Sự xuất hiện của khái niệm tích phân là do nhu cầu tìm nguyên hàm bằng đạo hàm của nó, cũng như xác định lượng công, diện tích các hình phức, quãng đường đi được, với các tham số được phác thảo bởi các đường cong được mô tả bởi các công thức phi tuyến.
Từ khóa
và vật lý biết rằng công bằng tích của lực và khoảng cách. Nếu tất cả các chuyển động xảy ra với một tốc độ không đổi hoặc khoảng cách được khắc phục với tác dụng của cùng một lực, thì mọi thứ đã rõ ràng, bạn chỉ cần nhân chúng. Tích phân của một hằng số là gì? Đây là một hàm tuyến tính có dạng y=kx + c.
Nhưng lực trong quá trình làm việc có thể thay đổi, và phụ thuộc vào tự nhiên. Tình huống tương tự cũng xảy ra với việc tính toán quãng đường đã đi nếu tốc độ không đổi.
Vì vậy, rõ ràng là tích phân để làm gì. Định nghĩa của nó như là tổng các tích của các giá trị hàm theo gia số thập phân của đối số mô tả đầy đủ ý nghĩa chính của khái niệm này là diện tích của một hình được giới hạn từ phía trên bởi dòng của hàm và tại các cạnh bởi các ranh giới của định nghĩa.
Jean Gaston Darboux, nhà toán học người Pháp, nửa sau thế kỷ XIXkỷ giải thích rất rõ ràng một tích phân là gì. Anh ấy đã nói rõ đến mức nói chung sẽ không khó đối với một học sinh trung học cơ sở để hiểu được vấn đề này.
Giả sử có một hàm ở bất kỳ dạng phức tạp nào. Trục y, trên đó các giá trị của đối số được vẽ, được chia thành các khoảng nhỏ, lý tưởng là chúng nhỏ vô cùng, nhưng vì khái niệm vô cực khá trừu tượng, nên chỉ cần hình dung các đoạn nhỏ, giá trị là đủ. trong đó thường được ký hiệu bằng chữ Hy Lạp Δ (delta).
Chức năng hóa ra bị "cắt" thành những viên gạch nhỏ.
Mỗi giá trị đối số tương ứng với một điểm trên trục y, trên đó các giá trị hàm tương ứng được vẽ biểu đồ. Nhưng vì vùng đã chọn có hai đường viền nên cũng sẽ có hai giá trị của hàm, nhiều hơn và ít hơn.
Tổng các tích của các giá trị lớn hơn theo số gia Δ được gọi là tổng Darboux lớn, và được ký hiệu là S. Theo đó, các giá trị nhỏ hơn trong một vùng giới hạn, nhân với Δ, tất cả cùng nhau tạo thành một tổng Darboux nhỏ. Bản thân phần này giống như một hình thang chữ nhật, vì có thể bỏ qua độ cong của đường hàm với gia số thập phân của nó. Cách dễ nhất để tìm diện tích của một hình hình học như vậy là cộng các tích của giá trị lớn hơn và nhỏ hơn của hàm theo số gia Δ và chia cho hai, nghĩa là xác định nó dưới dạng trung bình cộng.
Đây là tích phân Darboux:
s=Σf (x) Δ là một lượng nhỏ;
S=Σf (x + Δ) Δ là một tổng lớn.
Vậy tích phân là gì? Khu vực được giới hạn bởi đường chức năng và các ranh giới xác định sẽ là:
∫f (x) dx={(S + s) / 2} + c
Tức là, trung bình cộng của tổng Darboux lớn và nhỏ.c là một giá trị không đổi được đặt thành 0 trong quá trình phân biệt.
Dựa trên biểu thức hình học của khái niệm này, ý nghĩa vật lý của tích phân trở nên rõ ràng. Diện tích của hình, được phác thảo bởi hàm tốc độ và được giới hạn bởi khoảng thời gian dọc theo trục abscissa, sẽ là độ dài của con đường đã đi.
L=∫f (x) dx trong khoảng thời gian từ t1 đến t2, Đâu
f (x) - hàm tốc độ, nghĩa là công thức mà nó thay đổi theo thời gian;
L - độ dài đường dẫn;
t1 - thời gian bắt đầu;
t2 - thời gian kết thúc hành trình.
Chính xác theo cùng một nguyên tắc, khối lượng công việc được xác định, chỉ khoảng cách sẽ được vẽ dọc theo đường trục, và lượng lực tác dụng tại mỗi điểm cụ thể sẽ được vẽ dọc theo đường tọa độ.
