Phương trình bậc hai thường xuất hiện trong một số bài toán trong toán học và vật lý, vì vậy học sinh nào cũng có thể giải được. Bài viết này trình bày chi tiết các phương pháp chính để giải phương trình bậc hai và cũng cung cấp các ví dụ về cách sử dụng chúng.
Phương trình nào được gọi là bậc hai
Trước hết, chúng ta sẽ trả lời câu hỏi của đoạn này để hiểu rõ hơn về nội dung bài viết. Vậy, phương trình bậc hai có dạng tổng quát sau: c + bx + ax2=0, trong đó a, b, c là một số, được gọi là hệ số. Ở đây ≠ 0 là điều kiện bắt buộc, nếu không thì phương trình được chỉ ra sẽ suy biến thành tuyến tính. Các hệ số còn lại (b, c) có thể nhận hoàn toàn bất kỳ giá trị nào, kể cả số không. Do đó, các biểu thức như ax2=0, trong đó b=0 và c=0, hoặc c + ax2=0, trong đó b=0, hoặc bx + ax2=0, trong đó c=0 cũng là phương trình bậc hai, được gọi là không đầy đủ, vì hệ số tuyến tính b trong chúng bằng 0 hoặc bằng khônglà một điều khoản miễn phí c, hoặc cả hai đều biến mất.
Phương trình trong đó a=1 được gọi là rút gọn, nghĩa là nó có dạng: x2+ с / a + (b / a)x=0.
Nghiệm của phương trình bậc hai là tìm các giá trị x thỏa mãn đẳng thức của nó. Các giá trị này được gọi là gốc. Vì phương trình đang xét là biểu thức bậc hai, điều này có nghĩa là số nghiệm nguyên tối đa của nó không được vượt quá hai.
Những phương pháp giải phương trình vuông nào tồn tại
Nói chung, có 4 phương pháp giải. Tên của họ được liệt kê bên dưới:
- Bao thanh toán.
- Bổ sung cho hình vuông.
- Sử dụng công thức đã biết (thông qua số phân biệt).
- Phương pháp giải là hình học.
Như bạn có thể thấy từ danh sách trên, ba phương pháp đầu tiên là đại số, vì vậy chúng được sử dụng thường xuyên hơn phương pháp cuối cùng, liên quan đến việc vẽ một hàm.
Có một cách khác để giải phương trình bình phương bằng cách sử dụng định lý Vieta. Nó có thể được xếp thứ 5 trong danh sách trên, tuy nhiên, điều này không được thực hiện, vì định lý Vieta là hệ quả đơn giản của phương pháp thứ 3.
Ở phần sau của bài viết, chúng tôi sẽ xem xét chi tiết hơn các phương pháp giải được đặt tên và cũng đưa ra các ví dụ về việc sử dụng chúng để tìm nghiệm nguyên của các phương trình cụ thể.
Phương pháp1. Bao thanh toán
Đối với phương pháp này trong toán học về phương trình bậc hai, có mộttên: thừa số hóa. Thực chất của phương pháp này như sau: cần trình bày phương trình bậc hai dưới dạng tích của hai số hạng (biểu thức), hai số hạng phải bằng 0. Sau khi đại diện như vậy, bạn có thể sử dụng thuộc tính sản phẩm, thuộc tính này sẽ chỉ bằng 0 khi một hoặc nhiều (tất cả) thành viên của nó bằng 0.
Bây giờ hãy xem xét chuỗi các hành động cụ thể cần thực hiện để tìm nghiệm nguyên của phương trình:
- Di chuyển tất cả các thành viên sang một phần của biểu thức (ví dụ: sang bên trái) để chỉ còn lại 0 ở phần khác của nó (bên phải).
- Biểu diễn tổng các số hạng trong một phần của phương trình dưới dạng tích của hai phương trình tuyến tính.
- Đặt từng biểu thức tuyến tính thành 0 và giải chúng.
Như các bạn thấy, thuật toán phân tích nhân tử khá đơn giản, tuy nhiên đa số học sinh gặp khó khăn trong quá trình thực hiện điểm thứ 2 nên chúng tôi sẽ giải thích chi tiết hơn.
Để đoán xem 2 biểu thức tuyến tính nào khi nhân với nhau sẽ cho phương trình bậc hai mong muốn, bạn cần nhớ hai quy tắc đơn giản:
- Hệ số tuyến tính của hai biểu thức tuyến tính, khi nhân với nhau, sẽ cho hệ số đầu tiên của phương trình bậc hai, tức là số a.
- Các số hạng miễn phí của biểu thức tuyến tính, khi nhân lên, sẽ cho số c của phương trình mong muốn.
Sau khi tất cả các số thừa số được chọn, chúng sẽ được nhân lên và nếu chúng cho phương trình mong muốn, hãy chuyển sang bước 3 trongthuật toán trên, nếu không, bạn nên thay đổi số nhân, nhưng bạn cần làm điều này để các quy tắc trên luôn được tuân thủ.
Ví dụ về giải bằng phương pháp phân tích nhân tử
Hãy trình bày rõ ràng thuật toán giải phương trình bậc hai là lập và tìm nghiệm nguyên chưa biết như thế nào. Cho một biểu thức tùy ý, chẳng hạn, 2x-5 + 5x2-2x2=x2 + 2 + x2+ 1. Hãy chuyển sang giải pháp của nó, quan sát chuỗi các điểm từ 1 đến 3, được nêu trong đoạn trước của bài viết.
Mục 1. Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái và sắp xếp chúng theo dãy cổ điển để có phương trình bậc hai. Ta có đẳng thức sau: 2x + (- 8) + x2=0.
Mục 2. Chúng tôi chia nó thành tích của phương trình tuyến tính. Vì a=1 và c=-8, nên chúng ta sẽ chọn, chẳng hạn, một tích (x-2)(x + 4). Nó đáp ứng các quy tắc để tìm các yếu tố mong đợi được nêu trong đoạn trên. Nếu chúng ta mở ngoặc, chúng ta nhận được: -8 + 2x + x2, tức là chúng ta nhận được chính xác biểu thức giống như bên trái của phương trình. Điều này có nghĩa là chúng tôi đã đoán đúng các cấp số nhân và chúng tôi có thể tiếp tục bước thứ 3 của thuật toán.
Tiết 3. Cho mỗi thừa số bằng 0, ta được: x=-4 và x=2.
Nếu có bất kỳ nghi ngờ nào về kết quả, bạn nên kiểm tra bằng cách thay các nghiệm nguyên tìm được vào phương trình ban đầu. Trong trường hợp này, chúng ta có: 22 + 22-8=0 và 2(- 4) + (- 4)2-8=0. Đã tìm đúng rễ.
Do đó, sử dụng phương pháp thừa số hóa, chúng tôi nhận thấy rằng phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên khác nhaucó: 2 và -4.
Phương pháp2. Phần bổ sung cho hình vuông đầy đủ
Trong đại số của phương trình bình phương, không phải lúc nào cũng có thể sử dụng phương pháp nhân, vì trong trường hợp giá trị phân số của các hệ số của phương trình bậc hai, khó khăn nảy sinh khi thực hiện đoạn 2 của thuật toán.
Phương pháp bình phương đầy đủ, đến lượt nó, là phổ biến và có thể được áp dụng cho bất kỳ loại phương trình bậc hai nào. Bản chất của nó là thực hiện các thao tác sau:
- Các số hạng của phương trình chứa các hệ số a và b phải được chuyển sang một phần của phương trình, và số hạng tự do c sang phần kia.
- Tiếp theo, các phần của đẳng thức (phải và trái) sẽ được chia cho hệ số a, tức là, trình bày phương trình ở dạng rút gọn (a=1).
- Tính tổng các số hạng có hệ số a và b để biểu diễn dưới dạng bình phương của một phương trình tuyến tính. Vì a \u003d 1, khi đó hệ số tuyến tính sẽ bằng 1, đối với số hạng tự do của phương trình tuyến tính, thì nó sẽ bằng một nửa hệ số tuyến tính của phương trình bậc hai rút gọn. Sau khi bình phương của biểu thức tuyến tính đã được vẽ lên, cần thêm số tương ứng vào vế phải của đẳng thức, nơi chứa số hạng tự do, thu được bằng cách mở rộng bình phương.
- Lấy căn bậc hai với các dấu "+" và "-" và giải phương trình tuyến tính đã thu được.
Thuật toán được mô tả thoạt nhìn có thể bị cho là khá phức tạp, tuy nhiên, trên thực tế, nó dễ thực hiện hơn so với phương pháp phân tích nhân tử.
Một ví dụ về giải pháp sử dụng phần bù đầy đủ của bình phương
Hãy đưa ra một ví dụ về một phương trình bậc hai để luyện nghiệm của nó bằng phương pháp được mô tả trong đoạn trước. Cho phương trình bậc hai -10 - 6x + 5x2=0. Chúng ta bắt đầu giải nó theo thuật toán được mô tả ở trên.
Tiết 1. Dùng phép dời hình khi giải phương trình bình phương ta được: - 6x + 5x2=10.
Điểm 2. Dạng rút gọn của phương trình này nhận được bằng cách chia cho số 5 của mỗi thành viên của nó (nếu cả hai phần đều bị chia hoặc nhân với cùng một số thì đẳng thức sẽ được bảo toàn). Theo kết quả của các phép biến đổi, chúng ta nhận được: x2- 6/5x=2.
Tiết 3. Một nửa hệ số - 6/5 là -6/10=-3/5, dùng số này để hoàn thành bình phương, ta được: (-3 / 5 + x)2. Chúng ta mở rộng nó và số hạng tự do kết quả phải được trừ đi bên trái của đẳng thức để thỏa mãn dạng ban đầu của phương trình bậc hai, tương đương với việc cộng nó vào vế phải. Kết quả là, chúng ta nhận được: (-3 / 5 + x)2=59 / 25.
Tiết 4. Tính căn bậc hai có dấu dương và âm rồi tìm các căn: x=3/5 ± √59 / 5=(3 ± √59) / 5. Hai nghiệm nguyên tìm được có giá trị sau: x1=(√59 + 3) / 5 và x1=(3-√59) / 5.
Vì các phép tính được thực hiện có liên quan đến gốc nên khả năng mắc sai lầm rất cao. Do đó, nên kiểm tra tính đúng đắn của các gốc x2và x1. Chúng tôi nhận được cho x1: 5((3 + √59) / 5)2-6(3 + √59) / 5 - 10=(9 + 59 + 6√59) / 5 - 18/5 - 6√59 / 5-10=68 / 5-68 / 5=0. Thay ngayx2: 5((3-√59) / 5)2-6(3-√59) / 5 - 10=(9 + 59-6√59) / 5 - 18/5 + 6√59 / 5-10=68 / 5-68 / 5=0.
Như vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng nghiệm nguyên tìm được của phương trình là đúng.
Phương pháp3. Áp dụng công thức nổi tiếng
Phương pháp giải phương trình bậc hai này có lẽ là đơn giản nhất, vì nó bao gồm việc thay thế các hệ số vào một công thức đã biết. Để sử dụng nó, bạn không cần phải suy nghĩ về việc biên dịch các thuật toán giải, chỉ cần nhớ một công thức là đủ. Nó được hiển thị trong hình trên.
Trong công thức này, biểu thức căn (b2-4ac) được gọi là phân biệt (D). Từ giá trị của nó phụ thuộc vào những gì rễ thu được. Có 3 trường hợp:
- D>0, thì phương trình nghiệm nguyên có hai nghiệm khác nhau.
- D=0, sau đó người ta nhận được gốc, có thể được tính từ biểu thức x=-b / (a 2).
- D<0, sau đó bạn nhận được hai gốc tưởng tượng khác nhau, được biểu diễn dưới dạng số phức. Ví dụ, số 3-5i là số phức, trong khi đơn vị ảo i thỏa mãn thuộc tính: i2=- 1.
Ví dụ về giải pháp bằng cách tính số phân biệt
Hãy cho một ví dụ về phương trình bậc hai để thực hành sử dụng công thức trên. Tìm nghiệm nguyên của -3x2-6 + 3x + 4x=0. Đầu tiên, tính giá trị của số phân biệt, ta được: D=b2-4ac=72-4(- 3)(- 6)=-23.
Vì D<0 thu được, điều đó có nghĩa là nghiệm nguyên của phương trình đang xét là số phức. Hãy tìm chúng bằng cách thay giá trị tìm được D vào công thức đã cho trong đoạn trước (nó cũng được hiển thị trong hình trên). Ta được: x=7/6 ± √ (-23) / (- 6)=(7 ± i√23) /6.
Phương pháp4. Sử dụng Đồ thị Hàm
Nó còn được gọi là phương pháp đồ họa để giải phương trình bình phương. Cần phải nói rằng, theo quy luật, nó không được sử dụng để định lượng mà để phân tích định tính phương trình đang được xem xét.
Bản chất của phương pháp này là vẽ một hàm bậc hai y=f (x), là một parabol. Sau đó, cần xác định xem tại những điểm nào mà parabol cắt trục x (X), chúng sẽ là nghiệm của phương trình tương ứng.
Để biết liệu một parabol có cắt trục X hay không, chỉ cần biết vị trí của điểm cực tiểu (cực đại) và hướng của các nhánh của nó là đủ (chúng có thể tăng hoặc giảm). Có hai thuộc tính của đường cong này cần nhớ:
- Nếu a>0 - các parabol của nhánh hướng lên trên, ngược lại, nếu a<0, thì chúng đi xuống.
- Tọa độ nhỏ nhất (lớn nhất) của một parabol luôn là x=-b / (2a).
Ví dụ: bạn cần xác định xem phương trình -4x + 5x2+ 10=0 có nghiệm nguyên hay không. Parabol tương ứng sẽ hướng lên trên, vì a=5>0. Điểm cực trị của nó có tọa độ: x=4/10=2/5, y=-42/5 + 5(2/5)2+ 10=9, 2. Vì điểm cực tiểu của đường cong nằm trên trục x (y=9, 2), sau đó nó không giao với trục sau đối với bất kỳcác giá trị x. Tức là, phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Định lý Vieta
Như đã nói ở trên, định lý này là hệ quả của phương pháp số 3, dựa trên việc áp dụng một công thức với một phân biệt. Bản chất của định lý Vieta là nó cho phép bạn kết nối các hệ số của phương trình và các nghiệm của nó thành đẳng thức. Hãy lấy các giá trị bằng nhau tương ứng.
Hãy sử dụng công thức tính các nghiệm nguyên thông qua số phân biệt. Cộng hai căn, ta được: x1+ x2=-b / a. Bây giờ chúng ta hãy nhân các căn với nhau: x1 x2, sau một loạt các đơn giản hóa, chúng ta nhận được số c / a.
Như vậy, để giải phương trình bậc hai theo định lý Vieta, bạn có thể sử dụng hai dấu bằng nhau thu được. Nếu biết cả ba hệ số của một phương trình, thì có thể tìm nghiệm nguyên bằng cách giải hệ thích hợp của hai phương trình này.
Ví dụ về việc sử dụng định lý Vieta
Bạn cần viết một phương trình bậc hai nếu bạn biết rằng nó có dạng x2+ c=-bx và nghiệm nguyên là 3 và -4.
Vì a=1 trong phương trình đang xét nên công thức Vieta sẽ có dạng: x2+ x1=-b và x 2 x1=p. Thay các giá trị đã biết của các gốc, ta được: b=1 và c=-12. Kết quả là, phương trình rút gọn bậc hai được khôi phục sẽ có dạng: x2-12=-1x. Bạn có thể thay thế giá trị của các gốc vào nó và đảm bảo rằng giá trị bằng nhau.
Ứng dụng ngược lại của định lý Vieta, tức là tính các nghiệm nguyên bằngdạng đã biết của phương trình, cho phép tìm các số nguyên nhỏ a, b và c một cách nhanh chóng (trực quan).
