Không có nhiều người nghĩ đến việc có thể tính toán các sự kiện ít hay nhiều ngẫu nhiên. Nói một cách dễ hiểu, liệu có thực tế không khi biết bên nào của quân xúc xắc sẽ rơi ra tiếp theo. Đó là câu hỏi mà hai nhà khoa học vĩ đại đã đặt ra, người đã đặt nền móng cho một ngành khoa học như lý thuyết xác suất, trong đó xác suất của một sự kiện được nghiên cứu khá sâu rộng.
Nguồn gốc
Nếu bạn cố gắng định nghĩa một khái niệm như lý thuyết xác suất, bạn sẽ nhận được kết quả sau: đây là một trong những nhánh của toán học nghiên cứu tính không đổi của các sự kiện ngẫu nhiên. Tất nhiên, concept này chưa thực sự bộc lộ hết bản chất nên cần phải xem xét chi tiết hơn.
Tôi muốn bắt đầu với những người tạo ra lý thuyết. Như đã đề cập ở trên, có hai người trong số họ, đó là Pierre Fermat và Blaise Pascal. Chính họ là một trong những người đầu tiên cố gắng tính toán kết quả của một sự kiện bằng cách sử dụng các công thức và phép tính toán học. Nhìn chung, những gì thô sơ của khoa học này đã xuất hiện sớm nhất làTuổi trung niên. Vào thời điểm đó, nhiều nhà tư tưởng và nhà khoa học đã cố gắng phân tích cờ bạc, chẳng hạn như roulette, craps, v.v., từ đó thiết lập một mô hình và tỷ lệ phần trăm của một con số cụ thể rơi ra. Nền tảng được đặt vào thế kỷ XVII bởi các nhà khoa học nói trên.
Lúc đầu, công việc của họ không thể được quy cho những thành tựu to lớn trong lĩnh vực này, bởi vì mọi thứ họ làm chỉ đơn giản là sự kiện thực nghiệm, và các thí nghiệm được thiết lập trực quan, không sử dụng công thức. Theo thời gian, nó đã đạt được những kết quả tuyệt vời, xuất hiện như là kết quả của việc quan sát việc ném xúc xắc. Chính công cụ này đã giúp tìm ra những công thức dễ hiểu đầu tiên.
Liên kết
Không thể không kể đến một người như Christian Huygens, trong quá trình nghiên cứu đề tài mang tên "lý thuyết xác suất" (xác suất của một sự kiện được đề cập chính xác trong môn khoa học này). Người này rất thú vị. Ông, giống như các nhà khoa học đã trình bày ở trên, đã cố gắng suy ra tính đều đặn của các sự kiện ngẫu nhiên dưới dạng công thức toán học. Đáng chú ý là ông đã không làm điều này cùng với Pascal và Fermat, tức là tất cả các tác phẩm của ông không hề giao thoa với những tâm trí này. Huygens đưa ra các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.
Một sự thật thú vị là tác phẩm của anh ấy ra đời từ rất lâu trước khi có kết quả từ công việc của những người tiên phong, hay đúng hơn là hai mươi năm trước đó. Trong số các khái niệm được chỉ định, nổi tiếng nhất là:
- khái niệm xác suất như độ lớn của cơ hội;
- kỳ vọng cho sự rời rạctrường hợp;
- định lý nhân và cộng xác suất.
Cũng không thể không nhớ đến Jacob Bernoulli, người cũng có đóng góp không nhỏ trong việc nghiên cứu vấn đề. Tiến hành các thử nghiệm của riêng mình, không phụ thuộc vào bất kỳ ai, anh ta đã đưa ra được bằng chứng về quy luật số lớn. Đổi lại, các nhà khoa học Poisson và Laplace, những người làm việc vào đầu thế kỷ 19, đã có thể chứng minh các định lý ban đầu. Chính từ thời điểm này, lý thuyết xác suất bắt đầu được sử dụng để phân tích các sai sót trong quá trình quan sát. Các nhà khoa học Nga, hay đúng hơn là Markov, Chebyshev và Dyapunov, cũng không thể qua mặt được khoa học này. Dựa trên công trình được thực hiện bởi các thiên tài vĩ đại, họ đã ấn định môn học này thành một nhánh của toán học. Những con số này đã hoạt động vào cuối thế kỷ XIX, và nhờ sự đóng góp của chúng, các hiện tượng như:
- luật số lớn;
- Lý thuyết chuỗi Markov;
- định lý giới hạn trung tâm.
Vì vậy, với lịch sử ra đời của khoa học và với những con người chính là người chịu ảnh hưởng của nó, mọi thứ ít nhiều đã sáng tỏ. Bây giờ đã đến lúc cụ thể hóa tất cả các sự kiện.
Khái niệm cơ bản
Trước khi đề cập đến các định luật và định lý, bạn nên nghiên cứu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Sự kiện có vai trò chủ đạo trong đó. Chủ đề này khá đồ sộ, nhưng nếu không có nó thì sẽ không thể hiểu được mọi thứ khác.
Một sự kiện trong lý thuyết xác suất là bất kỳ tập hợp kết quả nào của một thử nghiệm. Không có quá nhiều khái niệm về hiện tượng này. Vì vậy, nhà khoa học Lotman,làm việc trong lĩnh vực này, nói rằng trong trường hợp này chúng ta đang nói về một điều gì đó “đã xảy ra, mặc dù nó có thể không xảy ra.”
Sự kiện ngẫu nhiên (lý thuyết xác suất đặc biệt chú ý đến chúng) là một khái niệm ám chỉ tuyệt đối bất kỳ hiện tượng nào có khả năng xảy ra. Hoặc, ngược lại, kịch bản này có thể không xảy ra khi nhiều điều kiện được đáp ứng. Cũng cần biết rằng đó là những sự kiện ngẫu nhiên nắm bắt toàn bộ khối lượng của các hiện tượng đã xảy ra. Lý thuyết xác suất chỉ ra rằng tất cả các điều kiện có thể được lặp lại liên tục. Hành vi của họ được gọi là "trải nghiệm" hoặc "kiểm tra".
Một sự kiện nhất định là sự kiện sẽ xảy ra 100% trong một bài kiểm tra nhất định. Theo đó, sự kiện không thể xảy ra là sự kiện sẽ không xảy ra.
Sự kết hợp của một cặp hành động (quy ước trường hợp A và trường hợp B) là hiện tượng xảy ra đồng thời. Chúng được ký hiệu là AB.
Tổng các cặp sự kiện A và B là C, hay nói cách khác, nếu ít nhất một trong số chúng xảy ra (A hoặc B) thì sẽ thu được C. Công thức của hiện tượng mô tả được viết như sau: C=A + B.
Các sự kiện rời rạc trong lý thuyết xác suất ngụ ý rằng hai trường hợp loại trừ lẫn nhau. Chúng không bao giờ có thể xảy ra cùng một lúc. Các sự kiện chung trong lý thuyết xác suất là phản mã của chúng. Điều này ngụ ý rằng nếu A xảy ra, thì nó không ảnh hưởng đến B.
Các sự kiện trái ngược nhau (lý thuyết xác suất đề cập rất chi tiết đến chúng) rất dễ hiểu. Tốt nhất là đối phó với chúng để so sánh. Chúng gần giống nhưvà các sự kiện không tương thích trong lý thuyết xác suất. Nhưng sự khác biệt của chúng nằm ở chỗ, dù sao thì một trong nhiều hiện tượng cũng phải xảy ra.
Sự kiện tương đương là những hành động, khả năng xảy ra là ngang nhau. Để làm rõ hơn, chúng ta có thể hình dung việc tung một đồng xu: sự rơi của một trong hai mặt của nó có khả năng rơi như nhau.
Sự kiện tốt dễ nhìn thấy hơn với một ví dụ. Giả sử có tập B và tập A. Đầu tiên là lần tung xúc xắc xuất hiện một số lẻ, và lần thứ hai là sự xuất hiện của số năm trên con xúc sắc. Sau đó, hóa ra A ủng hộ B.
Các sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất chỉ được chiếu trên hai trường hợp trở lên và ngụ ý sự độc lập của bất kỳ hành động nào với hành động khác. Ví dụ, A là mất đuôi khi tung đồng xu, và B là rút jack từ bộ bài. Chúng là những sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất. Với khoảnh khắc này, điều đó trở nên rõ ràng hơn.
Các sự kiện phụ thuộc trong lý thuyết xác suất cũng chỉ được chấp nhận đối với tập hợp của chúng. Chúng ngụ ý sự phụ thuộc của cái này vào cái kia, nghĩa là, hiện tượng B chỉ có thể xảy ra nếu A đã xảy ra hoặc ngược lại, chưa xảy ra, khi đây là điều kiện chính của B.
Kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên bao gồm một thành phần là các sự kiện cơ bản. Lý thuyết xác suất giải thích rằng đây là hiện tượng chỉ xảy ra một lần.
Công thức cơ bản
Vì vậy, các khái niệm về "sự kiện", "lý thuyết xác suất",định nghĩa của các thuật ngữ cơ bản của khoa học này cũng đã được đưa ra. Bây giờ là lúc để làm quen trực tiếp với các công thức quan trọng. Các biểu thức này xác nhận về mặt toán học tất cả các khái niệm chính trong một chủ đề khó như lý thuyết xác suất. Xác suất của một sự kiện cũng đóng một vai trò rất lớn ở đây.
Tốt hơn hãy bắt đầu với các công thức cơ bản của tổ hợp. Và trước khi tiếp tục chúng, cần xem xét nó là gì.
Tổ hợp chủ yếu là một nhánh của toán học, nó liên quan đến việc nghiên cứu một số lượng lớn các số nguyên, cũng như các hoán vị khác nhau của cả bản thân các số và các phần tử của chúng, các dữ liệu khác nhau, v.v., dẫn đến sự xuất hiện của một số kết hợp. Ngoài lý thuyết xác suất, nhánh này còn quan trọng đối với thống kê, khoa học máy tính và mật mã.
Vì vậy, bây giờ chúng ta có thể chuyển sang trình bày các công thức và xác định chúng.
Cái đầu tiên sẽ là biểu thức cho số hoán vị, có dạng như sau:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Phương trình chỉ áp dụng nếu các phần tử chỉ khác nhau về thứ tự.
Bây giờ công thức vị trí sẽ được xem xét, có dạng như sau:
A_n ^ m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅… ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Biểu thức này không chỉ áp dụng cho thứ tự của phần tử mà còn áp dụng cho thành phần của nó.
Phương trình thứ ba từ tổ hợp và cũng là phương trình cuối cùng, được gọi là công thức cho số lượng kết hợp:
C_n ^ m=n!: ((N -m))!: m!
Kết hợp là các lựa chọn không được sắp xếp theo thứ tự tương ứng và quy tắc này áp dụng cho chúng.
Hóa ra thật dễ dàng để tìm ra các công thức của tổ hợp, bây giờ chúng ta có thể chuyển sang định nghĩa cổ điển về xác suất. Biểu thức này trông như thế này:
P (A)=m: n.
Trong công thức này, m là số điều kiện thuận lợi cho sự kiện A và n là số tất cả các kết quả cơ bản và hoàn toàn có thể có như nhau.
Có một số lượng lớn các biểu thức, bài viết sẽ không bao gồm tất cả chúng, nhưng quan trọng nhất trong số chúng sẽ được đề cập đến, chẳng hạn như xác suất của tổng các sự kiện:
P (A + B)=P (A) + P (B) - định lý này chỉ để cộng các sự kiện không tương thích;
P (A + B)=P (A) + P (B) - P (AB) - và cái này chỉ để thêm những cái tương thích.
Xác suất tạo ra các sự kiện:
P (A ⋅ B)=P (A) ⋅ P (B) - định lý này dành cho các sự kiện độc lập;
(P (A ⋅ B)=P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B)=P (A) ⋅ P (A∣B)) - và cái này dành cho người nghiện.
Công thức sự kiện kết thúc danh sách. Lý thuyết xác suất cho chúng ta biết về định lý Bayes, có dạng như sau:
P (H_m∣A)=(P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k=1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m=1,…, N
Trong công thức này, H1, H2,…, H là hoàn thành nhóm giả thuyết.
Hãy dừng lại ở đây, sau đó các ví dụ về áp dụng công thức để giải các bài toán cụ thể từ thực tế sẽ được xem xét.
Ví dụ
Nếu bạn nghiên cứu kỹ phần nàoToán học, nó không làm được nếu không có các bài tập và các giải pháp mẫu. Lý thuyết xác suất cũng vậy: các sự kiện, ví dụ ở đây là một thành phần tích hợp xác nhận các phép tính khoa học.
Công thức về số hoán vị
Giả sử có ba mươi thẻ trong một bộ bài, bắt đầu bằng mệnh giá một. Câu hỏi tiếp theo. Có bao nhiêu cách xếp bộ bài để các quân bài có mệnh giá một và hai không nằm cạnh nhau?
Nhiệm vụ đã được đặt ra, bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải quyết nó. Trước tiên, bạn cần xác định số hoán vị của ba mươi phần tử, đối với điều này, chúng tôi lấy công thức trên, hóa ra P_30=30 !.
Dựa trên quy tắc này, chúng ta sẽ tìm ra có bao nhiêu lựa chọn để gấp bộ bài theo những cách khác nhau, nhưng chúng ta cần trừ chúng đi những lựa chọn có quân bài thứ nhất và thứ hai. Để làm điều này, hãy bắt đầu với tùy chọn khi tùy chọn đầu tiên ở trên tùy chọn thứ hai. Nó chỉ ra rằng thẻ đầu tiên có thể có hai mươi chín vị trí - từ đầu tiên đến thứ hai mươi chín, và thẻ thứ hai từ thứ hai đến thứ ba mươi, nó có hai mươi chín vị trí cho một cặp thẻ. Đổi lại, phần còn lại có thể chiếm hai mươi tám vị trí, và theo bất kỳ thứ tự nào. Tức là, đối với hoán vị của hai mươi tám thẻ, có hai mươi tám lựa chọn P_28=28!
Kết quả là nếu chúng ta xem xét giải pháp khi thẻ đầu tiên hơn thẻ thứ hai, thì có 29 ⋅ 28 khả năng phụ!=29!
Sử dụng phương pháp tương tự, bạn cần tính toán số lượng tùy chọn dư thừa cho trường hợp thẻ thứ nhất dưới thẻ thứ hai. Nó cũng chỉ ra 29 ⋅ 28!=29!
Theo đó, có 2 ⋅ 29 tùy chọn bổ sung !, trong khi có 30 cách bắt buộc để xây dựng một bộ bài! - 2 ⋅ 29 !. Nó vẫn chỉ để đếm.
30!=29! ⋅ 30; 30! -2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Bây giờ bạn cần nhân tất cả các số từ một đến hai mươi chín với nhau, rồi cuối cùng nhân mọi thứ với 28. Câu trả lời là 2, 4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32
Giải pháp của ví dụ. Công thức cho số vị trí
Trong bài toán này, bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách để xếp mười lăm tập trên một kệ, nhưng với điều kiện tổng cộng có ba mươi tập.
Vấn đề này có một giải pháp dễ dàng hơn một chút so với vấn đề trước. Sử dụng công thức đã biết, cần phải tính tổng số vị trí từ ba mươi tập là mười lăm.
A_30 ^ 15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅… ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
Câu trả lời tương ứng sẽ là 202 843 204 931 727 360 000.
Bây giờ chúng ta hãy nhận nhiệm vụ khó hơn một chút. Bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách để sắp xếp ba mươi cuốn sách trên hai giá sách, với điều kiện chỉ có thể có mười lăm cuốn trên một giá.
Trước khi bắt đầu giải pháp, tôi muốn nói rõ rằng một số vấn đề được giải quyết theo nhiều cách, vì vậy có hai cách trong cách này, nhưng cùng một công thức được sử dụng trong cả hai cách.
Trong bài toán này, bạn có thể lấy câu trả lời từ bài toán trước, vì ở đó chúng tôi đã tính toán số lần bạn có thể lấp đầy một kệ với mười lăm cuốn sách cho-khác nhau. Hóa ra A_30 ^ 15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅… ⋅ 16.
Chúng ta sẽ tính giá sách thứ hai bằng công thức hoán vị, vì có mười lăm cuốn sách được đặt trong đó, trong khi chỉ còn lại mười lăm cuốn. Sử dụng công thức P_15=15 !.
Hóa ra tổng sẽ là A_30 ^ 15 ⋅ P_15 cách, ngoài ra, tích của tất cả các số từ ba mươi đến mười sáu sẽ phải nhân với tích các số từ một đến mười lăm, như kết quả là tích của tất cả các số từ một đến ba mươi, vì vậy câu trả lời là 30!
Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết theo một cách khác - dễ dàng hơn. Để làm điều này, bạn có thể tưởng tượng rằng có một giá đựng ba mươi cuốn sách. Tất cả chúng đều được đặt trên mặt phẳng này, nhưng vì điều kiện yêu cầu phải có hai giá, nên chúng tôi cắt đôi một cái dài một cái, mỗi cái có hai cái mười lăm cái. Từ đó, nó chỉ ra rằng các tùy chọn vị trí có thể là P_30=30!.
Giải pháp của ví dụ. Công thức cho số kết hợp
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một biến thể của bài toán thứ ba từ tổ hợp. Bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách để sắp xếp mười lăm cuốn sách, với điều kiện là bạn phải chọn từ ba mươi cuốn sách hoàn toàn giống nhau.
Đối với giải pháp, tất nhiên, công thức cho số lượng kết hợp sẽ được áp dụng. Từ điều kiện, rõ ràng là thứ tự của mười lăm cuốn sách giống hệt nhau là không quan trọng. Do đó, ban đầu bạn cần tìm ra tổng số kết hợp của ba mươi cuốn sách là mười lăm.
C_30 ^ 15=30!: ((30-15))!: mười lăm !=155 117 520
Thế là xong. Sử dụng công thức này, trong thời gian ngắn nhất có thểgiải quyết một vấn đề như vậy, câu trả lời tương ứng là 155 117 520.
Giải pháp của ví dụ. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Với công thức trên, bạn có thể tìm ra câu trả lời cho một bài toán đơn giản. Nhưng nó sẽ giúp bạn nhìn trực quan và theo dõi quá trình hành động.
Bài toán cho rằng có mười quả bóng hoàn toàn giống nhau trong bình. Trong số này, bốn chiếc màu vàng và sáu chiếc màu xanh lam. Một quả bóng được lấy từ cái bình. Bạn cần tìm ra xác suất nhận được màu xanh lam.
Để giải quyết vấn đề, cần chỉ định lấy được quả bóng xanh là sự kiện A. Trải nghiệm này có thể có mười kết quả, lần lượt, là cơ bản và có thể xảy ra như nhau. Đồng thời, trong số mười, sáu là thuận lợi cho sự kiện A. Chúng ta giải theo công thức:
P (A)=6: 10=0, 6
Áp dụng công thức này, chúng tôi phát hiện ra rằng xác suất để lấy được quả bóng màu xanh là 0,6.
Giải pháp của ví dụ. Xác suất của tổng các sự kiện
Bây giờ một biến thể sẽ được trình bày, được giải bằng cách sử dụng công thức tính xác suất của tổng các sự kiện. Vì vậy, trong điều kiện đã cho, có hai hộp, hộp thứ nhất chứa một màu xám và năm quả bóng màu trắng, và hộp thứ hai chứa tám quả bóng màu xám và bốn quả bóng màu trắng. Kết quả là, một trong số chúng đã được lấy từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai. Bạn cần phải tìm ra khả năng những quả bóng bạn nhận được sẽ có màu xám và trắng.
Để giải quyết vấn đề này, bạn cần gắn nhãn các sự kiện.
- Vì vậy, A - lấy một quả bóng màu xám từ hộp đầu tiên: P (A)=1 / 6.
- A’- lấy một quả bóng trắng cũng từ ô đầu tiên: P (A ')=5 / 6.
- B - quả bóng màu xám đã được lấy ra từ ô thứ hai: P (B)=2 / 3.
- B’- lấy một quả bóng màu xám từ hộp thứ hai: P (B ')=1/3.
Theo điều kiện của bài toán, một trong các hiện tượng phải xảy ra: AB 'hoặc A'B. Sử dụng công thức, chúng ta nhận được: P (AB ')=1/18, P (A'B)=10 / 18.
Bây giờ công thức nhân xác suất đã được sử dụng. Tiếp theo, để tìm ra câu trả lời, bạn cần áp dụng phương trình cho phép cộng của chúng:
P=P (AB '+ A'B)=P (AB') + P (A'B)=11 / 18.
Đây là cách, sử dụng công thức, bạn có thể giải quyết các vấn đề tương tự.
Kết quả
Bài báo cung cấp thông tin về chủ đề "Lý thuyết xác suất", trong đó xác suất của một sự kiện đóng một vai trò quan trọng. Tất nhiên, không phải tất cả mọi thứ đều được tính đến, nhưng dựa trên văn bản được trình bày, về mặt lý thuyết, người ta có thể làm quen với phần này của toán học. Khoa học được đề cập có thể hữu ích không chỉ trong công việc chuyên môn mà còn trong cuộc sống hàng ngày. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tính toán bất kỳ khả năng xảy ra bất kỳ sự kiện nào.
Văn bản cũng đề cập đến những ngày tháng quan trọng trong lịch sử hình thành lý thuyết xác suất như một môn khoa học, và tên của những người có công trình được đầu tư vào nó. Đây là cách mà sự tò mò của con người đã dẫn đến thực tế là con người đã học cách tính toán các sự kiện thậm chí ngẫu nhiên. Trước đây họ chỉ quan tâm đến nó, nhưng ngày nay mọi người đã biết về nó. Và không ai nói trước được điều gì đang chờ đợi chúng ta trong tương lai, những khám phá rực rỡ khác liên quan đến lý thuyết đang được xem xét sẽ được thực hiện. Nhưng có một điều chắc chắn - nghiên cứu không đứng yên!
