Một bài toán hình học điển hình là tìm góc giữa các đường. Trên một mặt phẳng, nếu biết phương trình của các đường, chúng có thể được vẽ và đo góc bằng thước đo góc. Tuy nhiên, phương pháp này tốn nhiều công sức và không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được. Để tìm ra góc được đặt tên, không nhất thiết phải vẽ các đoạn thẳng, nó có thể được tính toán. Bài viết này sẽ giải đáp cách thực hiện điều này.
Một đường thẳng và phương trình vectơ của nó
Bất kỳ đường thẳng nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng véc tơ bắt đầu tại -∞ và kết thúc tại + ∞. Trong trường hợp này, vectơ đi qua một điểm nào đó trong không gian. Vì vậy, tất cả các vectơ có thể được vẽ giữa hai điểm bất kỳ trên một đường thẳng sẽ song song với nhau. Định nghĩa này cho phép bạn thiết lập phương trình của một đường thẳng ở dạng vectơ:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Ở đây, vectơ có tọa độ (a; b; c) là hướng cho đường thẳng này đi qua điểm (x0; y0; z0 ). Tham số α cho phép bạn chuyển điểm được chỉ định sang bất kỳ điểm nào khác cho đường này. Phương trình này trực quan và dễ làm việc với cả trong không gian 3D và trên mặt phẳng. Đối với một mặt phẳng, nó sẽ không chứa tọa độ z và thành phần vectơ hướng thứ ba.
Sự thuận tiện của việc thực hiện các phép tính và nghiên cứu vị trí tương đối của các đường thẳng do sử dụng phương trình vectơ là do vectơ chỉ phương của nó đã biết. Tọa độ của nó được sử dụng để tính toán góc giữa các đường và khoảng cách giữa chúng.
Phương trình tổng quát của một đường thẳng trên mặt phẳng
Hãy viết rõ ràng phương trình vectơ của đường thẳng đối với trường hợp hai chiều. Nó trông giống như:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Bây giờ chúng ta tính tham số α cho mỗi đẳng thức và cân bằng các phần bên phải của các đẳng thức thu được:
α=(x - x0) / a;
α=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Mở ngoặc và chuyển tất cả các thuật ngữ sang một vế của bình đẳng, chúng ta nhận được:
1 / ax + (- 1 / b)y + y0/ b- x0/ a=0=>
Ax + By + C=0, trong đó A=1 / a, B=-1 / b, C=y0/ b- x 0/ a
Biểu thức kết quả được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng cho trong không gian hai chiều (trong không gian ba chiều, phương trình này tương ứng với một mặt phẳng song song với trục z, không phải là một đường thẳng).
Nếu chúng ta viết rõ ràng từ y đến x trong biểu thức này, thì chúng ta sẽ có dạng sau, đã biếtmỗi học sinh:
y=kx + p, trong đó k=-A / B, p=-C / B
Phương trình tuyến tính này xác định duy nhất một đường thẳng trên mặt phẳng. Rất dễ dàng để vẽ nó theo phương trình đã biết, đối với điều này bạn nên đặt lần lượt x=0 và y=0, đánh dấu các điểm tương ứng trong hệ tọa độ và vẽ một đường thẳng nối các điểm thu được.
Công thức của góc giữa các đường
Trên một mặt phẳng, hai đường thẳng có thể cắt nhau hoặc song song với nhau. Trong không gian, các tùy chọn này được thêm vào khả năng tồn tại của các đường xiên. Bất kỳ phiên bản nào của vị trí tương đối của các đối tượng hình học một chiều này được thực hiện, góc giữa chúng luôn có thể được xác định theo công thức sau:
φ=arccos (| (v1¯v2¯) | / (| v1¯ || v2¯ |))
Trong đó v1¯ và v2¯ lần lượt là vectơ dẫn hướng cho dòng 1 và 2. Tử số là môđun của tích số chấm để loại trừ các góc tù và chỉ tính đến các góc nhọn.
Các vectơ v1¯ và v2¯ có thể được cho bởi hai hoặc ba tọa độ, trong khi công thức cho góc φ vẫn không thay đổi.
Độ song song và độ vuông góc của các đường
Nếu góc giữa 2 đường thẳng được tính theo công thức trên là 0othì chúng được cho là song song. Để xác định các đường thẳng có song song hay không, bạn không thể tính được gócφ, đủ để chỉ ra rằng một vectơ chỉ hướng có thể được biểu diễn thông qua một vectơ tương tự của một đường thẳng khác, đó là:
v1¯=qv2¯
Đây q là một số thực.
Nếu phương trình của các đường là:
y=k1 x + p1,
y=k2 x + p2,
thì chúng sẽ chỉ song song khi các hệ số của x bằng nhau, nghĩa là:
k1=k2
Thực tế này có thể được chứng minh nếu chúng ta xem xét cách hệ số k được biểu thị dưới dạng tọa độ của vectơ chỉ đạo của đường thẳng.
Nếu góc giao giữa các đường thẳng là 90othì chúng được gọi là vuông góc. Để xác định độ vuông góc của các đường, cũng không cần tính góc φ, vì điều này chỉ cần tính tích vô hướng của các vectơ v1¯ và v là đủ 2¯. Nó phải bằng 0.
Trong trường hợp các đường thẳng cắt nhau trong không gian, công thức tính góc φ cũng có thể được sử dụng. Trong trường hợp này, kết quả nên được diễn giải một cách chính xác. Φ được tính toán cho thấy góc giữa các vectơ chỉ phương của các đường thẳng không cắt nhau và không song song.
Nhiệm vụ1. Đường vuông góc
Được biết, phương trình đường thẳng có dạng:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(- 4; 2)
Cần xác định những dòng này có phảivuông góc.
Như đã đề cập ở trên, để trả lời câu hỏi, chỉ cần tính tích vô hướng của các vectơ của các đường dẫn, tương ứng với các tọa độ (1; 2) và (-4; 2). Chúng tôi có:
(1; 2)(- 4; 2)=1(- 4) + 22=0
Vì chúng ta nhận được 0, điều này có nghĩa là các đường được coi là cắt nhau ở một góc vuông, tức là chúng vuông góc với nhau.
Nhiệm vụ2. Góc giao nhau của đường thẳng
Biết rằng hai phương trình đường thẳng có dạng sau:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Cần phải tìm góc giữa các đường.
Vì các hệ số của x có giá trị khác nhau nên các đường thẳng này không song song. Để tìm góc tạo thành khi chúng cắt nhau, chúng ta chuyển mỗi phương trình thành dạng vectơ.
Đối với dòng đầu tiên chúng ta nhận được:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Ở phía bên phải của phương trình, chúng ta có một vectơ có tọa độ phụ thuộc vào x. Hãy biểu diễn nó dưới dạng tổng của hai vectơ và tọa độ của vectơ đầu tiên sẽ chứa biến x và tọa độ của vectơ thứ hai sẽ chỉ bao gồm các số:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Vì x nhận các giá trị tùy ý nên nó có thể được thay thế bằng tham số α. Phương trình vectơ cho dòng đầu tiên trở thành:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Chúng ta thực hiện các thao tác tương tự với phương trình thứ hai của đường thẳng, chúng ta nhận được:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Chúng tôi đã viết lại các phương trình ban đầu ở dạng vectơ. Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức cho góc giao nhau, thay vào đó tọa độ của các vectơ chỉ thị của các đường:
(1; 2)(1; -1)=-1;
| (1; 2) |=√5;
| (1; -1) |=√2;
φ=arccos (| -1 | / (√5√2))=71, 565o
Do đó, các đường đang xét cắt nhau ở góc 71,565o, hoặc 1,249 radian.
Vấn đề này có thể đã được giải quyết theo cách khác. Để làm điều này, cần phải lấy hai điểm tùy ý của mỗi đường thẳng, lập các vectơ trực tiếp từ chúng, sau đó sử dụng công thức cho φ.
