Chuỗi Fourier là một biểu diễn của một hàm được lấy tùy ý với một chu kỳ cụ thể là một chuỗi. Nói chung, giải pháp này được gọi là sự phân rã của một phần tử trong cơ sở trực giao. Việc mở rộng các hàm trong chuỗi Fourier là một công cụ khá mạnh để giải các bài toán khác nhau do các tính chất của phép biến đổi này khi tích phân, phân biệt, cũng như chuyển một biểu thức trong một đối số và tích chập.
Một người không quen thuộc với toán học cao hơn, cũng như các công trình của nhà khoa học Pháp Fourier, rất có thể sẽ không hiểu những “hàng” này là gì và chúng dùng để làm gì. Trong khi đó, sự biến đổi này đã trở nên khá dày đặc trong cuộc sống của chúng ta. Nó không chỉ được sử dụng bởi các nhà toán học, mà còn được sử dụng bởi các nhà vật lý, hóa học, bác sĩ, nhà thiên văn học, nhà địa chấn học, nhà hải dương học và nhiều người khác. Hãy cùng xem xét kỹ hơn các công trình của nhà khoa học vĩ đại người Pháp, người đã có những khám phá đi trước thời đại.
Man and the Fourier Transform
Chuỗi Fourier là một trong những phương pháp (cùng với phân tích và các phương pháp khác) của phép biến đổi Fourier. Quá trình này xảy ra mỗi khi một người nghe thấy âm thanh. Tai của chúng ta tự động chuyển đổi âm thanhsóng. Chuyển động dao động của các hạt cơ bản trong môi trường đàn hồi bị phân hủy thành hàng (dọc theo quang phổ) các giá trị liên tiếp của mức âm lượng đối với các âm có độ cao khác nhau. Tiếp theo, não bộ biến dữ liệu này thành những âm thanh quen thuộc với chúng ta. Tất cả những điều này xảy ra ngoài mong muốn hoặc ý thức của chúng ta, nhưng để hiểu được những quá trình này, sẽ mất vài năm để nghiên cứu toán học cao hơn.
Thông tin thêm về Fourier Transform
Phép biến đổi Fourier có thể được thực hiện bằng các phương pháp phân tích, số và các phương pháp khác. Chuỗi Fourier đề cập đến cách thức số để phân hủy bất kỳ quá trình dao động nào - từ thủy triều và sóng ánh sáng đến chu kỳ hoạt động của mặt trời (và các vật thể thiên văn khác). Sử dụng các kỹ thuật toán học này, có thể phân tích các hàm, biểu diễn bất kỳ quá trình dao động nào dưới dạng một chuỗi các thành phần hình sin đi từ cực tiểu đến cực đại và ngược lại. Biến đổi Fourier là một hàm mô tả pha và biên độ của hình sin tương ứng với một tần số cụ thể. Quá trình này có thể được sử dụng để giải các phương trình rất phức tạp mô tả các quá trình động lực học xảy ra dưới ảnh hưởng của năng lượng nhiệt, ánh sáng hoặc điện. Ngoài ra, chuỗi Fourier giúp cô lập các thành phần không đổi trong các tín hiệu dao động phức tạp, giúp giải thích chính xác các quan sát thực nghiệm thu được trong y học, hóa học và thiên văn học.
Bối cảnh lịch sử
Cha đẻ của lý thuyết nàyJean Baptiste Joseph Fourier là một nhà toán học người Pháp. Sự biến đổi này sau đó được đặt theo tên của ông. Ban đầu, nhà khoa học áp dụng phương pháp của mình để nghiên cứu và giải thích các cơ chế dẫn nhiệt - lan truyền nhiệt trong chất rắn. Fourier gợi ý rằng sự phân bố không đều ban đầu của sóng nhiệt có thể được phân hủy thành các hình sin đơn giản nhất, mỗi hình sin sẽ có nhiệt độ tối thiểu và tối đa riêng, cũng như pha riêng của nó. Trong trường hợp này, mỗi thành phần như vậy sẽ được đo từ tối thiểu đến tối đa và ngược lại. Hàm toán học mô tả các đỉnh trên và dưới của đường cong, cũng như pha của mỗi sóng hài, được gọi là biến đổi Fourier của biểu thức phân bố nhiệt độ. Tác giả của lý thuyết đã giảm hàm phân phối tổng quát, vốn khó mô tả về mặt toán học, thành một chuỗi các hàm số tuần hoàn và hàm sin tuần hoàn rất dễ xử lý để cộng vào phân phối ban đầu.
Nguyên tắc biến đổi và quan điểm của những người đương thời
Những nhà khoa học cùng thời - những nhà toán học hàng đầu của đầu thế kỷ XIX - không chấp nhận lý thuyết này. Phản đối chính là khẳng định của Fourier rằng một hàm không liên tục mô tả một đường thẳng hoặc một đường cong không liên tục có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các biểu thức hình sin liên tục. Ví dụ, hãy xem xét "bước" của Heaviside: giá trị của nó bằng 0 ở bên trái khoảng trống và một ở bên phải. Hàm này mô tả sự phụ thuộc của cường độ dòng điện vào biến thời gian khi đóng mạch. Những người đương thời với lý thuyết tại thời điểm đó chưa bao giờ gặp phảitình huống trong đó biểu thức không liên tục sẽ được mô tả bằng sự kết hợp của các hàm liên tục, thông thường, chẳng hạn như hàm mũ, hình sin, tuyến tính hoặc bậc hai.
Điều gì khiến các nhà toán học Pháp bối rối trong lý thuyết Fourier?
Rốt cuộc, nếu nhà toán học đã đúng trong các phát biểu của mình, thì khi tính tổng chuỗi Fourier lượng giác vô hạn, bạn có thể nhận được biểu diễn chính xác của biểu thức bước ngay cả khi nó có nhiều bước giống nhau. Vào đầu thế kỷ XIX, một tuyên bố như vậy có vẻ vô lý. Nhưng bất chấp tất cả những nghi ngờ, nhiều nhà toán học đã mở rộng phạm vi nghiên cứu của hiện tượng này, đưa nó ra ngoài phạm vi nghiên cứu về sự dẫn nhiệt. Tuy nhiên, hầu hết các nhà khoa học vẫn tiếp tục đau đầu với câu hỏi: "Liệu tổng của một chuỗi hình sin có thể hội tụ đến giá trị chính xác của một hàm không liên tục không?"
Sự hội tụ của chuỗi Fourier: ví dụ
Câu hỏi về sự hội tụ được đặt ra bất cứ khi nào cần tính tổng các chuỗi số vô hạn. Để hiểu hiện tượng này, hãy xem xét một ví dụ cổ điển. Bạn có thể đến được bức tường nếu mỗi bước kế tiếp bằng một nửa kích thước của bước trước không? Giả sử bạn đang ở cách mục tiêu hai mét, bước đầu tiên đưa bạn đến gần điểm nửa đường, bước tiếp theo đến mốc 3/4 và sau bước thứ năm, bạn sẽ đi được gần 97% quãng đường. Tuy nhiên, cho dù bạn thực hiện bao nhiêu bước, bạn sẽ không đạt được mục tiêu đã định theo nghĩa toán học chặt chẽ. Sử dụng các phép tính số, người ta có thể chứng minh rằng cuối cùng người ta có thể đến gần bằng một lượt thích.khoảng cách xác định nhỏ. Bằng chứng này tương đương với việc chứng minh rằng tổng giá trị của một nửa, một phần tư, v.v. sẽ có xu hướng bằng một.
Câu hỏi về sự hội tụ: Sự tái lâm, hay Thiết bị của Chúa Kelvin
Liên tục câu hỏi này được đặt ra vào cuối thế kỷ 19, khi chuỗi Fourier được sử dụng để dự đoán cường độ giảm và chảy. Vào thời điểm này, Lord Kelvin đã phát minh ra một thiết bị, đó là một thiết bị tính toán tương tự cho phép các thủy thủ của quân đội và đội tàu buôn theo dõi hiện tượng tự nhiên này. Cơ chế này xác định tập hợp các pha và biên độ từ bảng chiều cao thủy triều và các khoảnh khắc thời gian tương ứng của chúng, được đo cẩn thận tại một bến cảng nhất định trong năm. Mỗi tham số là một thành phần hình sin của biểu thức chiều cao thủy triều và là một trong những thành phần chính quy. Kết quả của các phép đo được đưa vào máy tính của Lord Kelvin, máy tính này tổng hợp một đường cong dự đoán độ cao của nước dưới dạng hàm số của thời gian trong năm tới. Rất nhanh chóng, những đường cong tương tự đã được vẽ ra cho tất cả các bến cảng trên thế giới.
Và nếu quá trình bị phá vỡ bởi một chức năng không liên tục?
Vào thời điểm đó, rõ ràng là một công cụ dự đoán sóng thủy triều với một số lượng lớn các phần tử đếm có thể tính toán một số lượng lớn các pha và biên độ và do đó cung cấp các dự đoán chính xác hơn. Tuy nhiên, hóa ra là không quan sát được sự đều đặn này trong các trường hợp biểu hiện thủy triều, sau đótổng hợp, có một bước nhảy vọt, nghĩa là, nó không liên tục. Trong trường hợp dữ liệu được nhập vào thiết bị từ bảng khoảnh khắc thời gian, thì nó sẽ tính toán một số hệ số Fourier. Chức năng ban đầu được phục hồi nhờ các thành phần hình sin (theo các hệ số tìm được). Sự khác biệt giữa biểu thức gốc và biểu thức đã khôi phục có thể được đo lường tại bất kỳ điểm nào. Khi thực hiện các phép tính và so sánh lặp lại, có thể thấy rằng giá trị của sai số lớn nhất không giảm. Tuy nhiên, chúng được bản địa hóa trong vùng tương ứng với điểm gián đoạn và có xu hướng bằng không tại bất kỳ điểm nào khác. Năm 1899, kết quả này đã được Joshua Willard Gibbs của Đại học Yale xác nhận về mặt lý thuyết.
Sự hội tụ của chuỗi Fourier và sự phát triển của toán học nói chung
Phân tích Fourier không áp dụng cho các biểu thức có chứa vô số cụm từ trong một khoảng thời gian nhất định. Nói chung, chuỗi Fourier, nếu hàm gốc là kết quả của một phép đo vật lý thực, thì luôn hội tụ. Các câu hỏi về sự hội tụ của quá trình này đối với các lớp hàm cụ thể đã dẫn đến sự xuất hiện của các phần mới trong toán học, ví dụ, lý thuyết về các hàm tổng quát. Nó gắn liền với những cái tên như L. Schwartz, J. Mikusinsky và J. Temple. Trong khuôn khổ của lý thuyết này, một cơ sở lý thuyết rõ ràng và chính xác đã được tạo ra cho các biểu thức như hàm Dirac delta (nó mô tả một khu vực của một khu vực duy nhất tập trung trong một vùng lân cận nhỏ vô hạn của một điểm) và Heaviside “bước chân . Nhờ công trình này, chuỗi Fourier đã được áp dụng chogiải các phương trình và bài toán liên quan đến các khái niệm trực quan: điện tích điểm, khối lượng điểm, lưỡng cực từ, cũng như tải trọng tập trung trên chùm.
Phương pháp Fourier
Chuỗi Fourier, phù hợp với các nguyên tắc giao thoa, bắt đầu bằng việc phân rã các dạng phức tạp thành các dạng đơn giản hơn. Ví dụ, sự thay đổi của dòng nhiệt được giải thích bằng cách nó đi qua các chướng ngại vật khác nhau làm bằng vật liệu cách nhiệt có hình dạng bất thường hoặc sự thay đổi bề mặt trái đất - một trận động đất, sự thay đổi quỹ đạo của một thiên thể - ảnh hưởng của những hành tinh. Theo quy luật, các phương trình tương tự mô tả các hệ thống cổ điển đơn giản được giải về phần tử cho từng sóng riêng lẻ. Fourier đã chỉ ra rằng các giải pháp đơn giản cũng có thể được tổng hợp để đưa ra giải pháp cho các vấn đề phức tạp hơn. Theo ngôn ngữ toán học, chuỗi Fourier là một kỹ thuật biểu diễn một biểu thức dưới dạng tổng của các sóng hài - côsin và hình sin. Do đó, phân tích này còn được gọi là "phân tích sóng hài".
Fourier series - kỹ thuật lý tưởng trước "thời đại máy tính"
Trước khi công nghệ máy tính ra đời, kỹ thuật Fourier là vũ khí tốt nhất trong kho vũ khí của các nhà khoa học khi làm việc với bản chất sóng của thế giới chúng ta. Chuỗi Fourier ở dạng phức tạp cho phép giải quyết không chỉ các bài toán đơn giản có thể áp dụng trực tiếp các định luật cơ học Newton, mà còn cả các phương trình cơ bản. Hầu hết các khám phá của khoa học Newton trong thế kỷ 19 chỉ có thể thực hiện được nhờ kỹ thuật của Fourier.
Dòng Fourier hôm nay
Với sự phát triển của máy tính biến đổi Fourierđược nâng lên một tầm cao mới. Kỹ thuật này được sử dụng vững chắc trong hầu hết các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Một ví dụ là tín hiệu âm thanh và video kỹ thuật số. Việc hiện thực hóa nó chỉ có thể thực hiện được nhờ vào lý thuyết được phát triển bởi một nhà toán học người Pháp vào đầu thế kỷ XIX. Do đó, chuỗi Fourier ở dạng phức tạp đã tạo ra một bước đột phá trong nghiên cứu về không gian vũ trụ. Ngoài ra, nó còn ảnh hưởng đến việc nghiên cứu vật lý vật liệu bán dẫn và plasma, âm học vi sóng, hải dương học, radar, địa chấn học.
Chuỗi Fourier lượng giác
Trong toán học, chuỗi Fourier là một cách biểu diễn các hàm phức tùy ý dưới dạng tổng của các hàm đơn giản hơn. Trong trường hợp tổng quát, số lượng các biểu thức như vậy có thể là vô hạn. Hơn nữa, con số của họ càng được tính đến trong tính toán thì kết quả cuối cùng càng chính xác. Thông thường, các hàm lượng giác của cosin hoặc sin được sử dụng như những hàm đơn giản nhất. Trong trường hợp này, chuỗi Fourier được gọi là lượng giác, và nghiệm của các biểu thức như vậy được gọi là khai triển của điều hòa. Phương pháp này đóng một vai trò quan trọng trong toán học. Trước hết, dãy lượng giác cung cấp một phương tiện cho hình ảnh, cũng như việc nghiên cứu các chức năng, nó là bộ máy chính của lý thuyết. Ngoài ra, nó còn cho phép giải quyết một số vấn đề của vật lý toán học. Cuối cùng, lý thuyết này đã đóng góp vào sự phát triển của phân tích toán học, làm nảy sinh một số phần rất quan trọng của khoa học toán học (lý thuyết về tích phân, lý thuyết về các hàm tuần hoàn). Ngoài ra, nó còn là điểm khởi đầu cho sự phát triển của các lý thuyết sau: tập hợp, chức năngbiến thực, phân tích hàm và cũng đặt nền tảng cho phân tích điều hòa.
