Các vấn đề toán học được sử dụng trong nhiều ngành khoa học. Chúng không chỉ bao gồm vật lý, hóa học, kỹ thuật và kinh tế, mà còn bao gồm y học, sinh thái học và các ngành khác. Một khái niệm quan trọng cần nắm vững để tìm ra giải pháp cho các tình huống khó xử quan trọng là đạo hàm của một hàm số. Ý nghĩa vật lý của nó hoàn toàn không khó giải thích vì nó có vẻ như đối với những người chưa biết về bản chất của vấn đề. Chỉ cần tìm những ví dụ phù hợp về điều này trong cuộc sống thực và các tình huống bình thường hàng ngày là đủ. Trên thực tế, bất kỳ người lái xe ô tô nào cũng phải đối mặt với một nhiệm vụ tương tự hàng ngày khi anh ta nhìn vào đồng hồ tốc độ, xác định tốc độ xe của mình tại một thời điểm cụ thể của một thời điểm cố định. Rốt cuộc, chính trong tham số này, bản chất của ý nghĩa vật lý của đạo hàm nằm ở chỗ.
Cách tìm tốc độ
Xác định tốc độ của một người trên đường, biết được quãng đường đã đi và thời gian di chuyển, bất kỳ học sinh lớp 5 nào cũng có thể dễ dàng. Để thực hiện việc này, giá trị đầu tiên trong số các giá trị đã cho / u200b / u200bis chia cho giá trị thứ hai. Nhưngkhông phải nhà toán học trẻ nào cũng biết rằng anh ta hiện đang tìm tỷ số gia số của một hàm và một đối số. Thật vậy, nếu chúng ta tưởng tượng chuyển động dưới dạng một biểu đồ, vẽ đường đi dọc theo trục y và thời gian dọc theo abscissa, nó sẽ giống hệt như thế này.
Tuy nhiên, tốc độ của người đi bộ hoặc bất kỳ đối tượng nào khác mà chúng tôi xác định trên một đoạn đường lớn, coi chuyển động là đều, có thể thay đổi. Có nhiều dạng chuyển động trong vật lý. Nó có thể được thực hiện không chỉ với một gia tốc không đổi, mà còn chậm lại và tăng lên một cách tùy ý. Cần lưu ý rằng trong trường hợp này, đường mô tả chuyển động sẽ không còn là đường thẳng nữa. Về mặt đồ họa, nó có thể đảm nhận những cấu hình phức tạp nhất. Nhưng đối với bất kỳ điểm nào trên biểu đồ, chúng ta luôn có thể vẽ một tiếp tuyến được biểu diễn bởi một hàm tuyến tính.
Để làm rõ thông số thay đổi độ dịch chuyển tùy theo thời gian, cần rút ngắn các đoạn đo được. Khi chúng trở nên nhỏ vô hạn, tốc độ tính toán sẽ là tức thời. Kinh nghiệm này giúp chúng ta xác định đạo hàm. Ý nghĩa vật lý của nó cũng tuân theo một cách logic từ lập luận như vậy.
Về hình học
Người ta biết rằng tốc độ của vật càng lớn thì đồ thị của sự phụ thuộc của độ dời vào thời gian càng dốc và do đó góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị tại một điểm xác định. Một chỉ số của những thay đổi như vậy có thể là tiếp tuyến của góc giữa trục x và đường tiếp tuyến. Nó chỉ xác định giá trị của đạo hàm và được tính bằng tỷ lệ độ dàiđối diện với chân liền kề trong một tam giác vuông được tạo thành bởi một đường vuông góc được thả từ một điểm nào đó xuống trục x.
Đây là ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp một. Giá trị vật lý của chân đối diện trong trường hợp của chúng ta là quãng đường đi được và chân liền kề là thời gian. Tỷ số của chúng là tốc độ. Và một lần nữa chúng ta đi đến kết luận rằng tốc độ tức thời, được xác định khi cả hai khoảng cách đều có xu hướng nhỏ vô hạn, là bản chất của khái niệm đạo hàm, cho thấy ý nghĩa vật lý của nó. Đạo hàm thứ hai trong ví dụ này sẽ là gia tốc của cơ thể, do đó thể hiện tốc độ thay đổi của tốc độ.
Ví dụ về việc tìm các đạo hàm trong vật lý
Đạo hàm là một chỉ báo về tốc độ thay đổi của bất kỳ hàm nào, ngay cả khi chúng ta không nói về chuyển động theo nghĩa đen của từ này. Để minh chứng cho điều này một cách rõ ràng, chúng ta hãy lấy một vài ví dụ cụ thể. Giả sử cường độ dòng điện, tùy theo thời gian, thay đổi theo quy luật sau: I=0, 4t2. Cần phải tìm giá trị của tốc độ thay đổi tham số này vào cuối giây thứ 8 của quá trình. Lưu ý rằng bản thân giá trị mong muốn, như có thể được đánh giá từ phương trình, đang không ngừng tăng lên.
Để giải nó, bạn cần tìm đạo hàm đầu tiên, nghĩa vật lý của nó đã được xem xét trước đó. Ở đây dI / dt=0,8t. Tiếp theo, chúng tôi tìm thấy nó ở t \u003d 8, chúng tôi nhận được rằng tốc độ thay đổi cường độ hiện tại là 6,4 A / c. Ở đây nó được coi làdòng điện được đo bằng ampe và thời gian, tương ứng, tính bằng giây.
Mọi thứ đều thay đổi
Thế giới xung quanh hữu hình, bao gồm vật chất, liên tục trải qua những thay đổi, chuyển động của các quá trình khác nhau xảy ra trong đó. Một loạt các tham số có thể được sử dụng để mô tả chúng. Nếu chúng được thống nhất bởi sự phụ thuộc, thì chúng được viết theo toán học dưới dạng một hàm thể hiện rõ ràng những thay đổi của chúng. Và ở đâu có chuyển động (dưới bất kỳ hình thức nào nó được thể hiện), thì ở đó cũng tồn tại một phái sinh, ý nghĩa vật lý mà chúng ta đang xem xét vào lúc này.
Nhân dịp này, ví dụ sau đây. Giả sử thân nhiệt thay đổi theo quy luật T=0, 2 t2. Bạn sẽ tìm thấy tốc độ đốt nóng của nó vào cuối giây thứ 10. Vấn đề được giải quyết theo cách tương tự như được mô tả trong trường hợp trước. Tức là, chúng tôi tìm đạo hàm và thay giá trị của t \u003d 10 vào nó, chúng tôi nhận được T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Điều này có nghĩa là câu trả lời cuối cùng là 4 độ trên giây, tức là quá trình gia nhiệt và sự thay đổi nhiệt độ, được đo bằng độ, xảy ra chính xác với tốc độ như vậy.
Giải quyết các vấn đề thực tế
Tất nhiên, trong cuộc sống thực tế mọi thứ phức tạp hơn nhiều so với những bài toán lý thuyết. Trong thực tế, giá trị của các đại lượng thường được xác định trong quá trình thí nghiệm. Trong trường hợp này, các thiết bị được sử dụng để cung cấp các số đọc trong quá trình đo với một sai số nhất định. Do đó, trong tính toán, người ta phải xử lý các giá trị gần đúng của các tham số và dùng đến việc làm tròn các số không thuận tiện,cũng như các đơn giản hóa khác. Sau khi tính đến điều này, chúng ta sẽ lại tiếp tục các bài toán về ý nghĩa vật lý của đạo hàm, vì chúng chỉ là một dạng mô hình toán học của các quá trình phức tạp nhất xảy ra trong tự nhiên.
Núi lửa phun trào
Hãy tưởng tượng rằng một ngọn núi lửa phun trào. Anh ta có thể nguy hiểm đến mức nào? Để trả lời câu hỏi này, cần phải xem xét nhiều yếu tố. Chúng tôi sẽ cố gắng đáp ứng một trong số chúng.
Từ miệng những viên đá "quái vật bốc lửa" được ném thẳng đứng lên trên, có vận tốc ban đầu từ lúc thoát ra ngoài là 120 m / s. Cần phải tính toán xem chúng có thể đạt đến chiều cao tối đa là bao nhiêu.
Để tìm giá trị mong muốn, chúng tôi sẽ soạn một phương trình cho sự phụ thuộc của chiều cao H, được đo bằng mét, vào các giá trị khác. Chúng bao gồm tốc độ và thời gian ban đầu. Giá trị gia tốc được coi là đã biết và xấp xỉ bằng 10 m / s2.
Đạo hàm một phần
Bây giờ chúng ta hãy xem xét ý nghĩa vật lý của đạo hàm của một hàm từ một góc độ hơi khác, vì bản thân phương trình không thể chứa một mà là một số biến. Ví dụ, trong bài toán trước, sự phụ thuộc của độ cao của những viên đá được phun ra từ miệng núi lửa không chỉ được xác định bởi sự thay đổi của đặc tính thời gian mà còn bởi giá trị của vận tốc ban đầu. Giá trị sau được coi là một giá trị không đổi, cố định. Nhưng trong các nhiệm vụ khác với các điều kiện hoàn toàn khác, mọi thứ có thể khác. Nếu các đại lượng mà phứchàm, một số, các phép tính được thực hiện theo các công thức bên dưới.
Ý nghĩa vật lý của đạo hàm thường xuyên phải được xác định như trong trường hợp thông thường. Đây là tốc độ mà hàm thay đổi tại một số điểm cụ thể khi tham số của biến tăng lên. Nó được tính toán theo cách mà tất cả các thành phần khác được coi là hằng số, chỉ một thành phần được coi là biến. Sau đó mọi thứ diễn ra theo quy luật thông thường.
Cố vấn không thể thiếu về nhiều vấn đề
Hiểu được ý nghĩa vật lý của đạo hàm, không khó để đưa ra các ví dụ giải các bài toán hóc búa, phức tạp, trong đó có kiến thức như vậy mới tìm được đáp án. Nếu chúng ta có một hàm mô tả mức tiêu thụ nhiên liệu tùy thuộc vào tốc độ của ô tô, chúng ta có thể tính toán xem ở thông số nào thì mức tiêu thụ xăng sẽ ít nhất.
Trong y học, bạn có thể dự đoán cơ thể con người sẽ phản ứng như thế nào với một loại thuốc do bác sĩ kê đơn. Dùng thuốc ảnh hưởng đến một loạt các thông số sinh lý. Chúng bao gồm những thay đổi về huyết áp, nhịp tim, nhiệt độ cơ thể, v.v. Tất cả chúng đều phụ thuộc vào liều lượng thuốc uống. Những tính toán này giúp dự đoán quá trình điều trị, cả những biểu hiện thuận lợi và những tai biến không mong muốn có thể ảnh hưởng nghiêm trọng đến những thay đổi trong cơ thể bệnh nhân.
Không nghi ngờ gì nữa, điều quan trọng là phải hiểu ý nghĩa vật lý của đạo hàm trong kỹ thuậtcác vấn đề, đặc biệt trong kỹ thuật điện, điện tử, thiết kế và xây dựng.
Phanh khoảng cách
Hãy xem xét vấn đề tiếp theo. Đang di chuyển với tốc độ không đổi, chiếc xe đến gần cầu phải giảm tốc độ 10 giây trước lối vào do tài xế nhận thấy biển báo cấm di chuyển với tốc độ hơn 36 km / h. Người lái xe có vi phạm quy tắc không nếu quãng đường phanh được mô tả bằng công thức S=26t - t2 ?
Tính đạo hàm bậc nhất, tìm công thức tốc độ, ta được v=28 - 2t. Tiếp theo, thay giá trị t=10 vào biểu thức đã chỉ định.
Vì giá trị này được biểu thị bằng giây nên tốc độ là 8 m / s, nghĩa là 28,8 km / h. Điều này có thể hiểu rằng người lái xe đã bắt đầu giảm tốc độ đúng lúc và không vi phạm luật lệ giao thông, và do đó giới hạn ghi trên biển báo tốc độ.
Điều này chứng tỏ tầm quan trọng của ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Một ví dụ về việc giải quyết vấn đề này chứng tỏ tầm rộng của việc sử dụng khái niệm này trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Kể cả trong các tình huống hàng ngày.
Phái sinh trong kinh tế học
Cho đến thế kỷ 19, các nhà kinh tế chủ yếu hoạt động dựa trên mức trung bình, cho dù đó là năng suất lao động hay giá cả đầu ra. Nhưng từ một số điểm trở đi, các giá trị giới hạn trở nên cần thiết hơn để đưa ra các dự báo hiệu quả trong lĩnh vực này. Chúng bao gồm tiện ích biên, thu nhập hoặc chi phí. Hiểu được điều này đã tạo động lực cho việc tạo ra một công cụ hoàn toàn mới trong nghiên cứu kinh tế,đã tồn tại và phát triển hơn một trăm năm.
Để thực hiện các phép tính như vậy, trong đó các khái niệm như cực tiểu và cực đại chiếm ưu thế, chỉ cần hiểu ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm. Trong số những người tạo ra cơ sở lý thuyết của các bộ môn này, người ta có thể kể tên các nhà kinh tế học người Anh và Áo lỗi lạc như US Jevons, K. Menger và những người khác. Tất nhiên, các giá trị giới hạn trong tính toán kinh tế không phải lúc nào cũng thuận tiện để sử dụng. Và, ví dụ: các báo cáo hàng quý không nhất thiết phải phù hợp với sơ đồ hiện có, tuy nhiên, việc áp dụng lý thuyết như vậy trong nhiều trường hợp là hữu ích và hiệu quả.
