Nhiều người, đối mặt với khái niệm "lý thuyết xác suất", đã sợ hãi, nghĩ rằng đây là một cái gì đó quá sức, rất phức tạp. Nhưng thực sự không phải tất cả đều bi thảm như vậy. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất, tìm hiểu cách giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể.
Khoa học
Ngành toán học như "lý thuyết xác suất" nghiên cứu điều gì? Nó ghi chú các mẫu sự kiện và số lượng ngẫu nhiên. Lần đầu tiên, các nhà khoa học quan tâm đến vấn đề này là vào thế kỷ thứ mười tám, khi họ nghiên cứu về cờ bạc. Khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là một sự kiện. Đó là bất kỳ sự thật nào được xác định chắc chắn bằng kinh nghiệm hoặc quan sát. Nhưng kinh nghiệm là gì? Một khái niệm cơ bản khác của lý thuyết xác suất. Có nghĩa là sự kết hợp hoàn cảnh này không phải do ngẫu nhiên tạo ra, mà là vì một mục đích cụ thể. Về phần quan sát, ở đây bản thân nhà nghiên cứu không tham gia vào thí nghiệm, mà chỉ đơn giản là nhân chứng cho những sự kiện này, anh ta không ảnh hưởng đến những gì đang xảy ra theo bất kỳ cách nào.
Sự kiện
Chúng tôi đã biết rằng khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là một sự kiện, nhưng không xem xét sự phân loại. Tất cả chúng được chia thành các loại sau:
- Đáng tin cậy.
- Không thể.
- Ngẫu nhiên.
Không có vấn đề gìloại sự kiện nào được quan sát hoặc tạo ra trong quá trình trải nghiệm, tất cả chúng đều phải tuân theo sự phân loại này. Chúng tôi đề nghị làm quen với từng loài riêng biệt.
Sự kiện nhất định
Đây là tình huống mà trước đó các biện pháp cần thiết đã được thực hiện. Để hiểu rõ hơn về bản chất, tốt hơn là nên đưa ra một vài ví dụ. Vật lý, hóa học, kinh tế học và toán học cao hơn phải tuân theo luật này. Lý thuyết xác suất bao gồm một khái niệm quan trọng như một sự kiện nhất định. Dưới đây là một số ví dụ:
- Chúng tôi làm việc và nhận thù lao dưới dạng tiền lương.
- Chúng tôi đã vượt qua kỳ thi tốt, vượt qua cuộc thi, vì điều này, chúng tôi nhận được phần thưởng dưới hình thức được nhận vào một cơ sở giáo dục.
- Chúng tôi đã đầu tư tiền vào ngân hàng, chúng tôi sẽ lấy lại nếu cần.
Sự kiện như vậy là đáng tin cậy. Nếu chúng ta đã thực hiện đầy đủ các điều kiện cần thiết thì chắc chắn chúng ta sẽ có được kết quả như mong đợi.
Sự kiện bất khả thi
Bây giờ chúng ta đang xem xét các yếu tố của lý thuyết xác suất. Chúng tôi đề xuất chuyển sang giải thích về loại sự kiện tiếp theo, cụ thể là điều không thể xảy ra. Đầu tiên, hãy chỉ định quy tắc quan trọng nhất - xác suất của một sự kiện không thể xảy ra bằng 0.
Bạn không thể hiểu sai từ ngữ này khi giải quyết vấn đề. Để làm rõ, đây là ví dụ về các sự kiện như vậy:
- Nước đóng băng ở cộng mười (điều đó là không thể).
- Việc thiếu điện không ảnh hưởng đến sản xuất theo bất kỳ cách nào (không thể xảy ra như trong ví dụ trước).
Thêm ví dụNó không có giá trị trích dẫn, vì những điều được mô tả ở trên phản ánh rất rõ ràng bản chất của thể loại này. Sự kiện bất khả thi sẽ không bao giờ xảy ra trong quá trình trải nghiệm trong bất kỳ trường hợp nào.
Sự kiện ngẫu nhiên
Nghiên cứu các yếu tố của lý thuyết xác suất, cần đặc biệt chú ý đến loại sự kiện cụ thể này. Đó là những gì khoa học đang nghiên cứu. Như một kết quả của kinh nghiệm, một cái gì đó có thể xảy ra hoặc không. Ngoài ra, bài kiểm tra có thể được lặp lại không giới hạn số lần. Ví dụ sinh động là:
- Tung đồng xu là một trải nghiệm, hay một bài kiểm tra, tiêu đề là một sự kiện.
- Rút quả bóng ra khỏi túi một cách mù quáng là một bài kiểm tra, một quả bóng màu đỏ bị bắt là một sự kiện, v.v.
Có thể có vô số ví dụ như vậy, nhưng nói chung, bản chất phải rõ ràng. Để tóm tắt và hệ thống hóa những kiến thức thu được về các sự kiện, một bảng được đưa ra. Lý thuyết xác suất chỉ nghiên cứu loại cuối cùng trong số tất cả các lý thuyết được trình bày.
| tiêu đề | định nghĩa | ví dụ |
| Đáng tin cậy | Sự kiện xảy ra với sự đảm bảo 100% trong các điều kiện nhất định. | Nhập học vào một cơ sở giáo dục với kỳ thi đầu vào tốt. |
| Không thể | Sự kiện sẽ không bao giờ xảy ra trong bất kỳ trường hợp nào. | Tuyết rơi ở nhiệt độ hơn 30 độ C. |
| Ngẫu nhiên | Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong quá trình thử nghiệm / kiểm tra. | Đánh hoặc trượt khi ném bóng rổ vào vòng tròn. |
Luật
Lý thuyết xác suất là một môn khoa học nghiên cứu khả năng xảy ra một sự kiện. Giống như những cái khác, nó có một số quy tắc. Có các định luật sau của lý thuyết xác suất:
- Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên.
- Quy luật số lớn.
Khi tính toán khả năng xảy ra phức tạp, bạn có thể sử dụng phức hợp các sự kiện đơn giản để đạt được kết quả một cách dễ dàng hơn và nhanh hơn. Lưu ý rằng các định luật của lý thuyết xác suất dễ dàng được chứng minh với sự trợ giúp của một số định lý. Hãy bắt đầu với luật đầu tiên.
Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên
Lưu ý rằng có một số loại hội tụ:
- Chuỗi các biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất.
- Gần như không thể.
- RMS hội tụ.
- Hội tụ trong phân phối.
Vì vậy, rất khó để đi đến tận cùng của nó. Dưới đây là một số định nghĩa để giúp bạn hiểu chủ đề này. Hãy bắt đầu với cái nhìn đầu tiên. Một dãy được gọi là hội tụ về xác suất nếu điều kiện sau được đáp ứng: n có xu hướng đến vô cùng, số mà dãy có xu hướng lớn hơn 0 và gần bằng một.
Đi đến chế độ xem tiếp theo, gần như chắc chắn. Họ nói rằngchuỗi gần như chắc chắn hội tụ đến một biến ngẫu nhiên với n có xu hướng đến vô cùng và P có xu hướng gần với một giá trị.
Loại tiếp theo là hội tụ căn bậc hai. Khi sử dụng hội tụ SC, việc nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên vectơ được rút gọn thành nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên tọa độ của chúng.
Loại cuối cùng vẫn còn, chúng ta hãy xem xét sơ lược về nó để trực tiếp giải quyết vấn đề. Hội tụ phân phối có một tên gọi khác - “yếu”, chúng tôi sẽ giải thích lý do tại sao bên dưới. Sự hội tụ yếu là sự hội tụ của các hàm phân phối tại tất cả các điểm liên tục của hàm phân phối giới hạn.
Đảm bảo thực hiện lời hứa: hội tụ yếu khác với tất cả các điều trên ở chỗ biến ngẫu nhiên không được xác định trên không gian xác suất. Điều này có thể xảy ra vì điều kiện được hình thành độc quyền bằng cách sử dụng các hàm phân phối.
Luật số lớn
Người trợ giúp xuất sắc trong việc chứng minh định luật này sẽ là các định lý của lý thuyết xác suất, chẳng hạn như:
- Bất đẳng thức Chebyshev.
- Định lý Chebyshev.
- Định lý Chebyshev tổng quát.
- Định lý Markov.
Nếu chúng ta xem xét tất cả các định lý này, thì câu hỏi này có thể kéo dài thêm vài chục trang. Nhiệm vụ chính của chúng tôi là áp dụng lý thuyết xác suất vào thực tế. Chúng tôi mời bạn làm điều này ngay bây giờ. Nhưng trước đó, chúng ta hãy xem xét các tiên đề của lý thuyết xác suất, chúng sẽ là trợ thủ chính trong việc giải quyết vấn đề.
Tiên đề
Chúng tôi đã gặp người đầu tiên khi chúng tôi nói về sự kiện không thể xảy ra. Hãy nhớ rằng: xác suất của một sự kiện không thể xảy ra bằng không. Chúng tôi đã đưa ra một ví dụ rất sinh động và đáng nhớ: tuyết rơi ở nhiệt độ không khí là 30 độ C.
Câu thứ hai nghe như thế này: một sự kiện đáng tin cậy xảy ra với xác suất bằng một. Bây giờ hãy trình bày cách viết nó bằng ngôn ngữ toán học: P (B)=1.
Thứ ba: Một sự kiện ngẫu nhiên có thể xảy ra hoặc không, nhưng khả năng xảy ra luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Giá trị càng gần với một, cơ hội càng lớn; nếu giá trị tiếp cận 0, xác suất là rất thấp. Hãy viết điều này bằng ngôn ngữ toán học: 0<Р (С) <1.
Hãy xem xét tiên đề thứ tư, cuối cùng, nghe có vẻ như thế này: xác suất của tổng hai sự kiện bằng tổng xác suất của chúng. Chúng tôi viết bằng ngôn ngữ toán học: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Tiên đề của lý thuyết xác suất là quy tắc đơn giản nhất dễ nhớ. Hãy cố gắng giải quyết một số vấn đề, dựa trên kiến thức đã có.
Vé số
Đầu tiên, hãy xem xét ví dụ đơn giản nhất - xổ số. Hãy tưởng tượng rằng bạn đã mua một tờ vé số để cầu may. Xác suất mà bạn sẽ giành được ít nhất hai mươi rúp là gì? Tổng cộng, một nghìn vé tham gia lưu hành, một trong số đó có giải thưởng là năm trăm rúp, mười là một trăm rúp, năm mươi hai mươi rúp và một trăm rúp. Các vấn đề trong lý thuyết xác suất dựa trên việc tìm kiếm khả năngchúc may mắn. Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau phân tích giải pháp của nhiệm vụ đã trình bày ở trên.
Nếu chúng ta ký hiệu bằng chữ A là thắng năm trăm rúp, thì xác suất nhận được A sẽ là 0,001. Làm thế nào chúng ta có được nó? Bạn chỉ cần chia số vé "may mắn" cho tổng số của chúng (trong trường hợp này là: 1/1000).
B là thắng một trăm rúp, xác suất sẽ là 0,01. Bây giờ chúng tôi đã hành động theo nguyên tắc tương tự như trong hành động trước (10/1000)
C - số tiền thắng cược tương đương với hai mươi rúp. Tìm xác suất, nó bằng 0,05.
Phần còn lại của vé không được chúng tôi quan tâm, vì quỹ giải thưởng của chúng ít hơn quỹ được chỉ định trong điều kiện. Hãy áp dụng tiên đề thứ tư: Xác suất trúng ít nhất hai mươi rúp là P (A) + P (B) + P (C). Chữ P biểu thị xác suất xuất hiện của sự kiện này, chúng ta đã tìm thấy chúng ở các bước trước. Nó vẫn chỉ để thêm dữ liệu cần thiết, trong câu trả lời, chúng tôi nhận được 0, 061. Con số này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi của bài tập.
Bộ bài
Các bài toán lý thuyết xác suất có thể phức tạp hơn, ví dụ, hãy thực hiện nhiệm vụ sau. Trước bạn là một bộ bài ba mươi sáu thẻ. Nhiệm vụ của bạn là rút hai thẻ liên tiếp không được trộn lẫn chồng lên nhau, thẻ đầu tiên và thẻ thứ hai phải là quân át, không quan trọng.
Đầu tiên, hãy tìm xác suất để quân bài đầu tiên là quân át chủ bài, với điều này chúng ta chia bốn cho ba mươi sáu. Họ gạt nó sang một bên. Chúng tôi rút ra thẻ thứ hai, nó sẽ là một con át với xác suất ba ba mươi lăm. Xác suất của sự kiện thứ hai phụ thuộc vào thẻ mà chúng tôi rút ra đầu tiên, chúng tôi quan tâm đếnnó có phải là một con át chủ bài hay không. Tiếp theo là sự kiện B phụ thuộc vào sự kiện A.
Bước tiếp theo là tìm xác suất thực hiện đồng thời, nghĩa là chúng ta nhân A và B. Tích của chúng được tìm thấy như sau: xác suất của một sự kiện nhân với xác suất có điều kiện của một sự kiện khác, chúng ta tính, giả sử rằng sự kiện đầu tiên đã xảy ra, tức là với lá bài đầu tiên, chúng tôi rút ra một con át chủ bài.
Để làm cho mọi thứ rõ ràng, hãy đặt tên cho một phần tử như là xác suất có điều kiện của một sự kiện. Nó được tính toán giả sử rằng sự kiện A đã xảy ra. Được tính như sau: P (B / A).
Tiếp tục giải bài toán của chúng ta: P (AB)=P (A)P (B / A) hoặc P (AB)=P (B)P (A / B). Xác suất là (4/36)((3/35) / (4/36). Tính bằng cách làm tròn đến hàng trăm. Ta có: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Xác suất để chúng ta rút được hai con át chủ bài liên tiếp là chín phần trăm. Giá trị rất nhỏ nên xác suất xảy ra sự kiện là cực kỳ nhỏ.
Quên số
Chúng tôi đề xuất phân tích thêm một vài lựa chọn cho các nhiệm vụ được nghiên cứu bằng lý thuyết xác suất. Bạn đã xem các ví dụ về cách giải một số trong bài viết này, hãy thử giải bài toán sau: cậu bé quên chữ số cuối trong số điện thoại của bạn mình, nhưng vì cuộc gọi rất quan trọng nên cậu bắt đầu quay lại tất cả mọi thứ. Chúng ta cần tính xác suất để anh ta gọi không quá ba lần. Giải pháp cho vấn đề này là đơn giản nhất nếu biết các quy tắc, định luật và tiên đề của lý thuyết xác suất.
Trước khi xemgiải pháp, cố gắng giải quyết nó cho mình. Chúng ta biết rằng chữ số cuối cùng có thể từ 0 đến 9, tức là tổng cộng có mười giá trị. Xác suất lấy đúng là 1/10.
Tiếp theo, chúng ta cần xem xét các phương án về nguồn gốc của sự kiện, giả sử cậu bé đoán đúng và ghi bàn đúng ngay lập tức thì xác suất xảy ra sự kiện đó là 1/10. Tùy chọn thứ hai: cuộc gọi đầu tiên là bỏ lỡ, và cuộc gọi thứ hai là đúng mục tiêu. Ta tính xác suất của một biến cố như vậy: nhân 9/10 với 1/9, kết quả là ta cũng được 1/10. Lựa chọn thứ ba: cuộc gọi thứ nhất và thứ hai hóa ra không đúng địa chỉ, chỉ từ cuộc gọi thứ ba, cậu bé mới đến được nơi mình muốn. Chúng tôi tính xác suất của một sự kiện như vậy: chúng tôi nhân 9/10 với 8/9 và với 1/8, chúng tôi nhận được kết quả là 1/10. Theo điều kiện của bài toán, chúng tôi không quan tâm đến các phương án khác nên vẫn để chúng tôi cộng lại kết quả, kết quả là chúng tôi có 3/10. Trả lời: Xác suất cậu bé gọi không quá ba lần là 0,3.
Thẻ có số
Trước mặt bạn có chín thẻ, trên mỗi thẻ có ghi một số từ một đến chín, các số này không được lặp lại. Chúng được đặt trong một hộp và trộn đều. Bạn cần tính xác suất để
- một số chẵn sẽ xuất hiện;
- hai chữ số.
Trước khi tiếp tục giải pháp, hãy quy định rằng m là số trường hợp thành công và n là tổng số phương án. Tìm xác suất để số đó là số chẵn. Sẽ không khó để tính toán rằng có bốn số chẵn, đây sẽ là m của chúng ta, tổng cộng có chín lựa chọn, tức là m=9. Sau đó, xác suấtbằng 0, 44 hoặc 4 / 9.
Hãy xem xét trường hợp thứ hai: số lựa chọn là chín, và không thể có kết quả thành công nào cả, nghĩa là m bằng không. Xác suất để thẻ được rút ra chứa một số có hai chữ số cũng bằng 0.
