Biết khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hoặc đến một đường thẳng cho phép bạn tính thể tích và diện tích bề mặt của các hình trong không gian. Việc tính toán khoảng cách này trong hình học được thực hiện bằng cách sử dụng các phương trình tương ứng cho các đối tượng hình học xác định. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ ra những công thức nào có thể được sử dụng để xác định nó.
Phương trình đường thẳng và mặt phẳng
Trước khi đưa ra công thức xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và một đường thẳng, hãy đưa ra phương trình mô tả những đối tượng này.
Để xác định một điểm, một tập hợp các tọa độ trong hệ trục tọa độ đã cho được sử dụng. Ở đây chúng ta sẽ chỉ xem xét hệ hình chữ nhật Descartes trong đó các trục có cùng vectơ đơn vị và vuông góc với nhau. Trên mặt phẳng, một điểm tùy ý được mô tả bằng hai tọa độ, trong không gian - bằng ba.
Các loại phương trình khác nhau được sử dụng để xác định một đường thẳng. Phù hợp với chủ đề của bài viết, chúng tôi trình bàychỉ hai trong số chúng, được sử dụng trong không gian hai chiều để xác định các đường.
Phương trình véc tơ. Nó có ký hiệu sau:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Số hạng đầu tiên ở đây đại diện cho tọa độ của một điểm đã biết nằm trên đường thẳng. Số hạng thứ hai là tọa độ vectơ chỉ phương nhân với một số tùy ý λ.
Phương trình tổng quát. Ký hiệu của nó như sau:
Ax + By + C=0;
trong đó A, B, C là một số hệ số.
Phương trình tổng quát thường được sử dụng để xác định các đường trên một mặt phẳng, tuy nhiên, để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường trên mặt phẳng, sẽ thuận tiện hơn khi làm việc với biểu thức vectơ.
Một mặt phẳng trong không gian ba chiều cũng có thể được viết theo một số cách toán học. Tuy nhiên, thông thường nhất trong các bài toán có một phương trình tổng quát, được viết như sau:
Ax + By + Cz + D=0.
Ưu điểm của ký hiệu này so với các ký hiệu khác là nó chứa tọa độ của vectơ vuông góc với mặt phẳng một cách rõ ràng. Vectơ này được gọi là hướng dẫn cho nó, nó trùng với hướng của pháp tuyến và tọa độ của nó bằng (A; B; C).
Lưu ý rằng biểu thức trên trùng với dạng viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian hai chiều, nên khi giải các em cần lưu ý để không nhầm lẫn với các đối tượng hình học này.
Khoảng cách giữa điểm và đường
Hãy trình bày cách tính khoảng cách giữa một đường thẳng vàđiểm trong không gian hai chiều.
Cho một số điểm Q (x1; y1) và một đường thẳng cho bởi:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một điểm được hiểu là độ dài của một đoạn vuông góc với đường thẳng này, hạ xuống nó từ điểm Q.
Trước khi tính khoảng cách này, bạn nên thay tọa độ Q vào phương trình này. Nếu chúng thỏa mãn điều đó thì Q thuộc đoạn thẳng đã cho và khoảng cách tương ứng bằng không. Nếu tọa độ của điểm không dẫn đến bằng nhau, thì khoảng cách giữa các đối tượng hình học là khác không. Nó có thể được tính bằng công thức:
d=| [PQ¯u¯] | / | u¯ |.
Ở đây P là một điểm tùy ý của đường thẳng, là điểm đầu của vectơ PQ¯. Vectơ u¯ là một đoạn hướng dẫn cho một đường thẳng, tức là tọa độ của nó là (a; b).
Sử dụng công thức này yêu cầu khả năng tính tích số chéo trong tử số.
Vấn đề với một điểm và một đường thẳng
Giả sử bạn cần tìm khoảng cách giữa Q (-3; 1) và một đường thẳng thỏa mãn phương trình:
y=5x -2.
Thay tọa độ của Q vào biểu thức, ta có thể chắc chắn rằng Q không nằm trên dòng. Bạn có thể áp dụng công thức cho d đã cho trong đoạn trên nếu bạn biểu diễn phương trình này ở dạng vectơ. Hãy làm như thế này:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Bây giờ chúng ta hãy lấy bất kỳ điểm nào trên dòng này, ví dụ (0; -2), và xây dựng một vectơ bắt đầu từ nó và kết thúc tại Q:
(- 3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Bây giờ áp dụng công thức xác định khoảng cách, ta được:
d=| [(- 3; 3)(1; 5)] | / | (1; 5) |=18 / √26 ≈ 3, 53.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Như trong trường hợp đường thẳng, khoảng cách giữa mặt phẳng và một điểm trong không gian được hiểu là độ dài của đoạn mà từ một điểm đã cho vuông góc hạ xuống mặt phẳng và cắt nó.
Trong không gian, một điểm được cho bởi ba tọa độ. Nếu chúng bằng (x1; y1; z1), thì khoảng cách giữa mặt phẳng và điểm đó có thể được tính bằng công thức:
d=| Ax1+ By1+ Cz1+ D | / √ (A2+ B2+ C2).
Lưu ý rằng việc sử dụng công thức chỉ cho phép bạn tìm khoảng cách từ mặt phẳng đến đường thẳng. Để tìm tọa độ của điểm mà một đoạn vuông góc cắt một mặt phẳng, cần viết phương trình đường thẳng mà đoạn thẳng này thuộc, sau đó tìm điểm chung của đoạn thẳng này và một mặt phẳng cho trước.
Vấn đề với một mặt phẳng và một điểm
Tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nếu biết điểm đó có tọa độ (3; -1; 2) và mặt phẳng cho bởi:
-y + 3z=0.
Để sử dụng công thức tương ứng, trước tiên chúng ta viết ra các hệ số chomặt phẳng đã cho. Vì không có biến x và số hạng tự do nên các hệ số A và D đều bằng không. Chúng tôi có:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Dễ dàng chứng minh rằng mặt phẳng này đi qua điểm gốc và trục x thuộc về nó.
Thay tọa độ của điểm và hệ số của mặt phẳng vào công thức tính khoảng cách d, ta được:
d=| 03 + (-1)(- 1) + 23 + 0 | / √ (1 +9)=7 / √10 ≈ 2, 21.
Lưu ý rằng nếu bạn thay đổi tọa độ x của một điểm, thì khoảng cách d sẽ không thay đổi. Điều này có nghĩa là tập hợp các điểm (x; -1; 2) tạo thành một đường thẳng song song với mặt phẳng đã cho.
