ trao đổi với nhà toán học của Học viện Kỹ thuật Braunschweig Richard Dedekind, là bạn của ông từ thời thơ ấu. Họ kết luận rằng các tập hợp, dù hữu hạn hay vô hạn, đều là tập hợp các phần tử (ví dụ: số, {0, ± 1, ± 2…}) Có một thuộc tính nhất định trong khi vẫn giữ được tính riêng lẻ của chúng. Nhưng khi Georg Cantor sử dụng thư từ 1-1 (ví dụ: {A, B, C} đến {1, 2, 3}) để nghiên cứu các đặc điểm của chúng, ông nhanh chóng nhận ra rằng chúng khác nhau về mức độ thành viên, thậm chí nếu chúng là tập hợp vô hạn, tức là tập hợp, một phần hoặc tập hợp con trong đó bao gồm nhiều đối tượng như chính nó. Phương pháp của ông đã sớm cho kết quả đáng kinh ngạc.
Năm 1873, Georg Cantor (nhà toán học) đã chỉ ra rằng các số hữu tỉ, mặc dù vô hạn, có thể đếm được vì chúng có thể được đặt dưới dạng tương ứng 1-1 với các số tự nhiên (tức là 1, 2, 3, v.v.). d.). Ông đã chỉ ra rằng tập hợp các số thực, bao gồm các số vô tỷ và hữu tỷ, là vô hạn và không đếm được. Nghịch lý hơn, Cantor đã chứng minh rằng tập hợp tất cả các số đại số chứa càng nhiều phần tửCó bao nhiêu là tập hợp của tất cả các số nguyên và các số siêu việt, không phải là đại số, là một tập con của các số vô tỉ, không thể đếm được và do đó, số của chúng lớn hơn số nguyên và nên được coi là vô hạn.
Những người phản đối và ủng hộ
Nhưng bài báo của Kantor, trong đó lần đầu tiên ông đưa ra những kết quả này, đã không được xuất bản ở Krell, vì một trong những nhà phê bình, Kronecker, đã bị phản đối kịch liệt. Nhưng sau sự can thiệp của Dedekind, nó đã được xuất bản vào năm 1874 với tiêu đề "Về các tính chất đặc trưng của tất cả các số thực đại số."
Khoa học và đời sống riêng tư
Cùng năm, khi đi hưởng tuần trăng mật với vợ Wally Gutman ở Interlaken, Thụy Sĩ, Kantor đã gặp Dedekind, người đã nói một cách thuận lợi về lý thuyết mới của ông. Đồng lương của George ít ỏi, nhưng với số tiền của người cha mất năm 1863, ông đã xây được một ngôi nhà cho vợ và năm người con. Nhiều bài báo của ông đã được xuất bản tại Thụy Điển trên tạp chí Acta Mathematica mới, được biên tập và thành lập bởi Gesta Mittag-Leffler, người là một trong những người đầu tiên công nhận tài năng của nhà toán học người Đức.
Kết nối với siêu hình học
Lý thuyết của Cantor đã trở thành một chủ đề nghiên cứu hoàn toàn mới liên quan đến toán học của vô hạn (ví dụ chuỗi 1, 2, 3, v.v., và các tập hợp phức tạp hơn), phụ thuộc nhiều vào sự tương ứng 1-1. Sự phát triển của Kantor về các phương pháp dàn dựng mớinhững câu hỏi liên quan đến tính liên tục và vô hạn, khiến nghiên cứu của anh ấy có một đặc điểm không rõ ràng.
Khi lập luận rằng số vô hạn thực sự tồn tại, anh ấy đã chuyển sang triết học cổ đại và trung cổ về sự vô hạn thực tế và tiềm năng, cũng như giáo dục tôn giáo ban đầu mà cha mẹ anh ấy đã truyền cho anh ấy. Năm 1883, trong cuốn sách Cơ sở của Lý thuyết Tập hợp Tổng quát, Kantor đã kết hợp khái niệm của mình với siêu hình học của Plato.
Kronecker, người đã tuyên bố rằng chỉ có số nguyên mới "tồn tại" ("Chúa tạo ra các số nguyên, phần còn lại là công việc của con người"), trong nhiều năm đã kịch liệt bác bỏ lý lẽ của mình và ngăn cản việc bổ nhiệm của anh ta tại Đại học Berlin.
Số vô hạn
Năm 1895-97. Georg Cantor đã hình thành đầy đủ khái niệm của mình về tính liên tục và vô hạn, bao gồm cả số thứ tự và số thứ tự vô hạn, trong tác phẩm nổi tiếng nhất của ông, được xuất bản là Đóng góp vào việc thành lập lý thuyết về các số vô hạn (1915). Bài luận này chứa đựng khái niệm của anh ấy, mà anh ấy đã dẫn dắt bằng cách chứng minh rằng một tập hợp vô hạn có thể được đặt trong sự tương ứng 1-1 với một trong những tập hợp con của nó.
Dưới số thẻ số vô hạn ít nhất, ý của ông là số lượng thẻ số của bất kỳ tập hợp nào có thể được đặt trong sự tương ứng 1-1 với các số tự nhiên. Cantor gọi nó là aleph-null. Các tập hợp lớn vô hạn được ký hiệu là aleph-một, aleph-hai, v.v. Ông đã phát triển thêm phép số học của các số vô hạn, tương tự như số học hữu hạn. do đó, ôngđã làm phong phú thêm khái niệm về vô cực.
Sự phản đối mà anh ấy phải đối mặt và mất thời gian để ý tưởng của anh ấy được chấp nhận hoàn toàn là do khó đánh giá lại câu hỏi cổ xưa về một con số là gì. Cantor đã chỉ ra rằng tập hợp các điểm trên một đường thẳng có bản số cao hơn aleph-0. Điều này dẫn đến vấn đề nổi tiếng của giả thuyết liên tục - không có số cốt yếu giữa aleph-0 và lũy thừa của các điểm trên đường thẳng. Vấn đề này trong nửa đầu và nửa sau của thế kỷ 20 đã gây hứng thú lớn và được nhiều nhà toán học, bao gồm Kurt Gödel và Paul Cohen, nghiên cứu.
Trầm cảm
Tiểu sử của Georg Kantor kể từ năm 1884 đã bị lu mờ bởi căn bệnh tâm thần của ông, nhưng ông vẫn tiếp tục làm việc tích cực. Năm 1897, ông đã giúp tổ chức đại hội toán học quốc tế đầu tiên ở Zurich. Một phần vì bị Kronecker phản đối, anh thường thông cảm với những nhà toán học trẻ đầy khát vọng và tìm cách cứu họ khỏi sự quấy rối của những giáo viên cảm thấy bị đe dọa bởi những ý tưởng mới.
Công nhận
Vào thời điểm chuyển giao thế kỷ, công trình của ông đã được công nhận đầy đủ là cơ sở cho lý thuyết hàm, phân tích và cấu trúc liên kết. Ngoài ra, những cuốn sách của Cantor Georg còn là động lực thúc đẩy sự phát triển hơn nữa của các trường phái trực giác và hình thức về các cơ sở logic của toán học. Điều này đã thay đổi đáng kể hệ thống giảng dạy và thường được kết hợp với "toán học mới".
Năm 1911, Kantor nằm trong số những người được mời tham gialễ kỷ niệm 500 năm thành lập Đại học St. Andrews ở Scotland. Anh đến đó với hy vọng gặp Bertrand Russell, người, trong tác phẩm xuất bản gần đây Principia Mathematica, đã nhiều lần nhắc đến nhà toán học người Đức, nhưng điều này đã không xảy ra. Trường đại học đã trao cho Kantor một bằng danh dự, nhưng vì bệnh tật mà anh ấy không thể trực tiếp nhận giải thưởng.
Kantor nghỉ hưu năm 1913, sống trong cảnh nghèo đói và chết đói trong Chiến tranh thế giới thứ nhất. Lễ kỷ niệm sinh nhật lần thứ 70 của ông vào năm 1915 đã bị hủy bỏ do chiến tranh, nhưng một buổi lễ nhỏ đã diễn ra tại nhà của ông. Ông qua đời vào ngày 1918-06-01 tại Halle, trong một bệnh viện tâm thần, nơi ông đã trải qua những năm cuối đời.
Georg Kantor: tiểu sử. Gia đình
Ngày 9 tháng 8 năm 1874, một nhà toán học người Đức kết hôn với Wally Gutmann. Cặp đôi đã có 4 con trai và 2 con gái. Đứa con cuối cùng được sinh ra vào năm 1886 trong một ngôi nhà mới mua của Kantor. Tài sản thừa kế của cha đã giúp anh nuôi sống gia đình mình. Sức khỏe của Kantor bị ảnh hưởng rất nhiều bởi cái chết của người con trai út của ông vào năm 1899, và căn bệnh trầm cảm đã không rời bỏ ông kể từ đó.
