Một mặt phẳng, cùng với một điểm và một đường thẳng, là một phần tử hình học cơ bản. Với việc sử dụng nó, nhiều hình trong hình học không gian được xây dựng. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét chi tiết hơn câu hỏi làm thế nào để tìm một góc giữa hai mặt phẳng.
Khái niệm
Trước khi nói về góc giữa hai mặt phẳng, bạn nên hiểu rõ về yếu tố hình học mà chúng ta đang nói đến. Hãy hiểu thuật ngữ. Mặt phẳng là một tập hợp vô tận của các điểm trong không gian, nối với nhau mà chúng ta nhận được các vectơ. Sau này sẽ vuông góc với một số một vectơ. Nó thường được gọi là bình thường đối với máy bay.
Hình trên cho thấy một mặt phẳng và hai vectơ pháp tuyến đối với nó. Có thể thấy cả hai vectơ đều nằm trên cùng một đường thẳng. Góc giữa chúng là 180o.
Phương trình
Có thể xác định được góc giữa hai mặt phẳng nếu biết phương trình toán học của yếu tố hình học được xem xét. Có một số loại phương trình như vậy,tên của những người được liệt kê dưới đây:
- loại chung;
- véc tơ;
- trong các phân đoạn.
Ba loại này thuận tiện nhất để giải quyết các loại vấn đề khác nhau, vì vậy chúng thường được sử dụng nhất.
Một phương trình dạng tổng quát có dạng như sau:
Ax + By + Cz + D=0.
Ở đây x, y, z là tọa độ của một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng đã cho. Các tham số A, B, C và D là các số. Sự tiện lợi của ký hiệu này nằm ở chỗ các số A, B, C là tọa độ của một vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng.
Dạng vectơ của mặt phẳng có thể được biểu diễn như sau:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a2, b2, c2).
Đây (a2, b2, c2) và (a1, b1, c1) - tham số của hai vectơ tọa độ thuộc mặt phẳng xét. Điểm (x0, y0, z0) cũng nằm trong mặt phẳng này. Các tham số α và β có thể nhận các giá trị độc lập và tùy ý.
Cuối cùng, phương trình của mặt phẳng trong các đoạn được biểu diễn dưới dạng toán học sau:
x / p + y / q + z / l=1.
Ở đây p, q, l là các số cụ thể (kể cả số âm). Loại phương trình này rất hữu ích khi cần mô tả một mặt phẳng trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, vì các số p, q, l chỉ ra các điểm giao nhau với các trục x, y và zmáy bay.
Lưu ý rằng mỗi loại phương trình có thể được chuyển đổi thành bất kỳ phương trình nào khác bằng các phép toán đơn giản.
Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Bây giờ hãy xem xét sắc thái sau. Trong không gian ba chiều, hai mặt phẳng chỉ có thể được định vị theo hai cách. Hoặc cắt nhau hoặc song song. Giữa hai mặt phẳng, góc là góc nằm giữa các vectơ hướng của chúng (pháp tuyến). Giao nhau, 2 vectơ tạo thành 2 góc (nhọn và tù trong trường hợp tổng quát). Góc giữa các mặt phẳng được coi là góc nhọn. Hãy xem xét phương trình.
Công thức của góc giữa hai mặt phẳng là:
θ=arccos (| (n1¯n2¯) | / (| n1¯ || n2¯ |)).
Dễ dàng đoán rằng biểu thức này là hệ quả trực tiếp của tích vô hướng của các vectơ thông thường n1¯ và n2¯ cho các mặt phẳng được xem xét. Môđun của tích dấu chấm trong tử số cho biết góc θ sẽ chỉ nhận các giá trị từ 0ođến 90o. Tích các môđun của các vectơ thông thường ở mẫu số có nghĩa là tích các độ dài của chúng.
Lưu ý, nếu (n1¯n2¯)=0, thì các mặt phẳng cắt nhau ở một góc vuông.
Bài toán ví dụ
Sau khi tìm ra góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta sẽ giải bài toán sau. Như một ví dụ. Vì vậy, cần phải tính góc giữa các mặt phẳng đó:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Để giải quyết vấn đề, bạn cần biết vectơ chỉ phương của các mặt phẳng. Đối với mặt phẳng thứ nhất, vectơ pháp tuyến là: n1¯=(2, -3, 0). Để tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng thứ hai, người ta phải nhân các vectơ sau tham số α và β. Kết quả là một vectơ: n2¯=(5, -3, 2).
Để xác định góc θ, chúng ta sử dụng công thức từ đoạn trước. Chúng tôi nhận được:
θ=arccos (| ((2, -3, 0)(5, -3, 2)) | / (| (2, -3, 0) || (5, -3, 2) |))=
=arccos (19 / √ (1338))=0,5455 rad.
Góc được tính bằng radian tương ứng với 31,26o. Do đó, các mặt phẳng theo điều kiện của bài toán cắt nhau một góc 31, 26o.
