Ngay cả ở trường, tất cả học sinh đều được làm quen với khái niệm "Hình học Euclid", các quy định chính của chúng tập trung vào một số tiên đề dựa trên các yếu tố hình học như điểm, mặt phẳng, đường thẳng, chuyển động. Tất cả chúng cùng nhau tạo thành thứ mà từ lâu đã được biết đến với thuật ngữ "không gian Euclide".
Không gian Euclide, có định nghĩa dựa trên khái niệm phép nhân vô hướng của vectơ, là một trường hợp đặc biệt của không gian tuyến tính (affine) thỏa mãn một số yêu cầu. Đầu tiên, tích vô hướng của vectơ là đối xứng tuyệt đối, tức là vectơ có tọa độ (x; y) đồng nhất về mặt định lượng với vectơ có tọa độ (y; x), nhưng ngược hướng.
Thứ hai, nếu tích vô hướng của một vectơ với chính nó được thực hiện, thì kết quả của hành động này sẽ là dương. Ngoại lệ duy nhất sẽ là trường hợp khi tọa độ ban đầu và cuối cùng của vectơ này bằng 0: trong trường hợp này, tích của nó với chính nó cũng sẽ bằng không.
Thứ ba, tích vô hướng có phân phối, nghĩa là có thể phân tích một trong các tọa độ của nó thành tổng của hai giá trị, điều này sẽ không kéo theo bất kỳ thay đổi nào trong kết quả cuối cùng của phép nhân vô hướng các vectơ. Cuối cùng, thứ tư, khi các vectơ được nhân với cùng một số thực, tích vô hướng của chúng cũng sẽ tăng theo cùng một hệ số.
Nếu tất cả bốn điều kiện này được đáp ứng, chúng ta có thể tự tin nói rằng chúng ta có một không gian Euclid.
Không gian Euclide theo quan điểm thực tế có thể được đặc trưng bởi các ví dụ cụ thể sau:
- Trường hợp đơn giản nhất là sự hiện diện của một tập các vectơ với tích vô hướng được xác định theo các định luật cơ bản của hình học.
- Không gian Euclide cũng sẽ nhận được nếu theo vectơ, chúng ta có nghĩa là một tập hợp hữu hạn các số thực có công thức cho trước mô tả tổng hoặc tích vô hướng của chúng.
- Một trường hợp đặc biệt của không gian Euclide là cái gọi là không gian 0, nhận được nếu độ dài vô hướng của cả hai vectơ đều bằng 0.
Không gian Euclide có một số thuộc tính cụ thể. Thứ nhất, thừa số vô hướng có thể được lấy ra khỏi dấu ngoặc cả từ nhân tố thứ nhất và thứ hai của tích vô hướng, kết quả từ điều này sẽ không thay đổi theo bất kỳ cách nào. Thứ hai, cùng với sự phân bố của phần tử đầu tiên của vô hướngsản phẩm, sự phân bố của phần tử thứ hai cũng tác động. Ngoài ra, ngoài tổng vô hướng của vectơ, phân phối còn diễn ra trong trường hợp trừ vectơ. Cuối cùng, thứ ba, khi một vectơ được nhân theo tỷ lệ với 0, kết quả cũng sẽ là 0.
Vì vậy, không gian Euclide là khái niệm hình học quan trọng nhất được sử dụng để giải các bài toán về sự sắp xếp tương hỗ của các vectơ so với nhau, được đặc trưng bởi một khái niệm như là tích vô hướng.
