Bất phương trình và hệ bất phương trình là một trong những chủ đề được giảng dạy trong đại số THPT. Về độ khó, nó không phải là khó nhất, vì nó có những quy tắc đơn giản (về chúng sau một chút). Theo quy luật, học sinh học lời giải của các hệ bất phương trình khá dễ dàng. Điều này cũng là do thực tế là giáo viên chỉ đơn giản là "đào tạo" học sinh của họ về chủ đề này. Và họ không thể không làm điều này, bởi vì nó được nghiên cứu trong tương lai với việc sử dụng các đại lượng toán học khác, và cũng được kiểm tra cho kỳ thi OGE và bài kiểm tra trạng thái thống nhất. Trong sách giáo khoa ở trường, chủ đề về bất phương trình và hệ bất phương trình được đề cập rất chi tiết, vì vậy nếu bạn định học thì tốt nhất nên dùng đến chúng. Bài viết này chỉ là một diễn giải của nhiều tài liệu và có thể có một số thiếu sót.
Khái niệm về hệ bất phương trình
Nếu chuyển sang ngôn ngữ khoa học, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm "hệ thốngbất đẳng thức ". Đây là một mô hình toán học đại diện cho một số bất đẳng thức. Tất nhiên, mô hình này yêu cầu một giải pháp và nó sẽ là câu trả lời chung cho tất cả các bất đẳng thức của hệ được đề xuất trong nhiệm vụ (thông thường nó được viết như thế này, cho ví dụ: “Giải hệ bất phương trình 4 x + 1 > 2 và 30 - x > 6…”).
Hệ bất phương trình và hệ phương trình
Trong quá trình học một chủ đề mới, thường nảy sinh những hiểu lầm. Một mặt, mọi thứ rõ ràng và tôi muốn bắt đầu giải quyết các nhiệm vụ, nhưng mặt khác, một số khoảnh khắc vẫn còn trong "bóng tối", họ không được hiểu rõ. Ngoài ra, một số yếu tố của kiến thức đã tiếp thu có thể được đan xen với những kiến thức mới. Sai lầm thường xảy ra do sự chồng chéo này.
Vì vậy, trước khi tiến hành phân tích chủ đề của chúng ta, chúng ta nên nhớ lại sự khác nhau giữa phương trình và bất phương trình, hệ thức của chúng. Để làm được điều này, cần phải làm rõ một lần nữa những khái niệm toán học này là gì. Một phương trình luôn là một đẳng thức, và nó luôn bằng một cái gì đó (trong toán học, từ này được biểu thị bằng dấu "="). Bất đẳng thức là một mô hình trong đó một giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị khác, hoặc chứa khẳng định rằng chúng không giống nhau. Vì vậy, trong trường hợp đầu tiên, nó là thích hợp để nói về bình đẳng, và trong trường hợp thứ hai, bất kể nó có vẻ rõ ràng như thế nào từtên của chính nó, về sự bất bình đẳng của dữ liệu ban đầu. Các hệ phương trình và bất phương trình trên thực tế không khác nhau và phương pháp giải chúng cũng giống nhau. Sự khác biệt duy nhất là cái trước sử dụng các bình đẳng trong khi cái sau sử dụng các bất bình đẳng.
Các dạng bất đẳng thức
Có hai dạng bất đẳng thức: dạng số và dạng với một biến số chưa biết. Loại đầu tiên được cung cấp các giá trị (số) không bằng nhau, ví dụ: 8 > 10. Loại thứ hai là các bất đẳng thức chứa một biến chưa biết (được biểu thị bằng một số chữ cái trong bảng chữ cái Latinh, thường là X). Biến này cần được tìm thấy. Tùy thuộc vào số lượng bao nhiêu, mô hình toán học phân biệt giữa các bất phương trình với một biến (chúng tạo nên hệ bất phương trình với một biến) hoặc nhiều biến (chúng tạo nên hệ bất phương trình với một số biến).
Hai loại cuối cùng, theo mức độ xây dựng của chúng và mức độ phức tạp của giải pháp, được chia thành đơn giản và phức tạp. Những cái đơn giản còn được gọi là bất đẳng thức tuyến tính. Lần lượt, chúng được chia thành nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt. Đặc biệt nghiêm ngặt "nói" rằng một giá trị phải nhỏ hơn hoặc nhiều hơn, vì vậy đây là bất bình đẳng thuần túy. Có một số ví dụ: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, v.v. Những ví dụ không nghiêm ngặt cũng bao gồm sự bằng nhau. Nghĩa là, một giá trị có thể lớn hơn hoặc bằng một giá trị khác (dấu "≧") hoặc nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị khác (dấu "≦"). Vẫn trong hàngTrong bất đẳng thức, biến không đứng ở căn, bình phương, không chia hết cho bất cứ thứ gì, đó là lý do tại sao chúng được gọi là "đơn giản". Những biến phức tạp bao gồm các biến chưa biết, việc tìm ra biến này đòi hỏi nhiều phép toán hơn. Chúng thường ở dạng hình vuông, hình lập phương hoặc dưới căn, chúng có thể là môđun, logarit, phân số, v.v. Nhưng vì nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu lời giải của các hệ bất phương trình, chúng ta sẽ nói về một hệ bất phương trình tuyến tính. Tuy nhiên, trước đó, nên nói một vài từ về tài sản của họ.
Tính chất của bất đẳng thức
Các tính chất của bất đẳng thức bao gồm các điều khoản sau:
- Dấu bất đẳng thức bị đảo ngược nếu áp dụng thao tác thay đổi dãy các vế (ví dụ: nếu t1≦ t2, sau đó t2≧ t1).
- Cả hai phần của bất đẳng thức đều cho phép bạn thêm cùng một số vào chính mình (ví dụ: nếu t1≦ t2, sau đó t1+ số ≦ t2+ số).
- Hai hoặc nhiều bất đẳng thức có cùng dấu cho phép bạn thêm phần bên trái và bên phải của chúng (ví dụ: nếu t1≧ t2, t3≧ t4, rồi t1+ t 3≧ t2+ t4 ).
- Cả hai phần của bất đẳng thức đều cho phép nhân hoặc chia cho cùng một số dương (ví dụ: nếu t1≦ t2 và số ≦ 0, sau đó đến số t1≧ số t2 ).
- Hai hoặc nhiều bất đẳng thức có các số hạng dương và cùng dấu cho phépnhân nhau (ví dụ: nếu t1≦ t2, t3≦ t 4, t1, t2, t3, t4≧ 0 thì t1t3≦ t2 t4).
- Cả hai phần của bất đẳng thức đều cho phép nhân hoặc chia với cùng một số âm, nhưng dấu bất đẳng thức thay đổi (ví dụ: nếu t1≦ t 2và số ≦ 0, sau đó đến số t1≧ số t2 ).
- Tất cả các bất đẳng thức đều có tính bắc cầu (ví dụ: nếu t1≦ t2và t2 ≦ t3, sau đó t1≦ t3 ).
Bây giờ, sau khi nghiên cứu các quy định chính của lý thuyết liên quan đến bất đẳng thức, chúng ta có thể tiến hành trực tiếp đến việc xem xét các quy tắc để giải hệ của chúng.
Lời giải của hệ bất phương trình. Thông tin chung. Giải pháp
Như đã đề cập ở trên, nghiệm là các giá trị của biến phù hợp với tất cả các bất phương trình của hệ đã cho. Giải pháp của hệ bất phương trình là việc thực hiện các phép toán cuối cùng dẫn đến nghiệm của toàn bộ hệ hoặc chứng minh rằng nó không có nghiệm. Trong trường hợp này, biến được cho là tham chiếu đến tập số rỗng (được viết như sau: ký tự biểu thị biến ∈ (dấu "thuộc về") ø (dấu "tập trống"), ví dụ, x ∈ ø (nó được đọc như thế này: "Biến" x "thuộc tập rỗng"). Có một số cách để giải hệ bất phương trình:đồ thị, đại số, phương pháp thay thế. Điều đáng chú ý là chúng đề cập đến những mô hình toán học có một số biến chưa biết. Trong trường hợp chỉ có một, phương pháp khoảng cách sẽ thực hiện.
Phương pháp đồ họa
Cho phép bạn giải một hệ bất phương trình với một số ẩn số (từ hai trở lên). Nhờ phương pháp này mà hệ bất phương trình tuyến tính được giải khá dễ dàng và nhanh chóng nên nó là phương pháp phổ biến nhất. Điều này là do việc vẽ biểu đồ làm giảm số lượng viết các phép toán. Sẽ đặc biệt dễ chịu nếu bạn tạm dừng bút, cầm bút lên bằng thước kẻ và tiếp tục các thao tác tiếp theo với sự giúp đỡ của họ khi nhiều việc đã được hoàn thành và bạn muốn có một chút đa dạng. Tuy nhiên, một số không thích phương pháp này do bạn phải tách khỏi nhiệm vụ và chuyển hoạt động trí óc sang vẽ. Tuy nhiên, đó là một cách rất hiệu quả.
Để giải một hệ bất phương trình bằng phương pháp đồ thị, cần chuyển tất cả các thành phần của mỗi bất phương trình sang vế trái của chúng. Các dấu hiệu sẽ được đảo ngược, số 0 nên được viết ở bên phải, sau đó mỗi bất đẳng thức nên được viết riêng biệt. Kết quả là, các hàm sẽ nhận được từ các bất đẳng thức. Sau đó, bạn có thể lấy bút chì và thước kẻ: bây giờ bạn cần vẽ đồ thị của từng hàm số thu được. Toàn bộ tập hợp các số nằm trong khoảng giao điểm của chúng sẽ là nghiệm của hệ bất phương trình.
Cách đại số
Cho phép bạn giải hệ bất phương trình với hai biến chưa biết. Các bất đẳng thức cũng phải có cùng dấu bất đẳng thức (nghĩa là chúng phải chỉ chứa dấu "lớn hơn" hoặc chỉ có dấu "nhỏ hơn", v.v.) Mặc dù có những hạn chế, phương pháp này cũng phức tạp hơn. Nó được áp dụng trong hai bước.
Cách đầu tiên liên quan đến việc loại bỏ một trong các biến không xác định. Trước tiên, bạn cần chọn nó, sau đó kiểm tra sự hiện diện của các số phía trước biến này. Nếu không có (biến sẽ giống như một ký tự) thì chúng ta không thay đổi bất cứ điều gì, nếu có (kiểu của biến sẽ là, ví dụ, 5y hoặc 12y), thì cần phải đảm bảo rằng trong mỗi bất đẳng thức, số đứng trước biến được chọn là như nhau. Để làm điều này, bạn cần nhân mỗi thành viên của bất đẳng thức với một nhân tử chung, ví dụ: nếu 3y được viết trong bất đẳng thức đầu tiên và 5y trong bất đẳng thức thứ hai, thì bạn cần nhân tất cả các thành viên của bất đẳng thức đầu tiên với 5 và thứ hai là 3. Bạn nhận được lần lượt là 15y và 15y.
Giai đoạn thứ hai của quyết định. Cần chuyển vế trái của mỗi bất đẳng thức sang vế phải của chúng bằng sự đổi dấu của mỗi số hạng sang vế đối, viết số 0 vào bên phải. Sau đó, đến phần thú vị: loại bỏ biến đã chọn (còn được gọi là "giảm") trong khi cộng các bất đẳng thức. Bạn sẽ nhận được một bất đẳng thức với một biến số cần được giải quyết. Sau đó, bạn cũng nên thực hiện tương tự, chỉ với một biến khác chưa biết. Kết quả thu được sẽ là giải pháp của hệ thống.
Phương pháp thay thế
Cho phép bạn giải hệ bất phương trình khi bạn có cơ hội giới thiệu một biến mới. Thông thường, phương pháp này được sử dụng khi biến chưa biết trong một số hạng của bất đẳng thức được nâng lên lũy thừa thứ tư, và trong số hạng kia nó được bình phương. Do đó, phương pháp này nhằm giảm mức độ bất bình đẳng trong hệ thống. Bất phương trình mẫu x4- x2- 1 ≦ 0 được giải theo cách này như sau. Một biến mới được giới thiệu, ví dụ t. Họ viết: "Cho t=x2 ", sau đó mô hình được viết lại dưới dạng mới. Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta nhận được t2- t - 1 ≦ 0. Bất đẳng thức này cần được giải bằng phương pháp khoảng (khoảng sau đó), sau đó quay trở lại biến X, sau đó làm tương tự với bất đẳng thức khác. Câu trả lời nhận được sẽ do hệ thống quyết định.
Phương pháp ngắt quãng
Đây là cách dễ nhất để giải các hệ bất phương trình, đồng thời nó cũng phổ biến và rộng rãi. Nó được sử dụng ở trường trung học, và thậm chí cả ở trường trung học. Bản chất của nó nằm ở chỗ học sinh tìm các khoảng bất đẳng thức trên trục số, được vẽ trong vở (đây không phải là đồ thị mà chỉ là một đoạn thẳng thông thường với các con số). Trường hợp các khoảng bất phương trình cắt nhau, nghiệm của hệ được tìm thấy. Để sử dụng phương pháp khoảng cách, hãy làm theo các bước sau:
- Tất cả các thành viên của mỗi bất đẳng thức được chuyển sang vế trái và đổi dấu sang vế ngược lại (số 0 được viết ở bên phải).
- Các bất đẳng thức được viết riêng, giải pháp của từng bất đẳng thức được xác định.
- Giao điểm của bất đẳng thức trên sốthẳng. Tất cả các con số tại các giao lộ này sẽ là giải pháp.
Sử dụng cách nào?
Rõ ràng là công việc có vẻ dễ dàng và thuận tiện nhất, nhưng đôi khi các nhiệm vụ đòi hỏi một phương pháp nhất định. Thông thường, họ nói rằng bạn cần giải bằng cách sử dụng đồ thị hoặc sử dụng phương pháp khoảng thời gian. Phương pháp đại số và phép thay thế được sử dụng rất hiếm khi hoặc hoàn toàn không được sử dụng, vì chúng khá phức tạp và khó hiểu, ngoài ra, chúng được sử dụng nhiều hơn để giải hệ phương trình hơn là bất phương trình, vì vậy bạn nên dùng đến việc vẽ đồ thị và khoảng. Chúng mang lại khả năng hiển thị, điều này không thể không góp phần vào việc tiến hành hiệu quả và nhanh chóng các phép toán.
Nếu điều gì đó không hoạt động
Trong quá trình nghiên cứu một chủ đề cụ thể trong đại số, tất nhiên, có thể có vấn đề với sự hiểu biết của nó. Và điều này là bình thường, bởi vì bộ não của chúng ta được thiết kế theo cách mà nó không thể hiểu được những vật chất phức tạp trong một sớm một chiều. Thông thường, bạn cần đọc lại một đoạn văn, nhờ sự trợ giúp của giáo viên hoặc thực hành giải các bài toán điển hình. Trong trường hợp của chúng ta, chúng sẽ giống như sau: "Giải hệ bất phương trình 3 x + 1 ≧ 0 và 2 x - 1 > 3". Do đó, sự phấn đấu của cá nhân, sự giúp đỡ từ người ngoài và thực hành giúp hiểu được bất kỳ chủ đề phức tạp nào.
Reshebnik?
Và cuốn sách giải cũng rất tốt, nhưng không phải để gian lận bài tập về nhà, mà là để tự lực. Trong đó, bạn có thể tìm thấy các hệ bất phương trình có lời giải, hãy xemchúng (như các mẫu), cố gắng hiểu chính xác cách tác giả của giải pháp đối phó với nhiệm vụ và sau đó cố gắng tự mình thực hiện.
Kết luận
Đại số là một trong những môn học khó nhất ở trường. Chà, bạn có thể làm gì? Toán học luôn là như vậy: đối với một số thì nó đến dễ dàng, còn đối với những người khác thì lại khó. Nhưng trong mọi trường hợp, cần nhớ rằng chương trình giáo dục phổ thông được thiết kế theo hướng mà học sinh nào cũng có thể đối phó được. Ngoài ra, bạn cần ghi nhớ số lượng trợ thủ rất lớn. Một số trong số chúng đã được đề cập ở trên.
