Một số bài toán yêu cầu khả năng tính căn bậc hai. Những bài toán này bao gồm giải phương trình bậc hai. Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một phương pháp hiệu quả để tính căn bậc hai và sử dụng nó khi làm việc với các công thức tính căn bậc hai.
Căn bậc hai là gì?
Trong toán học, khái niệm này tương ứng với ký hiệu √. Dữ liệu lịch sử nói rằng nó bắt đầu được sử dụng lần đầu tiên vào khoảng nửa đầu thế kỷ 16 ở Đức (tác phẩm đầu tiên của Đức về đại số của Christoph Rudolf). Các nhà khoa học tin rằng biểu tượng này là một chữ cái Latinh đã được biến đổi (cơ số có nghĩa là "gốc" trong tiếng Latinh).
Căn của một số bất kỳ bằng một giá trị nào đó, bình phương của nó tương ứng với biểu thức căn. Theo ngôn ngữ toán học, định nghĩa này sẽ giống như sau: √x=y nếu y2=x.
Căn của một số dương (x > 0) cũng làmột số dương (y > 0), nhưng nếu lấy gốc từ một số âm (x < 0), thì kết quả của nó sẽ là một số phức, bao gồm cả đơn vị ảo i.
Đây là hai ví dụ đơn giản:
√9=3 vì 32=9; √ (-9)=3i vì tôi2=-1.
Công thức lặp của Heron để tìm căn bậc hai
Các ví dụ trên rất đơn giản và việc tính các gốc trong đó không khó. Khó khăn bắt đầu xuất hiện khi tìm các giá trị gốc của bất kỳ giá trị nào không thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một số tự nhiên, ví dụ √10, √11, √12, √13, chưa kể đến thực tế là là cần thiết để tìm nghiệm nguyên cho các số không nguyên: ví dụ √ (12, 15), √ (8, 5), v.v.
Trong tất cả các trường hợp trên, một phương pháp đặc biệt để tính căn bậc hai nên được sử dụng. Hiện tại, một số phương pháp như vậy đã được biết đến: ví dụ, mở rộng trong một chuỗi Taylor, chia cho một cột và một số phương pháp khác. Trong tất cả các phương pháp đã biết, có lẽ đơn giản và hiệu quả nhất là sử dụng công thức lặp của Heron, còn được gọi là phương pháp Babylon để xác định căn bậc hai (có bằng chứng cho thấy người Babylon cổ đại đã sử dụng nó trong các tính toán thực tế của họ).
Để nó là cần thiết để xác định giá trị của √x. Công thức tìm căn bậc hai như sau:
an + 1=1/2 (a+ x / a ), trong đó limn->∞(a )=> x.
Giải mã ký hiệu toán học này. Để tính √x, bạn nên lấy một số a0(có thể tùy ý, nhưng để có kết quả nhanh, bạn nên chọn nó sao cho (a0)2gần nhất có thể với x, sau đó thay nó vào công thức căn bậc hai đã chỉ định và nhận một số mới a1, số này sẽ gần với giá trị mong muốn hơn. Cần phải thay thế1vào biểu thức và nhận được2Quy trình này phải được lặp lại cho đến khi đạt được độ chính xác cần thiết.
Ví dụ về việc áp dụng công thức lặp lại của Heron
Thuật toán được mô tả ở trên để lấy căn bậc hai của một số nhất định nghe có vẻ khá phức tạp và khó hiểu đối với nhiều người, nhưng trên thực tế, mọi thứ trở nên đơn giản hơn nhiều, vì công thức này hội tụ rất nhanh (đặc biệt nếu là một số may mắn được chọn là0).
Hãy lấy một ví dụ đơn giản: chúng ta cần tính √11. Chúng tôi chọn0=3, vì 32=9, gần với 11 hơn 42=16. Thay vào công thức, ta được:
a1=1/2 (3 + 11/3)=3, 333333;
a2=1/2 (3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2 (3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Không có ích gì khi tiếp tục tính toán, vì chúng tôi đã nhận được rằng một2và3bắt đầu chỉ khác nhau ở số thập phân thứ 5 nơi. Vì vậy, chỉ cần áp dụng 2 lần công thức đểtính √11 trong khoảng 0,0001.
Hiện tại, máy tính và máy tính được sử dụng rộng rãi để tính toán gốc, tuy nhiên, sẽ rất hữu ích khi nhớ công thức đã đánh dấu để có thể tính toán giá trị chính xác của chúng theo cách thủ công.
Phương trình bậc hai
Hiểu căn bậc hai là gì và khả năng tính toán nó được sử dụng khi giải phương trình bậc hai. Các phương trình này là các đẳng thức với một ẩn số, dạng tổng quát của chúng được thể hiện trong hình bên dưới.
Ở đây c, b và a là một số số và a không được bằng 0 và các giá trị của c và b có thể hoàn toàn tùy ý, kể cả số không.
Bất kỳ giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức trong hình được gọi là căn của nó (không nên nhầm khái niệm này với căn bậc hai √). Vì phương trình đang xét có bậc 2 (x2) nên không thể có nhiều hơn hai số cho nghiệm nguyên của nó. Hãy xem cách tìm ra những gốc rễ này ở phần sau của bài viết.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai (công thức)
Phương pháp giải các dạng được coi là bằng nhau này còn được gọi là phổ quát, hoặc phương pháp thông qua phân biệt. Nó có thể được áp dụng cho bất kỳ phương trình bậc hai nào. Công thức phân biệt và nghiệm nguyên của phương trình bậc hai như sau:
Nó cho thấy rằng các nghiệm thức phụ thuộc vào giá trị của từng hệ số trong ba hệ số của phương trình. Hơn nữa, việc tính toánx1khác phép tính x2chỉ bởi dấu trước căn bậc hai. Biểu thức căn bằng b2- 4ac, không khác gì số phân biệt của đẳng thức được coi là. Phân biệt trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai đóng một vai trò quan trọng vì nó quyết định số lượng và loại nghiệm. Vì vậy, nếu nó bằng 0 thì sẽ chỉ có một nghiệm, nếu nó dương thì phương trình có hai nghiệm thực, cuối cùng, phép phân biệt âm dẫn đến hai nghiệm phức x1và x2.
Định lý Vieta hoặc một số tính chất của nghiệm nguyên của phương trình bậc hai
Vào cuối thế kỷ 16, một trong những người sáng lập ra đại số hiện đại, người Pháp Francois Việt, nghiên cứu về phương trình bậc hai, đã có thể thu được các tính chất của căn nguyên của nó. Về mặt toán học, chúng có thể được viết như thế này:
x1+ x2=-b / a và x1 x2=c / a.
Bất kỳ ai cũng có thể dễ dàng lấy được cả hai bằng nhau, vì vậy chỉ cần thực hiện các phép toán thích hợp với các căn thu được thông qua công thức có phân biệt.
Sự kết hợp của hai biểu thức này có thể được gọi là công thức thứ hai của nghiệm nguyên của phương trình bậc hai, giúp ta có thể đoán nghiệm của nó mà không cần sử dụng phân biệt. Ở đây cần lưu ý rằng mặc dù cả hai biểu thức luôn hợp lệ, nhưng sẽ rất tiện lợi khi sử dụng chúng để giải một phương trình chỉ khi nó có thể tính được thừa số.
Nhiệm vụ củng cố kiến thức đã thu nhận
Hãy giải quyết một vấn đề toán học trong đó chúng tôi sẽ chứng minh tất cả các kỹ thuật được thảo luận trong bài báo. Các điều kiện của bài toán như sau: bạn cần tìm hai số có tích là -13 và tổng là 4.
Điều kiện này nhắc ngay đến định lý Vieta, áp dụng công thức tính tổng các căn bậc hai và tích của chúng, ta viết:
x1+ x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Giả sử a=1 thì b=-4 và c=-13. Các hệ số này cho phép chúng ta viết phương trình bậc hai:
x2- 4x - 13=0.
Sử dụng công thức với số phân biệt, chúng ta nhận được các gốc sau:
x1, 2=(4 ± √D) / 2, D=16 - 41(-13)=68.
Đó là, nhiệm vụ được giảm xuống để tìm số √68. Lưu ý rằng 68=417, sau đó sử dụng thuộc tính căn bậc hai, chúng ta nhận được: √68=2√17.
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng công thức căn bậc hai được coi là: a0=4, sau đó:
a1=1/2 (4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2 (4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Không cần tính3vì các giá trị tìm được chỉ khác nhau 0,02. Do đó, √68=8,246. Hãy thay nó vào công thức cho x1, 2, chúng tôi nhận được:
x1=(4 + 8, 246) / 2=6, 123 và x2=(4 - 8, 246) / 2=-2, 123.
Như bạn thấy, tổng các số tìm được thực sự là 4, nhưng nếu bạn tìm thấy tích của chúng, nó sẽ bằng -12,999, thỏa mãn điều kiện của bài toán với độ chính xác là 0,001.
