Tôi nghĩ chúng ta nên bắt đầu với lịch sử của một công cụ toán học huy hoàng như phương trình vi phân. Giống như tất cả các phép tính vi phân và tích phân, những phương trình này được Newton phát minh vào cuối thế kỷ 17. Ông coi khám phá này rất quan trọng của mình, đến nỗi ông thậm chí còn mã hóa thông điệp, mà ngày nay có thể được dịch như thế này: "Tất cả các quy luật tự nhiên đều được mô tả bằng các phương trình vi phân." Điều này có vẻ như là một sự phóng đại, nhưng đó là sự thật. Mọi định luật vật lý, hóa học, sinh học đều có thể được mô tả bằng các phương trình này.
Các nhà toán học Euler và Lagrange đã có đóng góp to lớn trong việc phát triển và tạo ra lý thuyết về phương trình vi phân. Đã ở thế kỷ 18, họ đã khám phá và phát triển những gì họ đang học trong các khóa học cao cấp của các trường đại học.
Một cột mốc mới trong nghiên cứu phương trình vi phân bắt đầu nhờ Henri Poincare. Ông đã tạo ra một "lý thuyết định tính về phương trình vi phân", kết hợp với lý thuyết hàm của một biến phức, đã đóng góp đáng kể vào nền tảng của cấu trúc liên kết - khoa học về không gian vàthuộc tính.
Phương trình vi phân là gì?
Nhiều người sợ một cụm từ "phương trình vi phân". Tuy nhiên, trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết toàn bộ bản chất của bộ máy toán học rất hữu ích này, nó thực sự không phức tạp như cái tên của nó. Để bắt đầu nói về phương trình vi phân cấp một, trước tiên bạn nên làm quen với các khái niệm cơ bản vốn có liên quan đến định nghĩa này. Và chúng ta sẽ bắt đầu với sự khác biệt.
Khác biệt
Nhiều người biết khái niệm này từ trường học. Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn nó. Hãy tưởng tượng một đồ thị của một hàm số. Chúng ta có thể tăng nó đến mức mà bất kỳ phân đoạn nào của nó sẽ có dạng một đường thẳng. Trên đó, chúng ta lấy hai điểm gần nhau vô hạn. Sự khác biệt giữa các tọa độ của chúng (x hoặc y) sẽ là một giá trị nhỏ. Nó được gọi là vi phân và được ký hiệu bằng các dấu hiệu dy (vi phân với y) và dx (vi phân với x). Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng vi phân không phải là một giá trị hữu hạn và đây là ý nghĩa và chức năng chính của nó.
Và bây giờ chúng ta cần xem xét yếu tố tiếp theo, yếu tố này sẽ hữu ích cho chúng ta trong việc giải thích khái niệm phương trình vi phân. Đây là đạo hàm.
Phái sinh
Tất cả chúng ta có lẽ đã từng nghe ở trường học và khái niệm này. Đạo hàm được cho là tốc độ tăng hoặc giảm của một hàm. Tuy nhiên, từ định nghĩa nàynhiều trở nên không rõ ràng. Hãy thử giải thích đạo hàm dưới dạng vi phân. Hãy quay lại phân đoạn vô cùng nhỏ của một hàm với hai điểm cách nhau một khoảng nhỏ nhất. Nhưng ngay cả đối với khoảng cách này, hàm quản lý để thay đổi một số lượng. Và để mô tả sự thay đổi này, họ đã đưa ra một đạo hàm, có thể được viết theo cách khác là một tỷ lệ của vi phân: f (x) '=df / dx.
Bây giờ nó là giá trị xem xét các tính chất cơ bản của đạo hàm. Chỉ có ba trong số chúng:
- Đạo hàm của tổng hoặc hiệu có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hoặc hiệu của các đạo hàm: (a + b) '=a' + b 'và (a-b)'=a'-b '.
- Tính chất thứ hai liên quan đến phép nhân. Đạo hàm của một tích là tổng các tích của một hàm và đạo hàm của một hàm khác: (ab) '=a'b + ab '.
- Đạo hàm của hiệu số có thể được viết dưới dạng đẳng thức sau: (a / b) '=(a'b-ab ') / b2.
Tất cả các thuộc tính này sẽ hữu ích để tìm lời giải cho phương trình vi phân cấp một.
Ngoài ra còn có các đạo hàm riêng. Giả sử chúng ta có một hàm z phụ thuộc vào các biến x và y. Để tính đạo hàm riêng của hàm này, chẳng hạn, đối với x, chúng ta cần lấy biến y làm hằng số và đơn giản là phân biệt.
Tích
Một khái niệm quan trọng khác là tích phân. Trong thực tế, điều này là đối lập trực tiếp với đạo hàm. Có một số loại tích phân, nhưng để giải các phương trình vi phân đơn giản nhất, chúng ta cần các tích phân bất định nhỏ nhất.
Vậy tích phân là gì? Giả sử chúng ta có một số phụ thuộc ftừ x. Chúng ta lấy tích phân từ nó và nhận được hàm F (x) (thường được gọi là đạo hàm), đạo hàm của nó bằng nguyên hàm. Do đó F (x) '=f (x). Cũng từ đó mà tích phân của đạo hàm bằng với nguyên hàm.
Khi giải phương trình vi phân, điều rất quan trọng là phải hiểu ý nghĩa và chức năng của tích phân, vì bạn sẽ phải thực hiện chúng rất thường xuyên để tìm ra lời giải.
Các phương trình là khác nhau tùy thuộc vào bản chất của chúng. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các dạng của phương trình vi phân cấp một, sau đó tìm hiểu cách giải.
Các loại phương trình vi phân
"Chênh lệch" được chia theo thứ tự của các dẫn xuất liên quan đến chúng. Như vậy, có thứ tự thứ nhất, thứ hai, thứ ba và nhiều hơn nữa. Chúng cũng có thể được chia thành nhiều lớp: đạo hàm thông thường và đạo hàm riêng.
Trong bài này chúng ta sẽ xét các phương trình vi phân thường bậc nhất. Chúng tôi cũng sẽ thảo luận về các ví dụ và cách giải quyết chúng trong các phần sau. Chúng tôi sẽ chỉ xem xét ODE, vì đây là loại phương trình phổ biến nhất. Thông thường được chia thành các phân loài: với các biến có thể phân tách, đồng nhất và không đồng nhất. Tiếp theo, bạn sẽ tìm hiểu chúng khác nhau như thế nào và tìm hiểu cách giải quyết chúng.
Ngoài ra, các phương trình này có thể kết hợp với nhau, để sau khi ta được hệ phương trình vi phân bậc nhất. Chúng tôi cũng sẽ xem xét các hệ thống như vậy và tìm hiểu cách giải quyết chúng.
Tại sao chúng tôi chỉ xem xét đơn hàng đầu tiên? Bởi vì bạn cần bắt đầu với một từ đơn giản và mô tả mọi thứ liên quan đến vi phânphương trình, trong một bài báo đơn giản là không thể.
Phương trình biến phân biệt
Đây có lẽ là những phương trình vi phân bậc nhất đơn giản nhất. Chúng bao gồm các ví dụ có thể được viết như sau: y '=f (x)f (y). Để giải phương trình này, chúng ta cần một công thức biểu diễn đạo hàm dưới dạng tỷ số vi phân: y '=dy / dx. Sử dụng nó, chúng ta nhận được phương trình sau: dy / dx=f (x)f (y). Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang phương pháp để giải các ví dụ tiêu chuẩn: chúng ta sẽ chia các biến thành các phần, tức là chúng ta sẽ chuyển mọi thứ có biến y sang phần có dy và chúng ta sẽ làm tương tự với biến x. Ta thu được một phương trình có dạng: dy / f (y)=f (x) dx, được giải bằng cách lấy tích phân của cả hai phần. Đừng quên về hằng số phải được đặt sau khi lấy tích phân.
Giải pháp cho bất kỳ "độ chênh lệch" nào là một hàm của sự phụ thuộc của x vào y (trong trường hợp của chúng ta) hoặc, nếu có một điều kiện số, thì câu trả lời ở dạng số. Hãy phân tích toàn bộ quá trình của giải pháp bằng một ví dụ cụ thể:
y '=2ysin (x)
Di chuyển các biến theo các hướng khác nhau:
dy / y=2sin (x) dx
Bây giờ chúng ta lấy tích phân. Tất cả chúng có thể được tìm thấy trong một bảng đặc biệt của tích phân. Và chúng tôi nhận được:
ln (y)=-2cos (x) + C
Nếu được yêu cầu, chúng ta có thể biểu thị "y" dưới dạng một hàm của "x". Bây giờ chúng ta có thể nói rằng phương trình vi phân của chúng ta được giải nếu không có điều kiện nào được đưa ra. Một điều kiện có thể được đưa ra, ví dụ, y (n / 2)=e. Sau đó, chúng tôi chỉ cần thay thế giá trị của các biến này vào giải pháp vàtìm giá trị của hằng số. Trong ví dụ của chúng tôi, nó bằng 1.
Phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất
Bây giờ đến phần khó hơn. Phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất có thể viết dưới dạng tổng quát như sau: y '=z (x, y). Cần lưu ý rằng hàm bên phải của hai biến là đồng nhất và nó không thể được chia thành hai phụ thuộc: z trên x và z trên y. Việc kiểm tra xem phương trình có thuần nhất hay không khá đơn giản: ta thực hiện phép thay thế x=kx và y=ky. Bây giờ chúng tôi hủy bỏ tất cả k. Nếu tất cả các chữ cái này được rút gọn, thì phương trình là thuần nhất và bạn có thể tiến hành giải nó một cách an toàn. Nhìn về phía trước, hãy nói rằng: nguyên tắc giải các ví dụ này cũng rất đơn giản.
Chúng ta cần thực hiện phép thay thế: y=t (x)x, trong đó t là một số hàm phụ thuộc vào x. Khi đó chúng ta có thể biểu diễn đạo hàm: y '=t' (x)x + t. Thay tất cả điều này vào phương trình ban đầu của chúng ta và đơn giản hóa nó, chúng ta nhận được một ví dụ với các biến t và x có thể phân tách. Ta giải nó và nhận được sự phụ thuộc t (x). Khi chúng tôi nhận được nó, chúng tôi chỉ cần thay thế y=t (x)x vào thay thế trước đó của chúng tôi. Sau đó, chúng ta nhận được sự phụ thuộc của y vào x.
Để làm rõ hơn, hãy xem ví dụ: xy '=y-xey / x.
Khi kiểm tra với thay thế, mọi thứ đều giảm. Vì vậy phương trình thực sự thuần nhất. Bây giờ chúng ta thực hiện một phép thay thế khác mà chúng ta đã nói về: y=t (x)x và y '=t' (x)x + t (x). Sau khi đơn giản hóa, chúng ta nhận được phương trình sau: t '(x)x=-et. Chúng ta giải ví dụ kết quả với các biến được tách biệt và nhận được: e-t=ln (Cx). Chúng ta chỉ cần thay t bằng y / x (sau cùng, nếu y=tx, thì t=y / x), và chúng ta nhận đượcđáp án: e-y / x=ln (xC).
Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất
Đã đến lúc cho một chủ đề lớn khác. Chúng ta sẽ phân tích phương trình vi phân cấp một không thuần nhất. Chúng khác nhau như thế nào so với hai phần trước? Hãy tìm ra nó. Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất ở dạng tổng quát có thể được viết như sau: y '+ g (x)y=z (x). Cần làm rõ rằng z (x) và g (x) có thể là hằng số.
Và bây giờ là một ví dụ: y '- yx=x2.
Có hai cách để giải quyết và chúng tôi sẽ giải quyết theo thứ tự cả hai. Phương pháp đầu tiên là phương pháp biến đổi của các hằng số tùy ý.
Để giải phương trình theo cách này, trước tiên bạn phải cân bằng vế phải với 0 và giải phương trình kết quả, sau khi chuyển các phần sẽ có dạng:
y '=yx;
dy / dx=yx;
dy / y=xdx;
ln | y |=x2/ 2 + C;
y=ex2 / 2 yC=C1 ex2 / 2.
Bây giờ chúng ta cần thay hằng số C1bằng hàm v (x) mà chúng ta phải tìm.
y=vex2 / 2.
Hãy thay đổi đạo hàm:
y '=v'ex2 / 2-xvex2 / 2.
Và thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu:
v ' ex2 / 2- xvex2 / 2+ xvex2 / 2=x2.
Bạn có thể thấy rằng hai điều khoản hủy bỏ ở phía bên trái. Nếu trong một số ví dụ, điều này không xảy ra, thì bạn đã làm sai điều gì đó. Tiếp tục:
v ' ex2 / 2=x2.
Bây giờ chúng ta giải phương trình thông thường, trong đó chúng ta cần tách các biến:
dv / dx=x2/ ex2 / 2;
dv=x2 e-x2 / 2dx.
Để rút ra tích phân, chúng ta phải áp dụng tích phân theo từng phần ở đây. Tuy nhiên, đây không phải là chủ đề của bài viết của chúng tôi. Nếu quan tâm, bạn có thể tự học cách thực hiện các thao tác đó. Nó không khó, và với đủ kỹ năng và sự chú ý thì không mất nhiều thời gian.
Hãy chuyển sang phương pháp thứ hai để giải phương trình không thuần nhất: phương pháp Bernoulli. Cách tiếp cận nào nhanh hơn và dễ dàng hơn là tùy thuộc vào bạn.
Vì vậy, khi giải phương trình bằng phương pháp này, chúng ta cần thực hiện thay thế: y=kn. Ở đây k và n là một số hàm phụ thuộc x. Khi đó đạo hàm sẽ có dạng như sau: y '=k'n + kn '. Thay cả hai thay thế vào phương trình:
k ' n + kn' + xkn=x2.
Nhóm:
k ' n + k(n' + xn)=x2.
Bây giờ chúng ta cần phải bằng 0 những gì trong ngoặc. Bây giờ, nếu bạn kết hợp hai phương trình thu được, bạn sẽ có một hệ phương trình vi phân bậc nhất mà bạn cần giải:
n '+ xn=0;
k ' n=x2.
Đẳng thức đầu tiên được giải giống như một phương trình bình thường. Để thực hiện việc này, bạn cần tách các biến:
dn / dx=xv;
dn / n=xdx.
Lấy tích phân và được: ln (n)=x2/ 2. Sau đó, nếu chúng ta diễn đạt n:
n=ex2 / 2.
Bây giờ chúng ta thay thế đẳng thức thu được thành đẳng thức thứ hai của hệ thống:
k ' ex2 / 2=x2.
Và khi biến đổi, chúng ta nhận được đẳng thức giống như trong phương pháp đầu tiên:
dk=x2/ ex2 / 2.
Chúng tôi cũng sẽ không đi vào các bước tiếp theo. Điều đáng nói là lúc đầu việc giải phương trình vi phân bậc nhất gây ra những khó khăn không nhỏ. Tuy nhiên, khi bạn đi sâu hơn vào chủ đề, nó bắt đầu trở nên ngày càng tốt hơn.
Phương trình vi phân được sử dụng ở đâu?
Phương trình vi phân được sử dụng rất tích cực trong vật lý, vì hầu hết tất cả các định luật cơ bản đều được viết dưới dạng vi phân, và các công thức mà chúng ta thấy là nghiệm của các phương trình này. Trong hóa học, chúng được sử dụng với lý do tương tự: các định luật cơ bản bắt nguồn từ chúng. Trong sinh học, các phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa hành vi của các hệ thống, chẳng hạn như động vật ăn thịt-con mồi. Chúng cũng có thể được sử dụng để tạo ra các mô hình sinh sản, chẳng hạn như một đàn vi sinh vật.
Phương trình vi phân sẽ giúp ích như thế nào trong cuộc sống?
Câu trả lời cho câu hỏi này rất đơn giản: không thể nào. Nếu bạn không phải là một nhà khoa học hoặc kỹ sư, thì họ không chắc sẽ hữu ích cho bạn. Tuy nhiên, đối với sự phát triển chung, không có gì khó hiểu khi biết phương trình vi phân là gì và nó được giải như thế nào. Và sau đó là câu hỏi của con trai hay con gái "phương trình vi phân là gì?" sẽ không làm bạn bối rối. Vâng, nếu bạn là một nhà khoa học hoặc một kỹ sư, thì bản thân bạn hiểu tầm quan trọng của chủ đề này trong bất kỳ ngành khoa học nào. Nhưng điều quan trọng nhất bây giờ là câu hỏi "làm thế nào để giải một phương trình vi phân cấp một?" bạn luôn có thể trả lời. Đồng ý, nó luôn luôn tốt đẹpkhi bạn hiểu những gì mọi người thậm chí còn sợ hiểu.
Vấn đề học tập chính
Vấn đề chính khi hiểu chủ đề này là kỹ năng tích phân và phân biệt các hàm kém. Nếu bạn không giỏi về đạo hàm và tích phân, thì có lẽ bạn nên học thêm, nắm vững các phương pháp tích phân và phân biệt, sau đó bắt đầu nghiên cứu tài liệu được mô tả trong bài viết.
Một số người ngạc nhiên khi biết rằng dx có thể chuyển được, bởi vì trước đó (ở trường) người ta đã nói rằng phân số dy / dx là không thể chia hết. Ở đây, bạn cần đọc tài liệu về đạo hàm và hiểu rằng đó là tỷ lệ của các đại lượng vô số có thể được vận dụng khi giải phương trình.
Nhiều người không nhận ra ngay rằng nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất thường là một hàm hoặc một tích phân không thể lấy được, và sự ảo tưởng này mang lại cho họ rất nhiều rắc rối.
Còn điều gì nữa có thể được nghiên cứu để hiểu rõ hơn?
Tốt nhất là bạn nên bắt đầu đắm mình hơn nữa trong thế giới của phép tính vi phân với các sách giáo khoa chuyên ngành, ví dụ như môn giải tích dành cho sinh viên không thuộc chuyên ngành toán học. Sau đó, bạn có thể chuyển sang văn học chuyên ngành hơn.
Cần phải nói rằng, ngoài phương trình vi phân còn có phương trình tích, vì vậy bạn sẽ luôn có điều gì đó để phấn đấu và điều gì đó để học tập.
Kết
Chúng tôi hy vọng rằng sau khi đọcBài viết này đã cung cấp cho bạn ý tưởng về phương trình vi phân là gì và cách giải chúng một cách chính xác.
Trong mọi trường hợp, toán học sẽ phần nào hữu ích cho chúng ta trong cuộc sống. Nó phát triển logic và sự chú ý, nếu không có nó, mỗi người sẽ giống như không có tay.
