Trong toán học, hàm ngược là các biểu thức tương ứng biến đổi thành nhau. Để hiểu điều này có nghĩa là gì, cần xem xét một ví dụ cụ thể. Giả sử chúng ta có y=cos (x). Nếu chúng ta lấy cosin từ đối số, thì chúng ta có thể tìm thấy giá trị của y. Rõ ràng, đối với điều này, bạn cần phải có x. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu người chơi ban đầu được đưa ra? Đây là nơi nó đi vào trọng tâm của vấn đề. Để giải quyết vấn đề, việc sử dụng một hàm nghịch đảo là bắt buộc. Trong trường hợp của chúng ta, đây là cosin cung.
Sau tất cả các phép biến đổi, chúng ta nhận được: x=arccos (y).
Tức là, để tìm một hàm nghịch đảo với một hàm đã cho, chỉ cần thể hiện một đối số từ nó là đủ. Nhưng điều này chỉ hoạt động nếu kết quả sẽ có một giá trị duy nhất (sẽ tìm hiểu thêm về điều này sau).
Nói chung, dữ kiện này có thể được viết như sau: f (x)=y, g (y)=x.
Định nghĩa
Gọi f là một hàm có miền là tập X, vàphạm vi giá trị là tập Y. Khi đó, nếu tồn tại g mà miền của nó thực hiện các nhiệm vụ ngược nhau thì f khả nghịch.
Ngoài ra, trong trường hợp này g là duy nhất, có nghĩa là có đúng một hàm thỏa mãn tính chất này (không hơn, không kém). Sau đó, nó được gọi là hàm nghịch đảo, và trong cách viết nó được ký hiệu như sau: g (x)=f-1(x).
Nói cách khác, chúng có thể được xem như một quan hệ nhị phân. Khả năng đảo ngược chỉ diễn ra khi một phần tử của tập hợp tương ứng với một giá trị từ một giá trị khác.
Không phải lúc nào cũng có một hàm ngược. Để làm được điều này, mỗi phần tử y є Y phải tương ứng với nhiều nhất một x є X. Khi đó f được gọi là một-một hoặc một phần tử tiêm. Nếu f-1thuộc Y, thì mỗi phần tử của tập này phải tương ứng với một số x ∈ X. Các hàm có thuộc tính này được gọi là phép chiếu. Nó đúng theo định nghĩa nếu Y là ảnh f, nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng. Để nghịch đảo, một hàm phải vừa là tiêm vừa là bổ. Các biểu thức như vậy được gọi là các phép nhị phân.
Ví dụ: hàm bình phương và căn bậc
Hàm được xác định trên [0, ∞) và được cho bởi công thức f (x)=x2.
Vậy thì nó không bị ảnh hưởng, bởi vì mọi kết quả có thể xảy ra Y (ngoại trừ 0) tương ứng với hai X khác nhau - một dương và một âm, vì vậy nó không thể đảo ngược. Trong trường hợp này, sẽ không thể lấy được dữ liệu ban đầu từ những dữ liệu đã nhận, điều này mâu thuẫn vớilý thuyết. Nó sẽ không bị thương.
Nếu miền định nghĩa bị giới hạn có điều kiện ở các giá trị không âm, thì mọi thứ sẽ hoạt động như trước. Sau đó, nó là khách quan và do đó không thể đảo ngược. Hàm nghịch đảo ở đây được gọi là tích cực.
Ghi chú ở mục
Để ký hiệu f-1(x) có thể gây nhầm lẫn cho một người, nhưng không nên sử dụng nó như thế này trong trường hợp nào: (f (x))- 1. Nó đề cập đến một khái niệm toán học hoàn toàn khác và không liên quan gì đến hàm nghịch đảo.
Theo nguyên tắc chung, một số tác giả sử dụng các biểu thức như sin-1(x).
Tuy nhiên, các nhà toán học khác tin rằng điều này có thể gây nhầm lẫn. Để tránh những khó khăn đó, các hàm lượng giác nghịch đảo thường được ký hiệu bằng tiền tố "cung" (từ cung La tinh). Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đang nói về arcsine. Đôi khi bạn cũng có thể thấy tiền tố "ar" hoặc "inv" cho một số hàm khác.
