Thế giới được sắp xếp theo cách mà lời giải của một số lượng lớn các vấn đề là tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai. Các gốc của phương trình rất quan trọng để mô tả các mẫu khác nhau. Điều này đã được biết đến ngay cả với các nhà khảo sát của Babylon cổ đại. Các nhà thiên văn và kỹ sư cũng buộc phải giải quyết những vấn đề như vậy. Quay trở lại thế kỷ thứ 6 sau Công nguyên, nhà khoa học Ấn Độ Aryabhata đã phát triển những kiến thức cơ bản để tìm nghiệm nguyên của một phương trình bậc hai. Các công thức được hoàn thành vào thế kỷ 19.
Khái niệm chung
Chúng tôi mời bạn làm quen với các quy tắc cơ bản của các phép đồng dạng bậc hai. Nói chung, đẳng thức có thể được viết như sau:
ax2+ bx + c=0, Số nghiệm của phương trình bậc hai có thể bằng một hoặc hai. Một phân tích nhanh có thể được thực hiện bằng cách sử dụng khái niệm phân biệt:
D=b2- 4ac
Tùy thuộc vào giá trị được tính toán, chúng tôi nhận được:
- Khi D > 0 có hai nghiệm nguyên khác nhau. Công thức tổng quát để xác định nghiệm nguyên của phương trình bậc hai trông giống như (-b ± √D) / (2a).
- D=0, trong trường hợp này gốc là một và tương ứng với giá trị x=-b / (2a)
- D < 0, với giá trị âm của số phân biệt, không có nghiệm cho phương trình.
Lưu ý: nếu số phân biệt là âm thì phương trình không có nghiệm chỉ nằm trong miền các số thực. Nếu mở rộng đại số sang khái niệm nghiệm của căn phức thì phương trình có nghiệm.
Hãy đưa ra một chuỗi hành động xác nhận công thức tìm ra gốc rễ.
Từ dạng tổng quát của phương trình, nó như sau:
ax2+ bx=-c
Chúng ta nhân phần bên phải và bên trái với 4a và thêm b2, chúng ta được
4a2x2+ 4abx + b2=-4ac + b2
Biến vế trái thành bình phương của đa thức (2ax + b)2. Ta rút căn bậc hai của phương trình 2ax + b=-b ± √ (-4ac + b2), chuyển hệ số b sang vế phải, ta được:
2ax=-b ± √ (-4ac + b2)
Từ đây sau:
x=(-b ± √ (b2- 4ac))
Nội dung bắt buộc phải thể hiện.
Trường hợp đặc biệt
Trong một số trường hợp, giải pháp của vấn đề có thể được đơn giản hóa. Vì vậy, đối với hệ số chẵn b, chúng ta nhận được một công thức đơn giản hơn.
Kí hiệu k=1 / 2b, khi đó công thức về dạng tổng quát của nghiệm nguyên của phương trình bậc hai có dạng:
x=(-k ± √ (k2-ac)) / a
Khi D=0, ta nhận được x=-k / a
Một trường hợp đặc biệt khác là nghiệm của phương trình với a=1.
Đối với dạng x2+ bx + c=0, nghiệm nguyên sẽ là x=-k ± √ (k2- c) với số phân biệt lớn hơn 0. Đối với trường hợp D=0, gốc sẽ được xác định bằng công thức đơn giản: x=-k.
Sử dụng biểu đồ
Bất kỳ người nào, mà không hề hay biết, thường xuyên phải đối mặt với các hiện tượng vật lý, hóa học, sinh học và thậm chí cả xã hội được mô tả bằng hàm số bậc hai.
Lưu ý: đường cong được xây dựng trên cơ sở của hàm bậc hai được gọi là parabol.
Đây là một số ví dụ.
- Khi tính toán quỹ đạo của một viên đạn, đặc tính chuyển động dọc theo đường parabol của một vật thể bắn ra ở một góc với đường chân trời được sử dụng.
- Thuộc tính của một parabol để phân bố đều tải trọng được sử dụng rộng rãi trong kiến trúc.
Hiểu được tầm quan trọng của hàm số parabol, hãy tìm cách sử dụng đồ thị để khám phá các tính chất của nó, sử dụng các khái niệm "phân biệt" và "nghiệm nguyên của phương trình bậc hai".
Tùy thuộc vào giá trị của các hệ số a và b, chỉ có sáu lựa chọn cho vị trí của đường cong:
- Số phân biệt là dương, a và b có dấu hiệu khác nhau. Các nhánh của parabol nhìn lên thì phương trình bậc hai có hai nghiệm.
- Phân biệt và hệ số b bằng không, hệ số a lớn hơn không. Đồ thị nằm trong vùng dương, phương trình có 1 nghiệm nguyên.
- Hệ số phân biệt và tất cả đều dương. Phương trình bậc hai không có nghiệm.
- Phân biệt và hệ số a là âm, b lớn hơn 0. Các nhánh của đồ thị hướng xuống dưới, phương trình có hai nghiệm.
- Phân biệt đối xử vàhệ số b bằng 0, hệ số a âm. Hình parabol nhìn xuống, phương trình có một nghiệm nguyên.
- Giá trị của phân biệt và tất cả các hệ số đều âm. Không có giải pháp nào, các giá trị của hàm hoàn toàn nằm trong vùng âm.
Lưu ý: lựa chọn a=0 không được xem xét, vì trong trường hợp này, parabol biến đổi thành một đường thẳng.
Tất cả những điều trên được minh họa rõ ràng bằng hình bên dưới.
Ví dụ về giải quyết vấn đề
Điều kiện: sử dụng các tính chất tổng quát, lập phương trình bậc hai có các nghiệm nguyên bằng nhau.
Giải pháp:
theo điều kiện của bài toán x1=x2, hoặc -b + √ (b2 - 4ac) / (2a)=-b + √ (b2- 4ac) / (2a). Đơn giản hóa ký hiệu:
-b + √ (b2- 4ac) / (2a) - (-b - √ (b2- 4ac) / (2a))=0, mở ngoặc và đưa ra các điều khoản tương tự. Phương trình trở thành 2√ (b2- 4ac)=0. Câu này đúng khi b2- 4ac=0, do đó b2=4ac, thì giá trị b=2√ (ac) được thay vào phương trình
ax2+ 2√ (ac) x + c=0, ở dạng rút gọn ta được x2+ 2√ (c / a) x + c=0.
Trả lời:
với a không bằng 0 và c bất kỳ, chỉ có một nghiệm duy nhất nếu b=2√ (c / a).
Phương trình tứ phân, vì tất cả sự đơn giản của chúng, có tầm quan trọng lớn trong tính toán kỹ thuật. Hầu hết mọi quá trình vật lý đều có thể được mô tả bằng một số phép tính gần đúng bằng cách sử dụngcác hàm lũy thừa bậc n. Phương trình bậc hai sẽ là phương trình gần đúng đầu tiên.
