Đường thẳng là đối tượng hình học chính trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều. Chính từ các đường thẳng mà nhiều hình được xây dựng, ví dụ: hình bình hành, hình tam giác, hình lăng trụ, hình chóp, v.v. Xem xét trong bài viết nhiều cách khác nhau để thiết lập phương trình của các đường.
Định nghĩa đường thẳng và các dạng phương trình để mô tả nó
Mỗi học sinh có một ý tưởng tốt về đối tượng hình học mà họ đang nói đến. Một đường thẳng có thể được biểu diễn như một tập hợp các điểm, và nếu chúng ta nối lần lượt từng điểm với tất cả các điểm khác, thì chúng ta sẽ có được một tập các vectơ song song. Nói cách khác, có thể đến từng điểm của đoạn thẳng từ một trong những điểm cố định của nó, chuyển nó thành một vectơ đơn vị nào đó nhân với một số thực. Định nghĩa này về đường thẳng được sử dụng để xác định đẳng thức vectơ cho mô tả toán học của nó cả trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều.
Một đường thẳng có thể được biểu diễn bằng toán học bằng các loại phương trình sau:
- chung;
- véc tơ;
- tham số;
- trong các phân đoạn;
- đối xứng (chuẩn).
Tiếp theo, chúng tôi sẽ xem xét tất cả các loại được đặt tên và chỉ ra cách làm việc với chúng bằng cách sử dụng các ví dụ về cách giải quyết vấn đề.
Mô tả vectơ và tham số của một đường thẳng
Hãy bắt đầu bằng cách xác định một đường thẳng qua một vectơ đã biết. Giả sử rằng có một điểm cố định trong không gian M (x0; y0; z0). Biết rằng đường thẳng đi qua nó và hướng dọc theo đoạn vectơ v¯ (a; b; c). Làm thế nào để tìm một điểm bất kỳ của đoạn thẳng từ những dữ liệu này? Câu trả lời cho câu hỏi này sẽ cho đẳng thức sau:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Trong đó λ là một số tùy ý.
Một biểu thức tương tự có thể được viết cho trường hợp hai chiều, trong đó tọa độ của vectơ và điểm được biểu diễn bằng một bộ hai số:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Phương trình đã viết được gọi là phương trình vectơ, và đoạn có hướng v¯ chính nó là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Từ các biểu thức đã viết, các phương trình tham số tương ứng thu được một cách đơn giản, chỉ cần viết lại một cách rõ ràng là đủ. Ví dụ, đối với trường hợp trong không gian, chúng ta nhận được phương trình sau:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Thật tiện lợi khi làm việc với các phương trình tham số nếu bạn cần phân tích hành vimỗi tọa độ. Lưu ý rằng mặc dù tham số λ có thể nhận các giá trị tùy ý, nhưng nó phải giống nhau ở cả ba giá trị bằng nhau.
Phương trình tổng quát
Một cách khác để xác định đường thẳng, thường được sử dụng để làm việc với đối tượng hình học được coi là sử dụng một phương trình tổng quát. Đối với trường hợp hai chiều, nó trông giống như:
Ax + By + C=0
Ở đây các chữ cái Latinh viết hoa đại diện cho các giá trị số cụ thể. Sự thuận tiện của đẳng thức này trong việc giải quyết vấn đề nằm ở chỗ nó chứa một cách rõ ràng một vectơ vuông góc với một đường thẳng. Nếu chúng ta ký hiệu nó bằng n¯, thì chúng ta có thể viết:
n¯=[A; B]
Ngoài ra, biểu thức rất tiện lợi khi sử dụng để xác định khoảng cách từ một đường thẳng đến một điểm P nào đó (x1; y1). Công thức cho khoảng cách d là:
d=| Ax1+ By1+ C | / √ (A2+ B2)
Dễ dàng chứng minh rằng nếu chúng ta biểu diễn biến y một cách rõ ràng từ phương trình tổng quát, chúng ta sẽ có dạng viết đường thẳng phổ biến sau đây:
y=kx + b
Trong đó k và b được xác định duy nhất bởi các số A, B, C.
Phương trình trong phân đoạn và phương trình chính tắc
Phương trình trong các phân đoạn dễ lấy nhất từ cái nhìn chung. Chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách thực hiện.
Giả sử chúng ta có dòng sau:
Ax + By + C=0
Chuyển số hạng tự do sang vế phải của hằng đẳng thức, sau đó chia toàn phương trình cho nó, ta được:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, trong đó q=-C / A, p=-C / B
Chúng tôi nhận được cái gọi là phương trình trong các phân đoạn. Nó có tên như vậy là do mẫu số mà mỗi biến được chia cho thấy giá trị của tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục tương ứng. Thật tiện lợi khi sử dụng dữ kiện này để mô tả một đường thẳng trong một hệ tọa độ, cũng như để phân tích vị trí tương đối của nó trong mối quan hệ với các đối tượng hình học khác (đường thẳng, điểm).
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang nhận phương trình chính tắc. Điều này dễ thực hiện hơn nếu chúng ta xem xét tùy chọn tham số. Đối với trường hợp trên máy bay, chúng tôi có:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Chúng tôi biểu thị tham số λ trong mỗi đẳng thức, sau đó chúng tôi cân bằng chúng, chúng tôi nhận được:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Đây là phương trình mong muốn được viết dưới dạng đối xứng. Cũng giống như một biểu thức vectơ, nó chứa một cách rõ ràng tọa độ của vectơ chỉ phương và tọa độ của một trong những điểm thuộc đường thẳng.
Có thể thấy rằng trong đoạn này chúng ta đã đưa ra các phương trình cho trường hợp hai chiều. Tương tự, bạn có thể viết phương trình của một đường thẳng trong không gian. Ở đây cần lưu ý rằng nếu dạng chuẩncác bản ghi và biểu thức trong các đoạn sẽ có cùng dạng, khi đó phương trình tổng quát trong không gian của một đường thẳng được biểu diễn bằng hệ hai phương trình đối với các mặt phẳng cắt nhau.
Bài toán xây dựng phương trình đường thẳng
Từ hình học, mọi học sinh đều biết rằng thông qua hai điểm, bạn có thể vẽ một đường thẳng. Giả sử rằng các điểm sau được cho trong mặt phẳng tọa độ:
M1(1; 2);
M2(- 1; 3)
Cần phải tìm phương trình của đường thẳng mà cả hai điểm thuộc về, trong các đoạn, ở dạng vectơ, chính tắc và tổng quát.
Trước tiên hãy lấy phương trình véc tơ. Để làm điều này, hãy xác định vectơ hướng trực tiếp M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Bây giờ bạn có thể tạo phương trình vectơ bằng cách lấy một trong hai điểm được chỉ định trong câu lệnh bài toán, ví dụ: M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Để có được phương trình chính tắc, chỉ cần biến đổi đẳng thức tìm được thành dạng tham số và loại trừ tham số λ. Chúng tôi có:
x=-1 - 2λ, do đó λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, khi đó ta nhận được λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Hai phương trình còn lại (tổng quát và trong các phân đoạn) có thể được tìm thấy từ phương trình chính tắc bằng cách biến đổi nó như sau:
x + 1=-2y + 6;
phương trình tổng quát: x + 2y - 5=0;
trong phương trình phân đoạn: x / 5 + y / 2, 5=1
Phương trình kết quả cho thấy vectơ (1; 2) phải vuông góc với đường thẳng. Thật vậy, nếu bạn tìm thấy tích vô hướng của nó với vectơ chỉ phương, thì nó sẽ bằng không. Phương trình đoạn thẳng cho biết đường thẳng cắt trục x tại (5; 0) và trục y tại (2, 5; 0).
Bài toán xác định giao điểm của các đường
Hai đường thẳng cho trên mặt phẳng theo phương trình sau:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Cần phải xác định tọa độ của điểm mà các đường này giao nhau.
Có hai cách để giải quyết vấn đề:
- Biến phương trình vectơ thành dạng tổng quát, sau đó giải hệ hai phương trình tuyến tính.
- Không thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào, mà chỉ cần thay thế tọa độ của giao điểm, biểu thị qua tham số λ, vào phương trình đầu tiên. Sau đó tìm giá trị tham số.
Hãy làm theo cách thứ hai. Chúng tôi có:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Thay số kết quả vào phương trình vectơ:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Như vậy, điểm duy nhất thuộc cả hai đường thẳng là điểm có tọa độ (-2; 5). Các đường cắt nhau trong đó.
