Để tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên và các biến của chúng, cần phải nghiên cứu tất cả các đặc điểm của lĩnh vực kiến thức này. Có một số phương pháp khác nhau để tìm các giá trị được đề cập, bao gồm thay đổi một biến và tạo một thời điểm. Phân phối là một khái niệm dựa trên các yếu tố như phân tán, các biến thể. Tuy nhiên, chúng chỉ đặc trưng cho mức độ của biên độ tán xạ.
Các hàm quan trọng hơn của biến ngẫu nhiên là những hàm có liên quan và độc lập, đồng thời được phân phối đồng đều. Ví dụ, nếu X1 là trọng lượng của một cá thể được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể nam, X2 là trọng lượng của một người khác,… và Xn là trọng lượng của một người nữa từ quần thể nam, thì chúng ta cần biết hàm ngẫu nhiên như thế nào. X được phân phối. Trong trường hợp này, định lý cổ điển được gọi là định lý giới hạn trung tâm được áp dụng. Nó cho phép bạn chỉ ra rằng đối với n lớn, hàm tuân theo các phân phối chuẩn.
Các hàm của một biến ngẫu nhiên
Định lý Giới hạn Trung tâm dùng để tính gần đúng các giá trị rời rạc đang được xem xét như nhị thức và Poisson. Trước hết, hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên được xem xét trên các giá trị đơn giản của một biến. Ví dụ, nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối xác suất riêng của nó. Trong trường hợp này, chúng ta tìm hiểu cách tìm hàm mật độ của Y bằng hai cách tiếp cận khác nhau, đó là phương pháp hàm phân phối và biến số thay đổi. Đầu tiên, chỉ các giá trị một-một mới được xem xét. Sau đó, bạn cần sửa đổi kỹ thuật thay đổi biến để tìm xác suất của nó. Cuối cùng, chúng ta cần tìm hiểu cách hàm phân phối tích lũy nghịch đảo có thể giúp lập mô hình các số ngẫu nhiên tuân theo các mẫu tuần tự nhất định.
Phương pháp phân phối các giá trị được xem xét
Có thể áp dụng phương pháp hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên để tìm mật độ của nó. Khi sử dụng phương pháp này, một giá trị tích lũy được tính toán. Sau đó, bằng cách phân biệt nó, bạn có thể nhận được mật độ xác suất. Bây giờ chúng ta đã có phương thức hàm phân phối, chúng ta có thể xem thêm một vài ví dụ. Gọi X là một biến ngẫu nhiên liên tục với mật độ xác suất nhất định.
Hàm mật độ xác suất của x2 là gì? Nếu bạn nhìn vào hoặc vẽ đồ thị của hàm số (trên cùng và bên phải) y \u003d x2, bạn có thể nhận thấy rằng đó là một X đang tăng và 0 <y<1. Bây giờ bạn cần sử dụng phương pháp đã xét để tìm Y. Đầu tiên, hàm phân phối tích lũy được tìm thấy, bạn chỉ cần phân biệt để có được mật độ xác suất. Làm như vậy, chúng tôi nhận được: 0<y<1. Phương pháp phân phối đã được thực hiện thành công để tìm Y khi Y là một hàm tăng của X. Nhân tiện, f (y) tích phân thành 1 trên y.
Trong ví dụ trước, cẩn thận đã được sử dụng để lập chỉ mục các hàm tích lũy và mật độ xác suất với X hoặc Y để cho biết chúng thuộc về biến ngẫu nhiên nào. Ví dụ: khi tìm hàm phân phối tích lũy của Y, chúng ta nhận được X. Nếu bạn cần tìm một biến ngẫu nhiên X và mật độ của nó, thì bạn chỉ cần phân biệt nó.
Kỹ thuật Biến đổi
Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục được cho bởi hàm phân phối với mẫu số chung f (x). Trong trường hợp này, nếu bạn đặt giá trị của y trong X=v (Y), thì bạn sẽ nhận được giá trị của x, ví dụ v (y). Bây giờ, chúng ta cần lấy hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục Y. Trong đó đẳng thức thứ nhất và thứ hai diễn ra từ định nghĩa của tích lũy Y. Đẳng thức thứ ba được giữ vì phần của hàm mà u (X) ≦ y là cũng đúng rằng X ≦ v (Y). Và điều cuối cùng được thực hiện để xác định xác suất trong một biến ngẫu nhiên liên tục X. Bây giờ chúng ta cần lấy đạo hàm của FY (y), hàm phân phối tích lũy của Y, để có được mật độ xác suất Y.
Tổng quát cho hàm giảm
Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục với f (x) chung được xác định trên c1<x<c2. Và cho Y=u (X) là một hàm giảm của X với nghịch đảo X=v (Y). Vì hàm liên tục và giảm dần nên có hàm ngược X=v (Y).
Để giải quyết vấn đề này, bạn có thể thu thập dữ liệu định lượng và sử dụng hàm phân phối tích lũy theo kinh nghiệm. Với thông tin này và hấp dẫn với nó, bạn cần kết hợp các mẫu phương tiện, độ lệch chuẩn, dữ liệu phương tiện, v.v.
Tương tự, ngay cả một mô hình xác suất khá đơn giản cũng có thể có một số lượng lớn kết quả. Ví dụ, nếu bạn lật một đồng xu 332 lần. Sau đó, số lượng kết quả thu được từ các lần lật lớn hơn của google (10100) - một con số, nhưng cao hơn không dưới 100 nghìn tỷ lần so với các hạt cơ bản trong vũ trụ đã biết. Không quan tâm đến một phân tích đưa ra câu trả lời cho mọi kết quả có thể xảy ra. Sẽ cần một khái niệm đơn giản hơn, chẳng hạn như số lượng đầu, hoặc nét dài nhất của các đuôi. Để tập trung vào các vấn đề quan tâm, một kết quả cụ thể được chấp nhận. Định nghĩa trong trường hợp này như sau: một biến ngẫu nhiên là một hàm thực với không gian xác suất.
Phạm vi S của một biến ngẫu nhiên đôi khi được gọi là không gian trạng thái. Do đó, nếu X là giá trị được đề cập, thì N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, v.v. Số cuối cùng trong số này, làm tròn X đến số nguyên gần nhất, được gọi là hàm sàn.
Chức năng phân phối
Khi hàm phân phối quan tâm của một biến ngẫu nhiên x được xác định, câu hỏi thường trở thành: "Khả năng X rơi vào một tập con nào đó của giá trị B là bao nhiêu?". Ví dụ: B={số lẻ}, B={lớn hơn 1} hoặc B={từ 2 đến 7} để cho biết những kết quả có X, giá trịbiến ngẫu nhiên, trong tập con A. Do đó, trong ví dụ trên, bạn có thể mô tả các sự kiện như sau.
{X là số lẻ}, {X lớn hơn 1}={X> 1}, {X nằm trong khoảng từ 2 đến 7}={2 <X <7} để khớp với ba tùy chọn ở trên cho tập con B. Nhiều thuộc tính của đại lượng ngẫu nhiên không liên quan đến một X. Thay vào đó, chúng phụ thuộc vào cách X phân bổ các giá trị của nó. Điều này dẫn đến một định nghĩa nghe có vẻ như sau: hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên x là tích lũy và được xác định bởi các quan sát định lượng.
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Như vậy, bạn có thể tính xác suất để hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên x sẽ nhận các giá trị trong khoảng bằng phép trừ. Hãy nghĩ đến việc bao gồm hoặc loại trừ các điểm cuối.
Chúng ta sẽ gọi một biến ngẫu nhiên là rời rạc nếu nó có không gian trạng thái hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Do đó, X là số mặt đầu trên ba lần lật độc lập của đồng xu có xu hướng đi lên với xác suất p. Chúng ta cần tìm hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên rời rạc FX cho X. Gọi X là số đỉnh trong bộ ba thẻ. Khi đó Y=X3 qua FX. FX bắt đầu từ 0, kết thúc ở 1 và không giảm khi giá trị x tăng lên. Hàm phân phối FX tích lũy của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là hằng số, ngoại trừ các bước nhảy. Khi nhảy FX liên tục. Chứng minh phát biểu về điều đúngtính liên tục của hàm phân phối từ đặc tính xác suất là có thể sử dụng định nghĩa. Nghe có vẻ như thế này: một biến ngẫu nhiên không đổi có FX tích lũy có thể phân biệt được.
Để cho thấy điều này có thể xảy ra như thế nào, chúng ta có thể đưa ra một ví dụ: một mục tiêu có bán kính đơn vị. Có lẽ là vậy. phi tiêu được phân bố đều trên khu vực xác định. Đối với một số λ> 0. Như vậy, các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên liên tục tăng thuận lợi. FX có các thuộc tính của một hàm phân phối.
Một người đàn ông đợi ở trạm xe buýt cho đến khi xe buýt đến. Đã quyết định cho bản thân rằng anh ấy sẽ từ chối khi chờ đợi đến 20 phút. Ở đây, cần tìm hàm phân phối tích lũy cho T. Thời điểm mà một người vẫn ở bến xe hoặc sẽ không rời đi. Mặc dù thực tế là hàm phân phối tích lũy được xác định cho mỗi biến ngẫu nhiên. Tương tự, các đặc điểm khác sẽ được sử dụng khá thường xuyên: khối lượng cho một biến rời rạc và hàm mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên. Thông thường giá trị được xuất thông qua một trong hai giá trị này.
Chức năng hàng loạt
Các giá trị này được xem xét bởi các thuộc tính sau, có đặc tính chung (khối lượng). Đầu tiên là dựa trên thực tế là các xác suất không âm. Điều thứ hai tiếp theo là từ quan sát rằng tập hợp với mọi x=2S, không gian trạng thái cho X, tạo thành một phân hoạch của tự do xác suất của X. Ví dụ: tung đồng xu thiên vị có kết quả là độc lập. Bạn có thể tiếp tục làmmột số hành động nhất định cho đến khi bạn nhận được một cái đầu. Gọi X biểu thị một biến ngẫu nhiên cho số lượng đuôi đứng trước đầu đầu tiên. Và p biểu thị xác suất trong bất kỳ hành động nhất định nào.
Vì vậy, hàm xác suất khối lượng có các tính năng đặc trưng sau. Vì các số hạng tạo thành một dãy số nên X được gọi là biến ngẫu nhiên hình học. Lược đồ hình học c, cr, cr2,.,,, crn có một tổng. Và do đó, sn có giới hạn là n 1. Trong trường hợp này, tổng vô hạn là giới hạn.
Hàm khối lượng ở trên tạo thành một dãy hình học với tỉ lệ. Do đó, các số tự nhiên a và b. Sự khác biệt về các giá trị trong hàm phân phối bằng giá trị của hàm khối lượng.
Các giá trị mật độ đang xét có định nghĩa: X là biến ngẫu nhiên có phân phối FX có đạo hàm. FX thỏa mãn Z xFX (x)=fX (t) dt-1 được gọi là hàm mật độ xác suất. Và X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. Trong định lý cơ bản của giải tích, hàm mật độ là đạo hàm của phân phối. Bạn có thể tính toán xác suất bằng cách tính các tích phân xác định.
Vì dữ liệu được thu thập từ nhiều lần quan sát, nhiều hơn một biến ngẫu nhiên tại một thời điểm phải được xem xét để mô hình hóa các quy trình thử nghiệm. Do đó, tập hợp các giá trị này và phân phối chung của chúng cho hai biến X1 và X2 có nghĩa là xem các sự kiện. Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, các hàm khối lượng xác suất chung được xác định. Đối với những cái liên tục, fX1, X2 được xem xét, trong đómật độ xác suất khớp được thỏa mãn.
Biến ngẫu nhiên độc lập
Hai biến ngẫu nhiên X1 và X2 là độc lập nếu bất kỳ hai sự kiện nào liên quan đến chúng đều giống nhau. Nói cách khác, xác suất để hai biến cố {X1 2 B1} và {X2 2 B2} xảy ra đồng thời, y, bằng tích của các biến ở trên, mà mỗi biến trong số chúng xảy ra riêng lẻ. Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập, có một hàm khối lượng xác suất chung, là tích số của khối lượng ion giới hạn. Đối với các biến ngẫu nhiên liên tục độc lập, hàm mật độ xác suất khớp là tích của các giá trị mật độ biên. Cuối cùng, chúng ta xem xét n quan sát độc lập x1, x2,.,,, xn phát sinh từ một hàm mật độ hoặc khối lượng chưa biết f. Ví dụ: một tham số không xác định trong các hàm cho biến ngẫu nhiên hàm mũ mô tả thời gian chờ xe buýt.
Bắt chước biến ngẫu nhiên
Mục tiêu chính của lĩnh vực lý thuyết này là cung cấp các công cụ cần thiết để phát triển các quy trình suy luận dựa trên các nguyên tắc khoa học thống kê đúng đắn. Do đó, một trường hợp sử dụng rất quan trọng đối với phần mềm là khả năng tạo dữ liệu giả để bắt chước thông tin thực tế. Điều này giúp bạn có thể kiểm tra và cải tiến các phương pháp phân tích trước khi phải sử dụng chúng trong cơ sở dữ liệu thực. Điều này là bắt buộc để khám phá các thuộc tính của dữ liệu thông qualàm mẫu. Đối với nhiều họ biến ngẫu nhiên được sử dụng phổ biến, R cung cấp các lệnh để tạo ra chúng. Đối với các trường hợp khác, sẽ cần các phương pháp lập mô hình chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chung.
Biến ngẫu nhiên rời rạc và mẫu lệnh. Lệnh mẫu được sử dụng để tạo các mẫu ngẫu nhiên đơn giản và phân tầng. Kết quả là, nếu một chuỗi x được nhập, mẫu (x, 40) chọn 40 bản ghi từ x sao cho tất cả các lựa chọn có kích thước 40 đều có cùng xác suất. Điều này sử dụng lệnh R mặc định để tìm nạp mà không cần thay thế. Cũng có thể được sử dụng để mô hình hóa các biến ngẫu nhiên rời rạc. Để làm điều này, bạn cần cung cấp một không gian trạng thái trong vectơ x và hàm khối lượng f. Lời gọi thay thế=TRUE chỉ ra rằng lấy mẫu xảy ra với sự thay thế. Sau đó, để cung cấp một mẫu gồm n biến ngẫu nhiên độc lập có hàm khối lượng chung f, mẫu (x, n, thay thế=TRUE, prob=f) được sử dụng.
Xác định rằng 1 là giá trị nhỏ nhất được biểu diễn và 4 là giá trị lớn nhất. Nếu lệnh prob=f bị bỏ qua, thì mẫu sẽ lấy mẫu đồng nhất từ các giá trị trong vectơ x. Bạn có thể kiểm tra mô phỏng so với hàm khối lượng đã tạo ra dữ liệu bằng cách nhìn vào dấu bằng kép,==. Và tính toán lại các quan sát nhận mọi giá trị có thể cho x. Bạn có thể làm một cái bàn. Lặp lại điều này cho 1000 và so sánh mô phỏng với hàm khối lượng tương ứng.
Minh họa về phép biến đổi xác suất
Đầu tiênmô phỏng hàm phân phối thuần nhất của các biến ngẫu nhiên u1, u2,.,,, un trên khoảng [0, 1]. Khoảng 10% các số phải nằm trong [0, 3, 0, 4]. Điều này tương ứng với 10% mô phỏng trong khoảng [0, 28, 0, 38] cho một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối FX được hiển thị. Tương tự, khoảng 10% số ngẫu nhiên phải nằm trong khoảng [0, 7, 0, 8]. Điều này tương ứng với 10% mô phỏng trên khoảng [0, 96, 1, 51] của biến ngẫu nhiên với hàm phân phối FX. Các giá trị này trên trục x có thể nhận được bằng cách lấy nghịch đảo từ FX. Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục có mật độ fX dương ở mọi nơi trong miền của nó, thì hàm phân phối đang tăng nghiêm ngặt. Trong trường hợp này, FX có một hàm FX-1 nghịch đảo được gọi là hàm lượng tử. FX (x) u chỉ khi x FX-1 (u). Phép biến đổi xác suất xảy ra sau khi phân tích biến ngẫu nhiên U=FX (X).
FX có phạm vi từ 0 đến 1. Nó không được dưới 0 hoặc trên 1. Đối với các giá trị của u từ 0 đến 1. Nếu U có thể được mô phỏng, thì một biến ngẫu nhiên có phân phối FX cần phải là được mô phỏng thông qua một hàm lượng tử. Lấy đạo hàm để thấy rằng mật độ u thay đổi trong khoảng 1. Vì biến ngẫu nhiên U có mật độ không đổi trên khoảng các giá trị có thể của nó nên nó được gọi là đồng biến trên khoảng [0, 1]. Nó được mô hình hóa trong R bằng lệnh runif. Nhận dạng được gọi là một phép biến đổi theo xác suất. Bạn có thể xem nó hoạt động như thế nào trong ví dụ bảng phi tiêu. X từ 0 đến 1, hàmphân phối u=FX (x)=x2, và do đó hàm lượng tử x=FX-1 (u). Có thể lập mô hình các quan sát độc lập về khoảng cách từ tâm của bảng phi tiêu, và do đó tạo ra các biến ngẫu nhiên đồng nhất U1, U2,.,, Un. Hàm phân phối và hàm thực nghiệm dựa trên 100 mô phỏng về sự phân bố của bảng phi tiêu. Đối với biến ngẫu nhiên hàm mũ, có lẽ u=FX (x)=1 - exp (- x) và do đó x=- 1 ln (1 - u). Đôi khi logic bao gồm các câu lệnh tương đương. Trong trường hợp này, bạn cần nối hai phần của đối số. Nhận dạng giao điểm là tương tự cho tất cả 2 {S i i} S, thay vì một số giá trị. Liên hiệp Ci bằng không gian trạng thái S và mỗi cặp là loại trừ lẫn nhau. Vì Bi - được chia thành ba tiên đề. Mỗi lần kiểm tra dựa trên xác suất tương ứng P. Đối với bất kỳ tập hợp con nào. Sử dụng danh tính để đảm bảo câu trả lời không phụ thuộc vào việc có bao gồm các điểm cuối khoảng thời gian hay không.
Hàm mũ và các biến của nó
Đối với mỗi kết quả trong tất cả các sự kiện, thuộc tính thứ hai về tính liên tục của xác suất cuối cùng được sử dụng, được coi là tiên đề. Quy luật phân phối của hàm của một biến ngẫu nhiên ở đây cho thấy rằng mỗi biến đều có lời giải và câu trả lời riêng.
