Ngay cả ở trường, mỗi chúng tôi đều học các phương trình và chắc chắn là các hệ phương trình. Nhưng không nhiều người biết rằng có một số cách để giải quyết chúng. Hôm nay chúng ta sẽ phân tích chi tiết tất cả các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính có nhiều hơn hai nghiệm.
Lịch sử
Ngày nay người ta biết rằng nghệ thuật giải phương trình và hệ thống của chúng có nguồn gốc từ Babylon và Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, các dấu bằng ở dạng thông thường của chúng đã xuất hiện sau khi xuất hiện dấu bằng "=", được giới thiệu vào năm 1556 bởi Record nhà toán học Anh. Nhân tiện, dấu hiệu này được chọn vì một lý do: nó có nghĩa là hai đoạn thẳng bằng nhau song song. Thật vậy, không có ví dụ nào tốt hơn về sự bình đẳng.
Người sáng lập ký hiệu chữ cái hiện đại cho ẩn số và dấu hiệu độ là nhà toán học người Pháp Francois Việt. Tuy nhiên, các chỉ định của ông đã khác đáng kể so với ngày nay. Ví dụ, ông biểu thị hình vuông của một số chưa biết bằng chữ Q (lat. "Quadratus") và hình lập phương bằng chữ C (lat. "Cubus"). Những chỉ định này hiện có vẻ bất tiện, nhưng sau đóđó là cách dễ hiểu nhất để viết các hệ phương trình đại số tuyến tính.
Tuy nhiên, nhược điểm của các phương pháp giải khi đó là các nhà toán học chỉ coi các nghiệm nguyên dương. Có lẽ điều này là do thực tế là các giá trị âm không được sử dụng trong thực tế. Bằng cách này hay cách khác, chính các nhà toán học Ý Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano và Rafael Bombelli là những người đầu tiên xem xét các gốc âm vào thế kỷ 16. Và giao diện hiện đại, phương pháp chính để giải phương trình bậc hai (thông qua dấu phân biệt) chỉ được tạo ra vào thế kỷ 17 nhờ công của Descartes và Newton.
Vào giữa thế kỷ 18, nhà toán học người Thụy Sĩ Gabriel Cramer đã tìm ra một phương pháp mới giúp giải các hệ phương trình tuyến tính dễ dàng hơn. Phương pháp này sau đó được đặt theo tên của ông ấy và cho đến ngày nay chúng ta vẫn sử dụng nó. Nhưng chúng ta sẽ nói về phương pháp Cramer sau một chút, còn bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về phương trình tuyến tính và phương pháp giải chúng riêng biệt với hệ thống.
Phương trình tuyến tính
Phương trình tuyến tính là phương trình cân bằng đơn giản nhất với (các) biến. Chúng được phân loại là đại số. Phương trình tuyến tính được viết dưới dạng tổng quát như sau:2+… a x =b. Chúng tôi sẽ cần biểu diễn của chúng trong biểu mẫu này khi biên dịch thêm các hệ thống và ma trận.
Hệ phương trình đại số tuyến tính
Định nghĩa của thuật ngữ này là: nó là một tập hợp các phương trình có ẩn số chung và một nghiệm chung. Theo quy luật, ở trường mọi thứ đều do hệ thống quyết địnhvới hai hoặc thậm chí ba phương trình. Nhưng có những hệ thống có bốn thành phần trở lên. Đầu tiên chúng ta hãy tìm cách viết chúng ra để thuận tiện cho việc giải quyết chúng sau này. Đầu tiên, các hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ đẹp hơn nếu tất cả các biến được viết dưới dạng x với chỉ số thích hợp: 1, 2, 3, v.v. Thứ hai, tất cả các phương trình nên được rút gọn về dạng chính tắc: a1 x1+ a2 x 2+… a x =b.
Sau tất cả các bước này, chúng ta có thể bắt đầu nói về cách tìm nghiệm cho hệ phương trình tuyến tính. Ma trận sẽ rất hữu ích cho việc này.
Ma trận
Ma trận là một bảng bao gồm các hàng và cột, và các phần tử của nó nằm ở giao điểm của chúng. Đây có thể là các giá trị hoặc biến cụ thể. Thông thường, để chỉ định các phần tử, các chỉ số con được đặt dưới chúng (ví dụ:11hoặc23). Chỉ mục đầu tiên có nghĩa là số hàng và chỉ mục thứ hai là số cột. Trên ma trận, cũng như trên bất kỳ phần tử toán học nào khác, bạn có thể thực hiện các phép toán khác nhau. Vì vậy, bạn có thể:
1) Trừ và thêm các bảng có cùng kích thước.
2) Nhân ma trận với một số hoặc vectơ.
3) Chuyển đổi: Chuyển các hàng của ma trận thành cột và cột thành hàng.
4) Nhân ma trận nếu số hàng của một trong số chúng bằng số cột của ma trận kia.
Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn về tất cả các kỹ thuật này, vì chúng sẽ hữu ích cho chúng ta trong tương lai. Việc trừ và cộng các ma trận rất dễ dàng. Cho nênkhi chúng ta lấy các ma trận có cùng kích thước, thì mỗi phần tử của một bảng tương ứng với mỗi phần tử của bảng khác. Do đó, chúng ta cộng (trừ) hai phần tử này (điều quan trọng là chúng phải ở cùng một vị trí trong ma trận của chúng). Khi nhân ma trận với một số hoặc vectơ, bạn chỉ cần nhân từng phần tử của ma trận với số (hoặc vectơ) đó. Chuyển vị là một quá trình rất thú vị. Đôi khi, rất thú vị khi nhìn thấy nó trong cuộc sống thực, chẳng hạn như khi thay đổi hướng của máy tính bảng hoặc điện thoại. Các biểu tượng trên màn hình nền là một ma trận và khi bạn thay đổi vị trí, nó sẽ chuyển vị và trở nên rộng hơn, nhưng giảm chiều cao.
Chúng ta hãy nhìn lại một quá trình như là phép nhân ma trận. Mặc dù nó sẽ không hữu ích cho chúng ta, nhưng vẫn sẽ hữu ích khi biết nó. Bạn chỉ có thể nhân hai ma trận nếu số cột trong một bảng bằng số hàng trong bảng kia. Bây giờ chúng ta hãy lấy các phần tử của một hàng của một ma trận và các phần tử của cột tương ứng của một ma trận khác. Chúng tôi nhân chúng với nhau và sau đó cộng chúng (ví dụ: tích của các phần tử a11và a12với b12 và b22sẽ bằng: a11 b12+ a 12 b22). Do đó, một phần tử của bảng được lấy và nó được điền thêm bằng một phương pháp tương tự.
Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu xem cách giải hệ phương trình tuyến tính.
phương pháp Gauss
Chủ đề này bắt đầu trôi qua ngay cả ở trường học. Chúng ta biết rõ khái niệm "hệ hai phương trình tuyến tính" và biết cách giải chúng. Nhưng nếu số phương trình nhiều hơn hai thì sao? Phương pháp Gauss sẽ giúp chúng ta điều này.
Tất nhiên, phương pháp này thuận tiện để sử dụng nếu bạn tạo ma trận ngoài hệ thống. Nhưng bạn không thể biến đổi nó và giải quyết nó ở dạng tinh khiết nhất.
Vậy phương pháp này giải hệ phương trình Gaussian tuyến tính như thế nào? Nhân tiện, mặc dù phương pháp này được đặt theo tên của ông, nhưng nó đã được phát hiện ở thời cổ đại. Gauss đề xuất như sau: thực hiện các phép toán với phương trình để cuối cùng giảm toàn bộ tập hợp thành dạng bậc. Có nghĩa là, điều cần thiết là từ trên xuống dưới (nếu đặt đúng) từ phương trình đầu tiên đến cuối cùng, một ẩn số giảm đi. Nói cách khác, chúng ta cần đảm bảo rằng chúng ta có được, chẳng hạn như, ba phương trình: ở phương trình thứ nhất - ba ẩn số, phương trình thứ hai - hai, phương trình thứ ba - một. Sau đó, từ phương trình cuối cùng, chúng ta tìm ẩn số đầu tiên, thay giá trị của nó vào phương trình thứ hai hoặc thứ nhất, rồi tìm hai biến còn lại.
Phương pháp Cramer
Để thành thạo phương pháp này, điều quan trọng là phải thành thạo các kỹ năng cộng, trừ ma trận và bạn cũng cần phải có khả năng tìm các định thức. Vì vậy, nếu bạn làm tất cả những điều này kém hoặc không biết cách, bạn sẽ phải học và thực hành.
Bản chất của phương pháp này là gì và cách thực hiện nó để thu được hệ phương trình Cramer tuyến tính? Mọi thứ rất đơn giản. Chúng ta phải xây dựng một ma trận từ các hệ số (hầu như luôn luôn) của một hệ phương trình đại số tuyến tính. Để làm điều này, chỉ cần lấy các số đứng trước ẩn số và sắp xếp chúng theobảng theo thứ tự mà chúng được ghi lại trong hệ thống. Nếu số đứng trước dấu "-" thì ta ghi hệ số âm. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn ma trận đầu tiên từ các hệ số của ẩn số, không bao gồm các số sau dấu bằng (đương nhiên, phương trình sẽ được rút gọn về dạng chính tắc, khi chỉ có số ở bên phải và tất cả các ẩn số với hệ số bên trái). Sau đó, bạn cần tạo thêm một số ma trận - một ma trận cho mỗi biến. Để làm được điều này, ta thay lần lượt từng cột có các hệ số trong ma trận đầu tiên bằng một cột các số sau dấu bằng. Do đó, chúng tôi thu được một số ma trận và sau đó tìm các định thức của chúng.
Sau khi chúng tôi đã tìm ra các yếu tố quyết định, vấn đề chỉ còn nhỏ. Chúng ta có một ma trận ban đầu và có một số ma trận kết quả tương ứng với các biến khác nhau. Để có các nghiệm của hệ, ta chia định thức của bảng kết quả cho định thức của bảng ban đầu. Số kết quả là giá trị của một trong các biến. Tương tự, chúng tôi tìm thấy tất cả các ẩn số.
Phương pháp khác
Có một số phương pháp khác để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, cái gọi là phương pháp Gauss-Jordan, được sử dụng để tìm lời giải cho một hệ phương trình bậc hai và cũng được kết hợp với việc sử dụng ma trận. Ngoài ra còn có một phương pháp Jacobi để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính. Đây là cách dễ dàng nhất để thích ứng với máy tính và được sử dụng trong máy tính.
Ca khó
Độ phức tạp thường xảy ra khi số phương trình ít hơn số biến. Sau đó, chúng ta có thể nói chắc chắn rằng hoặc hệ thống là không nhất quán (nghĩa là nó không có gốc), hoặc số nghiệm của nó có xu hướng vô hạn. Nếu gặp trường hợp thứ hai thì chúng ta cần viết nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính. Nó sẽ chứa ít nhất một biến.
Kết
Đến đây là chúng ta kết thúc. Tóm lại: chúng ta đã phân tích hệ và ma trận là gì, chúng ta đã học cách tìm nghiệm tổng quát cho một hệ phương trình tuyến tính. Ngoài ra, các lựa chọn khác đã được xem xét. Chúng tôi đã tìm ra cách giải hệ phương trình tuyến tính: phương pháp Gauss và phương pháp Cramer. Chúng tôi đã nói về những trường hợp khó và những cách khác để tìm ra giải pháp.
Trên thực tế, chủ đề này rộng hơn nhiều, và nếu bạn muốn hiểu rõ hơn về nó, chúng tôi khuyên bạn nên đọc thêm tài liệu chuyên ngành.
