Một trong những vấn đề phổ biến trong phép lập thể là các nhiệm vụ giao nhau giữa các đường thẳng và mặt phẳng và tính các góc giữa chúng. Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn trong bài viết này về cái gọi là phương pháp tọa độ và các góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Đường thẳng và mặt phẳng trong hình học
Trước khi xem xét phương pháp tọa độ và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, bạn nên làm quen với các đối tượng hình học được đặt tên.
Đường thẳng là một tập hợp các điểm trong không gian hoặc trên một mặt phẳng, mỗi điểm có thể nhận được bằng cách chuyển tuyến tính điểm trước đó thành một vectơ nhất định. Trong những gì sau đây, chúng tôi biểu thị vectơ này bằng ký hiệu u¯. Nếu nhân vectơ này với bất kỳ số nào khác không thì ta được một vectơ song song với u¯. Một đường là một đối tượng vô hạn tuyến tính.
Một mặt phẳng cũng là một tập hợp các điểm nằm sao cho nếu bạn tạo thành các vectơ tùy ý từ chúng thì tất cả chúng sẽ vuông góc với một vectơ nào đó n¯. Sau này được gọi là bình thường hoặc đơn giản là bình thường. Một mặt phẳng, không giống như một đường thẳng, là một vật thể vô hạn hai chiều.
Phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học
Dựa vào tên của phương pháp, chúng ta có thể kết luận rằng chúng ta đang nói về một phương pháp giải quyết vấn đề, dựa trên hiệu suất của các phép tính tuần tự phân tích. Nói cách khác, phương pháp tọa độ cho phép bạn giải các bài toán hình học bằng cách sử dụng các công cụ đại số phổ thông, trong đó chính là các phương trình.
Cần lưu ý rằng phương pháp đang được xem xét đã xuất hiện vào buổi bình minh của hình học và đại số hiện đại. Một đóng góp to lớn cho sự phát triển của nó đã được thực hiện bởi Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton và Leibniz trong thế kỷ 17-18.
Bản chất của phương pháp này là tính toán khoảng cách, góc, diện tích và thể tích của các yếu tố hình học dựa trên tọa độ của các điểm đã biết. Lưu ý rằng dạng của phương trình cuối cùng thu được phụ thuộc vào hệ tọa độ. Thông thường, hệ thống Descartes hình chữ nhật được sử dụng trong các bài toán, vì nó thuận tiện nhất để làm việc với.
Phương trình dòng
Xem xét phương pháp tọa độ và các góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hãy bắt đầu với việc thiết lập phương trình của đường thẳng. Có một số cách để biểu diễn các đường ở dạng đại số. Ở đây chúng tôi chỉ xem xét phương trình vectơ, vì nó có thể dễ dàng thu được từ nó ở bất kỳ dạng nào khác và dễ làm việc với.
Giả sử rằng có hai điểm: P và Q. Người ta biết rằng một đường thẳng có thể được vẽ qua chúng, và nósẽ là người duy nhất. Biểu diễn toán học tương ứng của phần tử trông giống như sau:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Trong đó PQ¯ là một vectơ có tọa độ thu được như sau:
PQ¯=Q - P.
Ký hiệu λ biểu thị một tham số có thể nhận hoàn toàn bất kỳ số nào.
Trong biểu thức đã viết, bạn có thể thay đổi hướng của vectơ và cũng có thể thay thế tọa độ Q thay vì điểm P. Tất cả các phép biến đổi này sẽ không dẫn đến thay đổi vị trí hình học của đường thẳng.
Lưu ý rằng khi giải quyết vấn đề, đôi khi yêu cầu biểu diễn phương trình vectơ đã viết ở dạng tường minh (tham số).
Đặt mặt phẳng trong không gian
Cũng như đối với đường thẳng, cũng có một số dạng phương trình toán học cho mặt phẳng. Trong số đó, chúng ta lưu ý đến véc tơ, phương trình ở dạng đoạn và dạng tổng quát. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đặc biệt chú ý đến biểu mẫu cuối cùng.
Phương trình tổng quát cho một mặt phẳng tùy ý có thể được viết như sau:
Ax + By + Cz + D=0.
Các chữ cái viết hoa Latinh là một số con số xác định một mặt phẳng.
Sự tiện lợi của ký hiệu này là nó chứa một vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng một cách rõ ràng. Nó bằng:
n¯=(A, B, C).
Biết vectơ này giúp bạn có thể nhìn sơ qua phương trình của mặt phẳng để hình dung vị trí của mặt phẳng sau trong hệ tọa độ.
Sự sắp xếp lẫn nhau trongkhông gian của đường thẳng và mặt phẳng
Trong phần tiếp theo của bài viết, chúng ta sẽ chuyển sang xét phương pháp tọa độ và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi làm thế nào mà các yếu tố hình học được coi là có thể được định vị trong không gian. Có ba cách:
- Đường thẳng cắt mặt phẳng. Sử dụng phương pháp tọa độ, bạn có thể tính điểm đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau tại điểm nào.
- Mặt phẳng của một đường thẳng là song song. Trong trường hợp này, hệ phương trình các yếu tố hình học không có nghiệm. Để chứng minh tính song song, người ta thường sử dụng tính chất của tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và pháp tuyến của mặt phẳng.
- Mặt phẳng chứa một đường thẳng. Giải hệ phương trình trong trường hợp này, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng với bất kỳ giá trị nào của tham số λ thì nhận được đẳng thức đúng.
Trong trường hợp thứ hai và thứ ba, góc giữa các đối tượng hình học được chỉ định bằng không. Trong trường hợp đầu tiên, nó nằm trong khoảng từ 0 đến 90o.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bây giờ chúng ta đi thẳng vào chủ đề của bài viết. Mọi giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng xảy ra ở một góc nào đó. Góc này được tạo thành bởi chính đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Hình chiếu có thể nhận được nếu từ một điểm bất kỳ của đường thẳng hạ một đường vuông góc xuống mặt phẳng, sau đó qua giao điểm thu được của mặt phẳng và đường vuông góc và giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng ban đầu, vẽ một đường thẳng sẽ là hình chiếu.
Tính toán các góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không phải là một nhiệm vụ khó khăn. Để giải nó, chỉ cần biết phương trình của các đối tượng hình học tương ứng là đủ. Giả sử các phương trình này giống như sau:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Góc mong muốn có thể dễ dàng tìm thấy bằng cách sử dụng tính chất của tích của các vectơ vô hướng u¯ và n¯. Công thức cuối cùng trông như thế này:
θ=arcsin (| (u¯n¯) | / (| u¯ || n¯ |)).
Công thức này nói rằng sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng tỷ số giữa môđun của tích vô hướng của các vectơ được đánh dấu với tích độ dài của chúng. Để hiểu tại sao sin xuất hiện thay vì cosine, hãy quay lại hình bên dưới.
Có thể thấy rằng nếu áp dụng hàm cosin, chúng ta sẽ nhận được góc giữa vectơ u¯ và n¯. Góc mong muốn θ (α trong hình) thu được như sau:
θ=90o- β.
Hình sin xuất hiện do áp dụng các công thức rút gọn.
Bài toán ví dụ
Hãy chuyển sang việc sử dụng thực tế những kiến thức thu được. Hãy giải một bài toán điển hình về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Các tọa độ sau đây của bốn điểm được cho:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Được biết rằng qua điểm PQMmột mặt phẳng đi qua nó, và một đường thẳng đi qua MN. Sử dụng phương pháp tọa độ, phải tính góc giữa mặt phẳng và đường thẳng.
Đầu tiên, chúng ta hãy viết phương trình của đường thẳng và mặt phẳng. Đối với một đường thẳng, thật dễ dàng để soạn nó:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(- 2, -4, 2).
Để lập phương trình của mặt phẳng, trước tiên chúng ta tìm pháp tuyến của nó. Tọa độ của nó bằng tích vectơ của hai vectơ nằm trong mặt phẳng đã cho. Chúng tôi có:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Bây giờ hãy thay tọa độ của bất kỳ điểm nào nằm trong nó vào phương trình của mặt phẳng tổng quát để nhận giá trị của số hạng tự do D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Phương trình mặt phẳng là:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Vẫn là áp dụng công thức tính góc tạo thành tại giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng để có câu trả lời cho bài toán. Chúng tôi có:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(- 2, -4, 2)=-28;
| u¯ |=√24; | n¯ |=√162;
θ=arcsin (28 / √ (16224))=26, 68o.
Sử dụng bài toán này làm ví dụ, chúng tôi đã chỉ ra cách sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học.
