Trong hình học, sau một điểm, đoạn thẳng có lẽ là yếu tố đơn giản nhất. Nó được sử dụng để xây dựng bất kỳ hình phức tạp nào trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét phương trình tổng quát của một đường thẳng và giải một số bài toán bằng cách sử dụng nó. Hãy bắt đầu!
Đường thẳng trong hình học
Mọi người đều biết rằng các hình dạng như hình chữ nhật, hình tam giác, hình lăng trụ, hình lập phương, v.v. được hình thành bởi các đường thẳng cắt nhau. Đường thẳng trong hình học là một vật thể một chiều có thể nhận được bằng cách chuyển một điểm nhất định sang một vectơ có cùng hướng hoặc ngược chiều. Để hiểu rõ hơn về định nghĩa này, hãy tưởng tượng rằng có một điểm P nào đó trong không gian. Lấy một vectơ u¯ tùy ý trong không gian này. Sau đó, bất kỳ điểm Q nào của đoạn thẳng có thể nhận được là kết quả của các phép toán sau:
Q=P + λu¯.
Ở đây λ là một số tùy ý có thể là số dương hoặc số âm. Nếu bình đẳngViết ở trên dưới dạng tọa độ, khi đó ta nhận được phương trình sau của một đường thẳng:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Đẳng thức này được gọi là phương trình của một đường thẳng ở dạng vectơ. Và vectơ u¯ được gọi là hướng dẫn.
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng
Mọi học sinh đều có thể viết ra mà không gặp khó khăn gì. Nhưng thường thì phương trình được viết như thế này:
y=kx + b.
Trong đó k và b là các số tùy ý. Số b được gọi là thành viên tự do. Tham số k bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi giao điểm của đường thẳng với trục x.
Phương trình trên được biểu diễn theo biến y. Nếu chúng tôi trình bày nó ở dạng tổng quát hơn, thì chúng tôi nhận được ký hiệu sau:
Ax + By + C=0.
Dễ thấy rằng dạng viết phương trình tổng quát của đường thẳng trên mặt phẳng này dễ dàng chuyển thành dạng trước. Để làm điều này, phần bên trái và bên phải phải được chia cho hệ số B và biểu thị y.
Hình trên cho thấy một đường thẳng đi qua hai điểm.
Một dòng trong không gian 3D
Chúng ta tiếp tục nghiên cứu nhé. Chúng ta đã xem xét câu hỏi làm thế nào phương trình của một đường thẳng ở dạng tổng quát được cho trên một mặt phẳng. Nếu chúng ta áp dụng ký hiệu được đưa ra trong đoạn trước của bài viết cho trường hợp không gian, chúng ta sẽ nhận được gì? Mọi thứ đều đơn giản - không còn là một đường thẳng, mà là một mặt phẳng. Thật vậy, biểu thức sau đây mô tả một mặt phẳng song song với trục z:
Ax + By + C=0.
Nếu C=0, thì mặt phẳng đó đi quaqua trục z. Đây là một tính năng quan trọng.
Làm thế nào để trở thành phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian? Để hiểu cách hỏi nó, bạn cần nhớ điều gì đó. Hai mặt phẳng cắt nhau dọc theo một đường thẳng nào đó. Điều đó có nghĩa là gì? Chỉ rằng phương trình tổng quát là kết quả của việc giải một hệ hai phương trình cho mặt phẳng. Hãy viết hệ thống này:
- A1 x + B1 y + C1 z + D 1=0;
- A2 x + B2 y + C2 z + D 2=0.
Hệ này là phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian. Lưu ý rằng các mặt phẳng không được song song với nhau, tức là các vectơ pháp tuyến của chúng phải nghiêng một góc nào đó so với nhau. Nếu không, hệ thống sẽ không có giải pháp nào.
Ở trên chúng ta đã đưa ra dạng vectơ của phương trình đối với một đường thẳng. Nó là thuận tiện để sử dụng khi giải quyết hệ thống này. Để làm điều này, trước tiên bạn cần tìm tích vectơ của các pháp tuyến của các mặt phẳng này. Kết quả của phép toán này sẽ là một vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Sau đó, bất kỳ điểm nào thuộc dòng sẽ được tính toán. Để làm điều này, bạn cần đặt bất kỳ biến nào bằng một giá trị nhất định, hai biến còn lại có thể được tìm thấy bằng cách giải hệ thống rút gọn.
Làm thế nào để chuyển một phương trình vectơ thành một phương trình tổng quát? Sắc thái
Đây là một vấn đề thực tế có thể nảy sinh nếu bạn cần viết phương trình tổng quát của một đường thẳng bằng cách sử dụng tọa độ đã biết của hai điểm. Hãy để chúng tôi cho thấy vấn đề này được giải quyết như thế nào với một ví dụ. Hãy cho biết tọa độ của hai điểm:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Phương trình ở dạng vectơ khá dễ soạn. Tọa độ vectơ chỉ hướng là:
PQ=(x2-x1, y2-y1).
Lưu ý rằng không có sự khác biệt nếu chúng ta trừ tọa độ Q khỏi tọa độ của điểm P, vectơ sẽ chỉ thay đổi hướng của nó theo chiều ngược lại. Bây giờ bạn nên lấy một điểm bất kỳ và viết ra phương trình vectơ:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1 ).
Để viết phương trình tổng quát của một đường thẳng, tham số λ cần được biểu diễn trong cả hai trường hợp. Và sau đó so sánh kết quả. Chúng tôi có:
x=x1+ λ(x2-x1)=> λ=(x-x1) / (x2-x1);
y=y1+ λ(y2-y1)=> λ=(y-y1) / (y2-y1)=>
(x-x1) / (x2-x1)=(y-y 1 ) / (y2-y1 ).
Chỉ cần mở ngoặc và chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang một vế của phương trình để thu được biểu thức tổng quát cho đường thẳng đi qua hai điểm đã biết.
Trong trường hợp của một bài toán ba chiều, thuật toán giải được giữ nguyên, chỉ có kết quả của nó sẽ là một hệ hai phương trình cho các mặt phẳng.
Nhiệm vụ
Cần phải lập một phương trình tổng quátmột đường thẳng cắt trục x tại (-3, 0) và song song với trục y.
Hãy bắt đầu giải bài toán bằng cách viết phương trình dưới dạng vectơ. Vì đường thẳng song song với trục y nên vectơ chỉ đạo của nó sẽ như sau:
u¯=(0, 1).
Sau đó dòng mong muốn sẽ được viết như sau:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Bây giờ chúng ta hãy dịch biểu thức này thành dạng tổng quát, đối với điều này, chúng ta biểu thị tham số λ:
- x=-3;
- y=λ.
Như vậy, bất kỳ giá trị nào của biến y đều thuộc dòng, tuy nhiên, chỉ có giá trị duy nhất của biến x tương ứng với nó. Do đó, phương trình tổng quát sẽ có dạng:
x + 3=0.
Vấn đề với một đường thẳng trong không gian
Biết rằng hai mặt phẳng cắt nhau được cho bởi phương trình sau:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Cần tìm phương trình vectơ của đường thẳng mà các mặt phẳng này cắt nhau. Hãy bắt đầu.
Như đã nói, phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian ba chiều đã được đưa ra dưới dạng một hệ hai với ba ẩn số. Trước hết, chúng ta xác định vectơ chỉ phương mà các mặt phẳng cắt nhau. Nhân tọa độ vectơ của các chuẩn với mặt phẳng, ta được:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Vì nhân một vectơ với một số âm sẽ đảo ngược hướng của nó, chúng ta có thể viết:
u¯=-1(- 2, -1, -5)=(2, 1, 5).
TớiĐể tìm biểu thức vectơ đối với một đường thẳng, ngoài vectơ chỉ phương, ta phải biết một số điểm thuộc đường thẳng này. Tìm vì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình trong điều kiện của bài toán thì ta sẽ tìm được. Ví dụ, hãy đặt x=0, sau đó chúng tôi nhận được:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Như vậy, điểm thuộc đường thẳng mong muốn có tọa độ:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Sau đó, chúng ta có câu trả lời cho vấn đề này, phương trình vectơ của đường thẳng mong muốn sẽ có dạng:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Tính đúng đắn của giải pháp có thể dễ dàng kiểm tra. Để thực hiện việc này, bạn cần chọn một giá trị tùy ý của tham số λ và thay thế tọa độ thu được của điểm của đường thẳng vào cả hai phương trình cho mặt phẳng, bạn sẽ nhận được danh tính trong cả hai trường hợp.
