Đối với nhiều người, phân tích toán học chỉ là một tập hợp các con số, biểu tượng và định nghĩa khó hiểu, khác xa với cuộc sống thực. Tuy nhiên, thế giới mà chúng ta đang tồn tại được xây dựng dựa trên các mẫu số, việc xác định chúng không chỉ giúp tìm hiểu về thế giới xung quanh chúng ta và giải quyết các vấn đề phức tạp của nó mà còn giúp đơn giản hóa các công việc thực tế hàng ngày. Một nhà toán học có ý nghĩa gì khi nói rằng một dãy số hội tụ? Điều này sẽ được thảo luận chi tiết hơn.
Số thập phân là gì?
Hãy tưởng tượng những con búp bê matryoshka vừa vặn với một con bên trong con kia. Kích thước của chúng, được viết dưới dạng số, bắt đầu bằng số lớn nhất và kết thúc bằng số nhỏ nhất, tạo thành một chuỗi. Nếu bạn tưởng tượng một số vô hạn các số liệu sáng sủa như vậy, thì hàng kết quả sẽ dài một cách đáng kinh ngạc. Đây là một dãy số hội tụ. Và nó có xu hướng bằng không, vì kích thước của mỗi con búp bê làm tổ tiếp theo, giảm một cách thảm khốc, dần dần biến thành hư vô. Vì vậy, nó dễ dàngcó thể được giải thích: số thập phân là gì.
Một ví dụ tương tự là một con đường dẫn vào phía xa. Và các kích thước thị giác của chiếc xe đang lái ra khỏi người quan sát dọc theo nó, dần dần thu hẹp lại, biến thành một đốm sáng không hình dạng giống như một dấu chấm. Do đó, cỗ máy, giống như một vật thể, di chuyển ra xa theo một hướng không xác định, trở nên nhỏ bé vô hạn. Các tham số của phần thân được chỉ định sẽ không bao giờ bằng 0 theo nghĩa đen của từ này, nhưng luôn hướng đến giá trị này trong giới hạn cuối cùng. Do đó, chuỗi này lại hội tụ về không.
Tính toán mọi thứ từng giọt một
Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng một tình huống thế giới. Bác sĩ kê đơn cho bệnh nhân uống thuốc, bắt đầu với 10 giọt mỗi ngày và thêm hai giọt vào ngày hôm sau. Và vì vậy bác sĩ đề nghị tiếp tục cho đến khi hết lượng chứa trong lọ thuốc, thể tích 190 giọt. Như đã nói ở trên rằng số như vậy, được lên lịch theo ngày, sẽ là chuỗi số sau: 10, 12, 14, v.v.
Làm thế nào để tìm ra thời gian hoàn thành toàn bộ khóa học và số lượng thành viên của dãy số? Ở đây, tất nhiên, người ta có thể đếm số giọt một cách sơ khai. Nhưng dễ hơn nhiều, với mẫu, sử dụng công thức tính tổng của một cấp số cộng với bước d=2. Và sử dụng phương pháp này, hãy tìm ra rằng số phần tử của dãy số là 10. Trong trường hợp này., a10=28. Số dương vật cho biết số ngày dùng thuốc, và 28 tương ứng với số lần nhỏ thuốc mà bệnh nhân nênsử dụng vào ngày cuối cùng. Dãy này có hội tụ không? Không, bởi vì mặc dù thực tế là nó được giới hạn ở 10 từ bên dưới và 28 từ bên trên, chuỗi số như vậy không có giới hạn, không giống như các ví dụ trước.
Sự khác biệt là gì?
Bây giờ chúng ta hãy thử làm rõ: khi nào thì dãy số trở thành một dãy hội tụ. Định nghĩa kiểu này, như có thể kết luận ở trên, liên quan trực tiếp đến khái niệm giới hạn hữu hạn, sự hiện diện của nó cho thấy bản chất của vấn đề. Vì vậy, sự khác biệt cơ bản giữa các ví dụ được đưa ra trước đó là gì? Và tại sao trong số cuối cùng, con số 28 không thể được coi là giới hạn của dãy số X =10 + 2 (n-1)?
Để làm rõ câu hỏi này, hãy xem xét một dãy số khác được cho bởi công thức dưới đây, trong đó n thuộc tập hợp các số tự nhiên.
Cộng đồng thành viên này là một tập hợp các phân số chung, tử số là 1 và mẫu số không ngừng tăng lên: 1, ½…
Hơn nữa, mỗi đại diện liên tiếp của chuỗi này ngày càng tiếp cận 0 về vị trí trên trục số. Và điều này có nghĩa là vùng lân cận như vậy xuất hiện trong đó các điểm tập hợp xung quanh số 0, đó là giới hạn. Và càng đến gần nó, sự tập trung của họ vào dãy số càng trở nên dày đặc hơn. Và khoảng cách giữa chúng bị giảm đi một cách thảm khốc, biến thành một khoảng cách nhỏ. Đây là dấu hiệu cho thấy chuỗi đang hội tụ.
Tương tựDo đó, các hình chữ nhật nhiều màu được thể hiện trong hình, khi di chuyển ra xa trong không gian, về mặt trực quan sẽ đông đúc hơn, trong giới hạn giả định chuyển thành không đáng kể.
Chuỗi lớn vô hạn
Sau khi phân tích định nghĩa của một chuỗi hội tụ, chúng ta hãy chuyển sang các ví dụ phản chứng. Nhiều người trong số họ đã được con người biết đến từ thời cổ đại. Các biến thể đơn giản nhất của dãy số phân kỳ là dãy số tự nhiên và số chẵn. Họ được gọi là lớn vô hạn theo một cách khác, vì các thành viên của họ, không ngừng tăng lên, đang ngày càng tiến gần đến vô cùng dương.
Một ví dụ về điều này cũng có thể là bất kỳ cấp số học và hình học nào với bước và mẫu số tương ứng lớn hơn 0. Ngoài ra, các chuỗi số được coi là chuỗi phân kỳ, không có giới hạn nào cả. Ví dụ: X =(-2) -1.
Dãy Fibonacci
Lợi ích thiết thực của dãy số đã nêu trước đây đối với nhân loại là không thể phủ nhận. Nhưng còn vô số ví dụ tuyệt vời khác. Một trong số đó là dãy Fibonacci. Mỗi thành viên của nó, bắt đầu bằng một, là tổng của những thành viên trước đó. Hai đại diện đầu tiên của nó là 1 và 1. Đại diện thứ ba 1 + 1=2, đại diện thứ tư 1 + 2=3, đại diện thứ năm 2 + 3=5. Hơn nữa, theo cùng một logic, các số 8, 13, 21, v.v. đều tuân theo.
Dãy số này tăng vô hạn và không cógiới hạn cuối cùng. Nhưng nó có một tài sản tuyệt vời khác. Tỷ lệ của mỗi số trước đó với số tiếp theo ngày càng gần giá trị của nó là 0,618. Ở đây bạn có thể hiểu sự khác biệt giữa chuỗi hội tụ và phân kỳ, bởi vì nếu bạn thực hiện một loạt các phép chia từng phần đã nhận, hệ thống số được chỉ định sẽ có giới hạn hữu hạn bằng 0,618.
Chuỗi tỷ lệ Fibonacci
Dãy số được chỉ ra ở trên được sử dụng rộng rãi cho các mục đích thực tế để phân tích kỹ thuật thị trường. Nhưng điều này không chỉ giới hạn ở khả năng của nó, điều mà người Ai Cập và Hy Lạp đã biết và có thể áp dụng vào thời cổ đại. Điều này được chứng minh qua các kim tự tháp mà họ xây dựng và đền Parthenon. Rốt cuộc, con số 0,618 là một hệ số không đổi của phần vàng, được biết đến nhiều trong ngày xưa. Theo quy tắc này, có thể chia bất kỳ đoạn tùy ý nào để tỷ lệ giữa các phần của nó trùng với tỷ lệ giữa đoạn lớn nhất và tổng chiều dài.
Hãy xây dựng một chuỗi các quan hệ được chỉ ra và cố gắng phân tích chuỗi này. Dãy số sẽ như sau: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619, v.v. Tiếp tục theo cách này, chúng ta có thể chắc chắn rằng giới hạn của dãy hội tụ thực sự sẽ là 0,618. Tuy nhiên, cần lưu ý các tính chất khác của sự đều đặn này. Ở đây, các con số dường như đi một cách ngẫu nhiên, và không theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Điều này có nghĩa là chuỗi hội tụ này không đơn điệu. Tại sao điều này lại như vậy sẽ được thảo luận thêm.
Tính đơn điệu và giới hạn
Các thành viên của dãy số có thể giảm rõ ràng khi số lượng tăng dần (nếu x1>x2>x3 >… >x >…) hoặc đang tăng (nếu x1<x2<x 3<… <x <…). Trong trường hợp này, dãy được cho là đơn điệu hoàn toàn. Các mẫu khác cũng có thể được quan sát, trong đó chuỗi số sẽ không giảm và không tăng (x1≧ x2≧ x3≧… ≧ x ≧… hoặc x1≦ x2≦ x3≦… ≦ x ≦…), thì một hội tụ liên tiếp cũng là đơn điệu, chỉ không theo nghĩa chặt chẽ. Một ví dụ điển hình về tùy chọn đầu tiên trong số các tùy chọn này là chuỗi số được đưa ra bởi công thức sau.
Sau khi vẽ các con số của loạt bài này, bạn có thể thấy rằng bất kỳ thành viên nào của nó, tiến gần đến 1 vô thời hạn, sẽ không bao giờ vượt quá giá trị này. Trong trường hợp này, chuỗi hội tụ được cho là có giới hạn. Điều này xảy ra bất cứ khi nào có một số dương M, luôn lớn hơn bất kỳ số hạng nào của môđun chuỗi. Nếu một chuỗi số có các dấu hiệu của tính đơn điệu và có giới hạn, và do đó hội tụ, thì nó nhất thiết phải có tính chất như vậy. Và điều ngược lại không nhất thiết phải đúng. Điều này được chứng minh bằng định lý giới hạn cho một chuỗi hội tụ.
Ứng dụng của những quan sát như vậy trong thực tế rất hữu ích. Hãy đưa ra một ví dụ cụ thể bằng cách kiểm tra các thuộc tính của dãy X =n / n + 1, và chứng minh sự hội tụ của nó. Dễ dàng chứng minh rằng nó là đơn điệu, vì (x + 1- x ) là một số dương với n giá trị bất kỳ. Giới hạn của dãy bằng số 1, nghĩa là thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý trên, còn gọi là định lý Weierstrass. Định lý về giới hạn của một dãy hội tụ nói rằng nếu nó có giới hạn, thì trong mọi trường hợp, nó sẽ biến thành giới hạn. Tuy nhiên, chúng ta hãy lấy một ví dụ sau đây. Dãy số X =(-1) được giới hạn từ bên dưới bởi -1 và từ bên trên bởi 1. Nhưng dãy số này không đơn điệu, không có giới hạn, và do đó không hội tụ. Có nghĩa là, sự tồn tại của một giới hạn và sự hội tụ không phải lúc nào cũng đi theo giới hạn. Để điều này hoạt động, giới hạn dưới và giới hạn trên phải khớp với nhau, như trong trường hợp tỷ lệ Fibonacci.
Các con số và quy luật của Vũ trụ
Các biến thể đơn giản nhất của dãy số hội tụ và phân kỳ có lẽ là dãy số X =n và X =1 / n. Đầu tiên trong số đó là một dãy số tự nhiên. Như đã đề cập, nó lớn vô cùng. Dãy hội tụ thứ hai có giới hạn, và các số hạng của nó có độ lớn gần bằng thập phân. Mỗi công thức này đều nhân cách hóa một trong những mặt của Vũ trụ đa diện, giúp một người tưởng tượng và tính toán một thứ gì đó không thể biết được, không thể tiếp cận với nhận thức hạn chế bằng ngôn ngữ của các con số và dấu hiệu.
Các quy luật của vũ trụ, từ không đáng kể đến vô cùng lớn, cũng thể hiện tỷ lệ vàng 0,618.họ tin rằng nó là cơ sở của bản chất của sự vật và được sử dụng bởi tự nhiên để tạo thành các bộ phận của nó. Mối quan hệ giữa các thành viên tiếp theo và các thành viên trước của chuỗi Fibonacci, mà chúng tôi đã đề cập, không hoàn thành việc chứng minh các tính chất tuyệt vời của chuỗi duy nhất này. Nếu ta xét thương của phép chia số hạng trước cho số sau cho số hạng sau, thì ta được dãy 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382, v.v. Điều thú vị là dãy số giới hạn này hội tụ, nó không đơn điệu, nhưng tỷ lệ của các số lân cận cực trị từ một phần tử nhất định luôn xấp xỉ bằng 0,382, cũng có thể được sử dụng trong kiến trúc, phân tích kỹ thuật và các ngành công nghiệp khác.
Có những hệ số thú vị khác của chuỗi Fibonacci, chúng đều đóng một vai trò đặc biệt trong tự nhiên, và cũng được con người sử dụng cho các mục đích thực tế. Các nhà toán học chắc chắn rằng Vũ trụ phát triển theo một "vòng xoắn vàng" nhất định, được hình thành từ các hệ số đã chỉ ra. Với sự giúp đỡ của họ, người ta có thể tính toán nhiều hiện tượng xảy ra trên Trái đất và trong không gian, từ sự phát triển của số lượng vi khuẩn nhất định đến sự di chuyển của các sao chổi ở xa. Hóa ra, mã DNA tuân theo các quy luật tương tự.
Suy giảm tiến trình hình học
Có một định lý khẳng định tính duy nhất của giới hạn của một dãy hội tụ. Điều này có nghĩa là nó không thể có hai hoặc nhiều giới hạn, điều này chắc chắn rất quan trọng để tìm ra các đặc tính toán học của nó.
Hãy xem một sốcác trường hợp. Bất kỳ chuỗi số nào bao gồm các phần tử của một cấp số cộng đều là phân kỳ, ngoại trừ trường hợp có bước số không. Điều tương tự cũng áp dụng cho một cấp tiến hình học, mẫu số của nó lớn hơn 1. Giới hạn của chuỗi số đó là “cộng” hoặc “trừ” của vô hạn. Nếu mẫu số nhỏ hơn -1 thì không có giới hạn nào cả. Các tùy chọn khác đều có thể.
Xét chuỗi số được cho bởi công thức X =(1/4) -1. Thoạt nhìn, có thể dễ dàng nhận thấy rằng chuỗi hội tụ này bị giới hạn bởi vì nó đang giảm dần và không có khả năng nhận các giá trị âm.
Hãy viết một số thành viên của nó liên tiếp.
Nó sẽ thành: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625, v.v. Những phép tính khá đơn giản cũng đủ hiểu cấp độ hình học này giảm nhanh như thế nào so với các mẫu số 0<q<1. Trong khi mẫu số của các số hạng tăng lên vô hạn, bản thân chúng trở thành số thập phân vô cùng nhỏ. Điều này có nghĩa là giới hạn của dãy số là 0. Ví dụ này một lần nữa chứng minh tính chất giới hạn của dãy số hội tụ.
Trình tự cơ bản
Augustin Louis Cauchy, một nhà khoa học người Pháp, đã tiết lộ cho thế giới biết nhiều công trình liên quan đến phân tích toán học. Ông đã đưa ra các định nghĩa cho các khái niệm như vi phân, tích phân, giới hạn và liên tục. Ông cũng nghiên cứu các tính chất cơ bản của chuỗi hội tụ. Để hiểu bản chất của những ý tưởng của anh ấy,một số chi tiết quan trọng cần được tóm tắt.
Ở phần đầu của bài viết, người ta đã chỉ ra rằng có những chuỗi như vậy có một vùng lân cận nơi các điểm đại diện cho các thành viên của một chuỗi nhất định trên dòng thực bắt đầu tụ lại, xếp hàng ngày càng nhiều dày đặc. Đồng thời, khoảng cách giữa chúng giảm khi số lượng đại diện tiếp theo tăng lên, biến thành một đại diện nhỏ vô hạn. Do đó, nó chỉ ra rằng trong một vùng lân cận cho trước một số lượng vô hạn các đại diện của một loạt nhất định được nhóm lại, trong khi bên ngoài nó có một số hữu hạn trong số họ. Các chuỗi như vậy được gọi là cơ bản.
Tiêu chí Cauchy nổi tiếng, được tạo ra bởi một nhà toán học người Pháp, chỉ ra rõ ràng rằng sự hiện diện của một tính chất như vậy là đủ để chứng minh rằng dãy hội tụ. Điều ngược lại cũng đúng.
Cần lưu ý rằng kết luận này của nhà toán học Pháp chủ yếu là lý thuyết thuần túy. Ứng dụng của nó vào thực tế được coi là một vấn đề khá phức tạp, do đó, để làm rõ sự hội tụ của dãy số thì việc chứng minh sự tồn tại của giới hạn hữu hạn đối với dãy số là quan trọng hơn rất nhiều. Nếu không, nó được coi là phân kỳ.
Khi giải bài toán, người ta cũng nên tính đến các tính chất cơ bản của dãy hội tụ. Chúng được hiển thị bên dưới.
Tổng vô hạn
Các nhà khoa học nổi tiếng thời cổ đại như Archimedes, Euclid, Eudoxus đã sử dụng tổng của chuỗi số vô hạn để tính độ dài của các đường cong, thể tích của các vật thểvà diện tích của các hình. Đặc biệt, bằng cách này, có thể tìm ra diện tích của đoạn parabol. Vì vậy, tổng của chuỗi số của một cấp tiến bộ hình học với q=1/4 đã được sử dụng. Khối lượng và diện tích của các hình tùy ý khác cũng được tìm thấy theo cách tương tự. Tùy chọn này được gọi là phương pháp "cạn kiệt". Ý tưởng là cơ thể được nghiên cứu, có hình dạng phức tạp, được chia thành nhiều phần, là những hình với các thông số dễ đo lường. Vì lý do này, không khó để tính diện tích và khối lượng của chúng, sau đó chúng cộng lại.
Nhân tiện, các nhiệm vụ tương tự rất quen thuộc với học sinh hiện đại và được tìm thấy trong các nhiệm vụ SỬ DỤNG. Phương pháp độc đáo, được tìm ra bởi tổ tiên xa xôi, cho đến nay là giải pháp đơn giản nhất. Ngay cả khi chỉ có hai hoặc ba phần mà con số được chia, thì phép cộng diện tích của chúng vẫn là tổng của chuỗi số.
Muộn hơn rất nhiều so với các nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Leibniz và Newton, dựa trên kinh nghiệm của những người đi trước thông thái của họ, đã học được các mẫu tính tích phân. Kiến thức về các tính chất của dãy số đã giúp họ giải các phương trình vi phân và đại số. Hiện nay, lý thuyết về chuỗi số, được tạo ra bởi nỗ lực của nhiều thế hệ nhà khoa học tài năng, mang lại cơ hội giải quyết một số lượng lớn các vấn đề toán học và thực tiễn. Và việc nghiên cứu các dãy số đã là vấn đề chính được giải quyết bằng phân tích toán học kể từ khi ra đời.
