Khả năng tính toán thể tích của các hình trong không gian rất quan trọng trong việc giải quyết một số vấn đề thực tế về hình học. Một trong những hình dạng phổ biến nhất là kim tự tháp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các công thức về thể tích của hình chóp, cả dạng đầy đủ và dạng cắt ngắn.
Kim tự tháp như một hình ba chiều
Mọi người đều biết về các kim tự tháp Ai Cập, vì vậy họ có một ý tưởng tốt về những gì con số sẽ được thảo luận. Tuy nhiên, các công trình kiến trúc bằng đá của Ai Cập chỉ là một trường hợp đặc biệt của một loại kim tự tháp khổng lồ.
Đối tượng hình học được xét trong trường hợp tổng quát là một cơ sở đa giác, mỗi đỉnh của chúng được nối với một điểm nào đó trong không gian không thuộc mặt phẳng cơ sở. Định nghĩa này dẫn đến một hình bao gồm một n-gon và n hình tam giác.
Hình chóp bất kỳ bao gồm n + 1 mặt, 2n cạnh và n + 1 đỉnh. Vì hình đang xét là một hình đa diện hoàn hảo nên số phần tử được đánh dấu tuân theo đẳng thức Euler:
2n=(n + 1) + (n + 1) - 2.
Đa giác ở đáy là tên của kim tự tháp,ví dụ: tam giác, ngũ giác, v.v. Hình dưới đây cho thấy một tập hợp các kim tự tháp với các đáy khác nhau.
Điểm có n tam giác của hình bên được gọi là đỉnh của hình chóp. Nếu một đường vuông góc được hạ thấp từ nó xuống đáy và nó cắt nó ở tâm hình học, thì một hình như vậy sẽ được gọi là một đường thẳng. Nếu điều kiện này không được đáp ứng, thì sẽ có một hình chóp nghiêng.
Một hình thẳng có đáy được tạo thành bởi một n-gon đều (tương đương) được gọi là hình đều.
Công thức thể tích kim tự tháp
Để tính thể tích của hình chóp, ta sử dụng phép tính tích phân. Để làm điều này, chúng ta chia hình bằng các mặt phẳng song song với mặt đáy thành vô số lớp mỏng. Hình bên dưới cho thấy một hình chóp tứ giác có chiều cao h và chiều dài cạnh bên L, trong đó một lớp mỏng của mặt cắt được đánh dấu bằng một hình tứ giác.
Diện tích của mỗi lớp như vậy có thể được tính bằng công thức:
A (z)=A0 (h-z)2/ h2.
Ở đây A0là diện tích của cơ sở, z là giá trị của tọa độ dọc. Có thể thấy rằng nếu z=0 thì công thức cho giá trị A0.
Để có công thức về thể tích của một hình chóp, bạn phải tính tích phân trên toàn bộ chiều cao của hình đó, đó là:
V=∫h0(A (z)dz).
Thay sự phụ thuộc A (z) và tính đạo hàm, ta được biểu thức:
V=-A0 (h-z)3/ (3h2) |h0=1/3A0 h.
Chúng tôi đã có công thức cho thể tích của hình chóp. Để tìm giá trị của V, chỉ cần nhân chiều cao của hình với diện tích của / u200b / u200b, rồi chia kết quả cho ba.
Lưu ý rằng biểu thức kết quả có giá trị để tính thể tích của một hình chóp có kiểu tùy ý. Nghĩa là, nó có thể nghiêng và cơ sở của nó có thể là một n-gon tùy ý.
Kim tự tháp chính xác và thể tích của nó
Công thức tổng quát về thể tích thu được trong đoạn trên có thể được tinh chỉnh trong trường hợp hình chóp có đáy chính xác. Diện tích của một cơ sở như vậy được tính theo công thức sau:
A0=n / 4L2 ctg (pi / n).
Ở đây L là độ dài cạnh của một đa giác đều có n đỉnh. Ký hiệu pi là số pi.
Thay biểu thức A0vào công thức tổng quát, ta được thể tích của một hình chóp đều:
V=1/3n / 4L2 hctg (pi / n)=n / 12L2 hctg (pi / n).
Ví dụ: đối với một kim tự tháp tam giác, công thức này dẫn đến biểu thức sau:
V3=3/12L2 hctg (60o)=√3 / 12L2 h.
Đối với hình chóp tứ giác đều, công thức thể tích trở thành:
V4=4/12L2 hctg (45o)=1/3L2 h.
Việc xác định thể tích của hình chóp đều đòi hỏi phải biết cạnh của đáy và chiều cao của hình.
Kim tự tháp cắt ngắn
Giả sử chúng tôi lấymột hình chóp tùy ý và cắt bỏ một phần mặt bên của nó có chứa đỉnh. Hình còn lại gọi là hình chóp cụt. Nó đã bao gồm hai cơ sở n-gonal và n hình thang nối chúng. Nếu mặt phẳng cắt song song với đáy của hình bên thì một hình chóp cụt được tạo thành với các đáy tương tự song song. Có nghĩa là, độ dài của các cạnh của một trong số chúng có thể nhận được bằng cách nhân độ dài của cạnh kia với một số hệ số k.
Hình trên cho thấy một kim tự tháp lục giác đều bị cắt ngắn. Có thể thấy rằng phần đế trên của nó, giống như phần dưới, được tạo thành bởi một hình lục giác đều.
Công thức tính thể tích của một hình chóp cụt, có thể suy ra bằng phép tính tích phân tương tự như công thức đã cho, là:
V=1/3h(A0+ A1+ √ (A0 A1)).
Trong đó A0và A1lần lượt là diện tích của đáy dưới (lớn) và trên (nhỏ). Biến h là chiều cao của hình chóp cụt.
Thể tích của kim tự tháp Cheops
Thật thú vị khi giải bài toán xác định thể tích mà kim tự tháp Ai Cập lớn nhất chứa bên trong.
Năm 1984, các nhà Ai Cập học người Anh Mark Lehner và Jon Goodman đã thiết lập kích thước chính xác của kim tự tháp Cheops. Chiều cao ban đầu của nó là 146,50 mét (hiện tại khoảng 137 mét). Chiều dài trung bình của mỗi bốn cạnh của cấu trúc là 230,363 mét. Đáy của kim tự tháp là hình vuông với độ chính xác cao.
Hãy sử dụng các số liệu đã cho để xác định khối lượng của khối đá khổng lồ này. Vì hình chóp là một tứ giác đều, nên công thức hợp lệ cho nó:
V4=1/3L2 h.
Thay các số, chúng ta nhận được:
V4=1/3(230, 363)2 146, 5 ≈ 2591444 m3.
Thể tích của kim tự tháp Cheops gần 2,6 triệu m3. Để so sánh, chúng tôi lưu ý rằng hồ bơi Olympic có thể tích 2,5 nghìn m3. Tức là, để lấp đầy toàn bộ kim tự tháp Cheops, sẽ cần hơn 1000 hồ trong số này!
