Khi giải các bài toán hình học trong không gian, thường có những vấn đề cần tính các góc giữa các đối tượng trong không gian khác nhau. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét vấn đề tìm góc giữa các mặt phẳng và giữa chúng với một đường thẳng.
Dòng trong khoảng trắng
Người ta biết rằng hoàn toàn bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng đều có thể được xác định bằng đẳng thức sau:
y=ax + b
Đây a và b là một số số. Nếu chúng ta biểu diễn một đường thẳng trong không gian với cùng một biểu thức, thì chúng ta nhận được một mặt phẳng song song với trục z. Đối với định nghĩa toán học của đường không gian, một phương pháp giải khác được sử dụng với trường hợp hai chiều. Nó bao gồm việc sử dụng khái niệm "vectơ hướng".
Vectơ chỉ phương của một đường thẳng cho biết định hướng của nó trong không gian. Tham số này thuộc dòng. Vì có một tập vô hạn các vectơ song song trong không gian, nên để xác định duy nhất đối tượng hình học đã xét, cần phải biết tọa độ của điểm thuộc về nó.
Giả sử rằng cóđiểm P (x0; y0; z0) và vectơ chỉ phương v¯ (a; b; c), thì phương trình của một đường thẳng có thể được đưa ra như sau:
(x; y; z)=P + αv¯ hoặc
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Biểu thức này được gọi là phương trình véc tơ tham số của một đường thẳng. Hệ số α là một tham số có thể nhận hoàn toàn bất kỳ giá trị thực nào. Tọa độ của một đường có thể được biểu diễn một cách rõ ràng bằng cách mở rộng đẳng thức này:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Phương trình của mặt phẳng
Có một số dạng viết phương trình cho một mặt phẳng trong không gian. Ở đây chúng ta sẽ xem xét một trong số chúng, thường được sử dụng khi tính toán các góc giữa hai mặt phẳng hoặc giữa một trong số chúng và một đường thẳng.
Nếu biết vectơ n¯ (A; B; C) nào đó vuông góc với mặt phẳng mong muốn và điểm P (x0; y0; z0), thuộc về nó, thì phương trình tổng quát cho phương trình sau là:
Ax + By + Cz + D=0 trong đó D=-1(Ax0+ By0+ Cz0)
Chúng tôi đã bỏ qua phần dẫn xuất của biểu thức này, điều này khá đơn giản. Ở đây chúng ta chỉ lưu ý rằng, khi biết hệ số của các biến trong phương trình mặt phẳng, người ta có thể dễ dàng tìm được tất cả các vectơ vuông góc với nó. Cái sau được gọi là chuẩn và được sử dụng để tính toán các góc giữa mặt nghiêng và mặt phẳng và giữatương tự tùy ý.
Vị trí của các mặt phẳng và công thức tính góc giữa chúng
Giả sử có hai máy bay. Các tùy chọn cho vị trí tương đối của chúng trong không gian là gì. Vì mặt phẳng có hai chiều vô hạn và một chiều không, nên chỉ có thể có hai lựa chọn cho hướng tương hỗ của chúng:
- chúng sẽ song song với nhau;
- chúng có thể chồng lên nhau.
Góc giữa các mặt phẳng là chỉ số giữa các vectơ chỉ phương của chúng, tức là giữa các chuẩn của chúng n1¯ và n2¯.
Rõ ràng, nếu chúng song song với mặt phẳng thì góc giao nhau giữa chúng bằng không. Nếu chúng cắt nhau, thì nó là khác không, nhưng luôn luôn sắc nét. Một trường hợp đặc biệt của giao tuyến sẽ là góc 90o, khi các mặt phẳng vuông góc với nhau.
Góc α giữa n1¯ và n2¯ được xác định dễ dàng từ tích vô hướng của các vectơ này. Đó là, công thức diễn ra:
α=arccos ((n1¯n2¯) / (| n1 ¯ || n2¯ |))
Giả sử rằng tọa độ của các vectơ này là: n1¯ (a1; b1; c1), n2¯ (a2; b2; c2 ). Sau đó, sử dụng công thức tính tích vô hướng và môđun của vectơ thông qua tọa độ của chúng, biểu thức trên có thể được viết lại thành:
α=arccos (| a1 a2+ b1 b2+c1 c2| / (√ (a12+ b12+ c12)√ (a22+ b22+ c22)))
Môđun trong tử số xuất hiện vì để loại trừ các giá trị của góc tù.
Các ví dụ về giải bài toán xác định góc giao nhau của các mặt phẳng
Biết cách tìm góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta sẽ giải được bài toán sau. Hai mặt phẳng đã cho, phương trình của chúng là:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Góc giữa các mặt phẳng là gì?
Để trả lời câu hỏi của bài toán, chúng ta hãy nhớ rằng hệ số của các biến trong phương trình tổng quát của mặt phẳng là tọa độ của vectơ hướng dẫn. Đối với các mặt phẳng được chỉ định, chúng ta có các tọa độ chuẩn sau của chúng:
1¯ (3; 4; -1);
2¯ (-1; -2; 5)
Bây giờ chúng ta tìm tích vô hướng của các vectơ này và mô-đun của chúng, chúng ta có:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
| n1¯ |=√ (9 + 16 + 1)=√26;
| n2¯ |=√ (1 + 4 + 25)=√30
Bây giờ bạn có thể thay thế các số tìm được vào công thức đã cho trong đoạn trước. Chúng tôi nhận được:
α=arccos (| -16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Giá trị kết quả tương ứng với góc giao nhau của các mặt phẳng được chỉ định trong điều kiệnnhiệm vụ.
Bây giờ hãy xem xét một ví dụ khác. Cho hai mặt phẳng:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Chúng có giao nhau không? Hãy viết ra các giá trị của tọa độ của vectơ chỉ phương của chúng, tính tích vô hướng và mô-đun của chúng:
1¯ (1; 1; 0);
2¯ (3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
| n1¯ |=√2;
| n2¯ |=√18
Khi đó góc giao là:
α=arccos (| 6 | / (√2√18)=0o.
Góc này chỉ ra rằng các mặt phẳng không cắt nhau, nhưng song song. Việc chúng không khớp với nhau rất dễ kiểm tra. Hãy coi đây là một điểm tùy ý thuộc điểm đầu tiên của chúng, chẳng hạn, P (0; 3; 2). Thay tọa độ của nó vào phương trình thứ hai, ta được:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Tức là điểm P chỉ thuộc mặt phẳng đầu tiên.
Vậy hai mặt phẳng song song khi pháp tuyến của chúng.
Mặt phẳng và đường thẳng
Trong trường hợp xem xét vị trí tương đối giữa một mặt phẳng và một đường thẳng, có nhiều lựa chọn hơn so với hai mặt phẳng. Thực tế này được kết nối với thực tế rằng đường thẳng là một đối tượng một chiều. Đường thẳng và mặt phẳng có thể là:
- song song với nhau, trong trường hợp này mặt phẳng không cắt đường thẳng;
- cái sau có thể thuộc mặt phẳng, trong khi nó cũng sẽ song song với nó;
- cả hai đối tượng đều có thểcắt nhau ở một góc nào đó.
Trước tiên hãy xem xét trường hợp cuối cùng, vì nó yêu cầu giới thiệu khái niệm về góc giao nhau.
Đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa chúng
Nếu một đường thẳng cắt một mặt phẳng, thì nó được gọi là nghiêng đối với nó. Giao điểm được gọi là cơ sở của hệ số góc. Để xác định góc giữa các đối tượng hình học này, cần phải hạ một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng từ một điểm bất kỳ. Khi đó giao điểm của vuông góc với mặt phẳng và nơi giao của đường nghiêng với nó tạo thành một đường thẳng. Hình chiếu sau được gọi là hình chiếu của đường thẳng ban đầu lên mặt phẳng đang xét. Góc nhọn giữa đường thẳng và hình chiếu của nó là góc bắt buộc.
Định nghĩa hơi khó hiểu về góc giữa mặt phẳng và đường xiên sẽ làm rõ hình bên dưới.
Ở đây góc ABO là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng a.
Để viết ra công thức cho nó, hãy xem xét một ví dụ. Giả sử có một đường thẳng và một mặt phẳng, chúng được mô tả bằng phương trình:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Thật dễ dàng tính được góc mong muốn cho các đối tượng này nếu bạn tìm được tích vô hướng giữa các vectơ chỉ phương của đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhọn thu được phải được trừ đi 90o, sau đó nó nhận được giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.
Hình trên cho thấy thuật toán được mô tả để tìm kiếmgóc đã xét. Ở đây β là góc giữa pháp tuyến và đường thẳng, và α là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Có thể thấy tổng của chúng là 90o.
Ở trên, một công thức đã được trình bày để trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm một góc giữa các mặt phẳng. Bây giờ chúng ta đưa ra biểu thức tương ứng cho trường hợp đường thẳng và mặt phẳng:
α=arcsin (| aA + bB + cC | / (√ (a2+ b2+ c2)√ (A2+ B2+ C2)))
Môđun trong công thức chỉ cho phép tính các góc nhọn. Hàm arcsine xuất hiện thay vì arccosine do sử dụng công thức rút gọn tương ứng giữa các hàm lượng giác (cos (β)=sin (90o-β)=sin (α)).
Bài toán: Một mặt phẳng cắt một đường thẳng
Bây giờ chúng ta hãy trình bày cách làm việc với công thức trên. Hãy giải bài toán: cần tính góc giữa trục y và mặt phẳng cho bởi phương trình:
y - z + 12=0
Máy bay này được hiển thị trong hình.
Bạn có thể thấy rằng nó cắt các trục y và z lần lượt tại các điểm (0; -12; 0) và (0; 0; 12) và song song với trục x.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng y có tọa độ (0; 1; 0). Vectơ vuông góc với một mặt phẳng cho trước được đặc trưng bởi tọa độ (0; 1; -1). Áp dụng công thức tính góc giao của đường thẳng và mặt phẳng, ta được:
α=arcsin (| 1 | / (√1√2))=arcsin (1 / √2)=45o
Bài toán: đường thẳng song song với mặt phẳng
Bây giờ hãy quyết địnhtương tự như vấn đề trước, câu hỏi được đặt ra khác. Phương trình của mặt phẳng và đường thẳng đã biết:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Cần phải tìm xem các đối tượng hình học này có song song với nhau hay không.
Ta có hai vectơ: phương của đường thẳng là (0; 2; 2) và phương của mặt phẳng là (1; 1; -1). Tìm sản phẩm chấm của họ:
01 + 12 - 12=0
Kết quả không cho biết góc giữa các vectơ này là 90o, điều này chứng tỏ rằng đường thẳng và mặt phẳng song song.
Bây giờ hãy kiểm tra xem đường thẳng này chỉ song song hay nằm trong mặt phẳng. Để làm điều này, hãy chọn một điểm tùy ý trên đường thẳng và kiểm tra xem nó có thuộc mặt phẳng hay không. Ví dụ, lấy λ=0, thì điểm P (1; 0; 0) thuộc đường thẳng. Thay vào phương trình của mặt phẳng P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Điểm P không thuộc mặt phẳng, nghĩa là toàn bộ đường thẳng cũng không nằm trong đó.
Đâu là quan trọng để biết các góc giữa các đối tượng hình học được coi là?
Các công thức và ví dụ giải bài tập trên không chỉ quan tâm đến lý thuyết. Chúng thường được sử dụng để xác định các đại lượng vật lý quan trọng của các hình ba chiều thực, chẳng hạn như lăng trụ hoặc kim tự tháp. Điều quan trọng là có thể xác định góc giữa các mặt phẳng khi tính toán thể tích của các hình và diện tích bề mặt của chúng. Hơn nữa, nếu trong trường hợp lăng trụ thẳng thì không thể sử dụng các công thức này để xác địnhcác giá trị đã chỉ định, thì đối với bất kỳ loại kim tự tháp nào, việc sử dụng chúng là không thể tránh khỏi.
Dưới đây, hãy xem xét một ví dụ về việc sử dụng lý thuyết trên để xác định các góc của một hình chóp có đáy là hình vuông.
Kim tự tháp và các góc của nó
Hình bên dưới mô tả một hình chóp, đáy của nó là một hình vuông có cạnh a. Chiều cao của hình là h. Cần tìm hai góc:
- giữa bề mặt bên và đế;
- giữa sườn bên và đế.
Để giải bài toán, trước hết bạn phải nhập hệ tọa độ và xác định thông số của các đỉnh tương ứng. Hình bên cho thấy gốc tọa độ trùng với điểm ở tâm của hình vuông. Trong trường hợp này, mặt phẳng cơ sở được mô tả bằng phương trình:
z=0
Có nghĩa là, với bất kỳ x và y nào, giá trị của tọa độ thứ ba luôn bằng không. Mặt phẳng bên ABC cắt trục z tại điểm B (0; 0; h) và trục y tại điểm có tọa độ (0; a / 2; 0). Nó không vượt qua trục x. Điều này có nghĩa là phương trình của mặt phẳng ABC có thể được viết dưới dạng:
y / (a / 2) + z / h=1 hoặc
2hy + az - ah=0
Vectơ AB¯ là một cạnh bên. Tọa độ đầu và cuối của nó là: A (a / 2; a / 2; 0) và B (0; 0; h). Khi đó, tọa độ của chính vectơ:
AB¯ (-a / 2; -a / 2; h)
Chúng tôi đã tìm thấy tất cả các phương trình và vectơ cần thiết. Bây giờ nó vẫn sử dụng các công thức đã xem xét.
Đầu tiên chúng ta tính trong hình chóp góc giữa các mặt phẳng của đáyvà bên. Các vectơ pháp tuyến tương ứng là: n1¯ (0; 0; 1) và n2¯ (0; 2h; a). Khi đó góc sẽ là:
α=arccos (a / √ (4h2+ a2))
Góc giữa mặt phẳng và cạnh AB sẽ là:
β=arcsin (h / √ (a2/ 2 + h2))
Nó vẫn để thay thế các giá trị cụ thể của mặt bên của cơ sở a và chiều cao h để có được các góc cần thiết.
