Đường và mặt phẳng là hai yếu tố hình học quan trọng nhất có thể được sử dụng để tạo các hình dạng khác nhau trong không gian 2D và 3D. Hãy xem xét cách tìm khoảng cách giữa các đường thẳng song song và mặt phẳng song song.
Bài toán về đường thẳng
Từ khóa học hình học của trường, người ta biết rằng trong một hệ tọa độ hình chữ nhật hai chiều, một đường thẳng có thể được xác định dưới dạng sau:
y=kx + b.
Trong đó k và b là số (tham số). Dạng viết biểu diễn một đường thẳng trong mặt phẳng là một mặt phẳng song song với trục z trong không gian ba chiều. Theo quan điểm này, trong bài viết này, đối với phép tính toán học của một đường thẳng, chúng ta sẽ sử dụng một dạng phổ biến và thuận tiện hơn - một vectơ.
Giả sử rằng đường thẳng của chúng ta song song với một số vectơ u¯ (a, b, c) và đi qua điểm P (x0, y0, z0 ). Trong trường hợp này, ở dạng vectơ, phương trình của nó sẽ được biểu diễn như sau:
(x,y, z)=(x0,y0, z0) + λ(a, b, c).
Đây λ là một số bất kỳ. Nếu chúng ta biểu diễn tọa độ một cách rõ ràng bằng cách mở rộng biểu thức đã viết, thì chúng ta sẽ nhận được dạng tham số viết một đường thẳng.
Thật tiện lợi khi làm việc với phương trình vectơ khi giải các bài toán khác nhau, trong đó cần xác định khoảng cách giữa các đường thẳng song song.
Đường và khoảng cách giữa chúng
Chỉ có ý nghĩa khi nói về khoảng cách giữa các đường khi chúng song song (trong trường hợp ba chiều, cũng có khoảng cách khác 0 giữa các đường xiên). Nếu các đường cắt nhau, thì rõ ràng là chúng cách nhau bằng 0.
Khoảng cách giữa các đường thẳng song song là độ dài của đường vuông góc nối chúng. Để xác định chỉ số này, chỉ cần chọn một điểm tùy ý trên một trong các đường thẳng và thả vuông góc từ điểm đó sang đường khác là đủ.
Hãy mô tả ngắn gọn thủ tục tìm khoảng cách mong muốn. Giả sử rằng chúng ta biết phương trình vectơ của hai đường thẳng, được trình bày dưới dạng tổng quát sau:
(x,y, z)=P + λu¯;
(x,y, z)=Q + βv¯.
Dựng một hình bình hành trên các đường thẳng này sao cho một trong các cạnh là PQ và cạnh kia là u. Rõ ràng, chiều cao của hình này, được vẽ từ điểm P, là độ dài của đường vuông góc cần thiết. Để tìm được nó, bạn có thể áp dụng cách đơn giản saucông thức:
d=| [PQ¯u¯] | / | u¯ |.
Vì khoảng cách giữa các đoạn thẳng là độ dài đoạn vuông góc giữa chúng, nên theo biểu thức đã viết, chỉ cần tìm môđun của tích vectơ của PQ¯ và u¯ là đủ rồi chia kết quả cho độ dài của vectơ u¯.
Ví dụ về nhiệm vụ xác định khoảng cách giữa các đường thẳng
Hai đường thẳng được cho bởi phương trình vectơ sau:
(x,y, z)=(2, 3, -1) + λ(- 2, 1, 3);
(x,y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Từ các biểu thức đã viết, rõ ràng chúng ta có hai đường thẳng song song. Thật vậy, nếu chúng ta nhân với -1 tọa độ của vectơ chỉ phương của dòng thứ nhất, chúng ta sẽ có được tọa độ của vectơ chỉ phương của dòng thứ hai, cho biết độ song song của chúng.
Khoảng cách giữa các đoạn thẳng sẽ được tính bằng công thức được viết trong đoạn trước của bài viết. Chúng tôi có:
P (2, 3, -1), Q (1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Sau đó, chúng tôi nhận được:
| u¯ |=√14cm;
d=| [PQ¯u¯] | / | u¯ |=√ (90/14)=2,535 cm.
Lưu ý rằng thay vì các điểm P và Q, hoàn toàn có thể sử dụng bất kỳ điểm nào thuộc các dòng này để giải quyết vấn đề. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ nhận được cùng một khoảng cách d.
Thiết lập một mặt phẳng trong hình học
Câu hỏi về khoảng cách giữa các dòng đã được thảo luận chi tiết ở trên. Bây giờ chúng ta hãy trình bày cách tìm khoảng cách giữa các mặt phẳng song song.
Mọi người đại diện cho máy bay là gì. Theo định nghĩa toán học, yếu tố hình học xác định là một tập hợp các điểm. Hơn nữa, nếu bạn tổng hợp tất cả các vectơ có thể bằng cách sử dụng các điểm này, thì tất cả chúng sẽ vuông góc với một vectơ duy nhất. Cái sau thường được gọi là bình thường đối với mặt phẳng.
Để xác định phương trình của một mặt phẳng trong không gian ba chiều, dạng tổng quát của phương trình thường được sử dụng nhất. Nó trông như thế này:
Ax + By + Cz + D=0.
Trong đó các chữ cái Latinh viết hoa là một số số. Sẽ rất tiện lợi khi sử dụng loại phương trình mặt phẳng này vì tọa độ của vectơ pháp tuyến được đưa ra rõ ràng trong đó. Họ là A, B, C.
Dễ dàng nhận thấy rằng hai mặt phẳng chỉ song song khi các pháp tuyến của chúng song song.
Cách tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song?
Để xác định khoảng cách được chỉ định, bạn nên hiểu rõ ràng những gì đang bị đe dọa. Khoảng cách giữa các mặt phẳng song song với nhau được hiểu là độ dài của đoạn thẳng vuông góc với chúng. Các đầu của đoạn này thuộc về mặt phẳng.
Thuật toán để giải quyết những vấn đề như vậy rất đơn giản. Để làm điều này, bạn cần phải tìm tọa độ của hoàn toàn bất kỳ điểm nào thuộc một trong hai mặt phẳng. Sau đó, bạn nên sử dụng công thức này:
d=| Ax0+ By0+Cz0+ D | / √ (A2+ B2+ C2).
Vì khoảng cách là một giá trị dương nên dấu môđun ở tử số. Công thức được viết là phổ biến, vì nó cho phép bạn tính khoảng cách từ mặt phẳng đến bất kỳ yếu tố hình học nào. Chỉ cần biết tọa độ của một điểm của phần tử này là đủ.
Để đầy đủ, chúng ta lưu ý rằng nếu các pháp tuyến của hai mặt phẳng không song song với nhau, thì các mặt phẳng đó sẽ cắt nhau. Khi đó khoảng cách giữa chúng sẽ bằng không.
Bài toán xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng
Biết rằng hai mặt phẳng được cho bởi các biểu thức sau:
y / 5 + x / (- 3) + z / 1=1;
-x + 3/5y + 3z - 2=0.
Cần phải chứng minh rằng các mặt phẳng song song và cũng để xác định khoảng cách giữa chúng.
Để trả lời phần đầu tiên của bài toán, bạn cần đưa phương trình đầu tiên về dạng tổng quát. Lưu ý rằng nó được đưa ra dưới dạng được gọi là một phương trình trong các phân đoạn. Nhân các phần bên trái và bên phải của nó với 15 và chuyển tất cả các số hạng sang một vế của phương trình, ta được:
-5x + 3y + 15z - 15=0.
Hãy viết tọa độ của hai vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Có thể thấy rằng nếu nhân n2¯ với 5 thì chính xác ta sẽ được tọa độ n1¯. Do đó, các máy bay được coi làsong song.
Để tính khoảng cách giữa các mặt phẳng song song, hãy chọn một điểm tùy ý của mặt phẳng đầu tiên và sử dụng công thức trên. Ví dụ, chúng ta hãy lấy điểm (0, 0, 1) thuộc mặt phẳng đầu tiên. Sau đó, chúng tôi nhận được:
d=| Ax0+ By0+ Cz0+ D | / √ (A2+ B2+ C2)=
=1 / (√ (1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Khoảng cách mong muốn là 31 mm.
Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng
Kiến thức lý thuyết được cung cấp cũng cho phép chúng ta giải bài toán xác định khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng. Nó đã được đề cập ở trên rằng công thức có giá trị để tính toán giữa các mặt phẳng là phổ quát. Nó cũng có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề. Để thực hiện việc này, chỉ cần chọn bất kỳ điểm nào thuộc dòng đã cho.
Vấn đề chính trong việc xác định khoảng cách giữa các yếu tố hình học được xem xét là chứng minh tính song song của chúng (nếu không, thì d=0). Tính song song rất dễ chứng minh nếu bạn tính tích vô hướng của pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đoạn thẳng. Nếu các phần tử đang xét là song song thì tích này sẽ bằng 0.
