Hàm lượng giác nghịch đảo theo truyền thống thường gây khó khăn cho học sinh. Khả năng tính toán tiếp tuyến cung của một số có thể được yêu cầu trong các tác vụ SỬ DỤNG trong phép đo độ phẳng và phép đo lập thể. Để giải thành công một phương trình và một bài toán với một tham số, bạn phải hiểu các tính chất của hàm tiếp tuyến cung.
Định nghĩa
Cung tiếp tuyến của một số x là một số y có tiếp tuyến là x. Đây là định nghĩa toán học.
Hàm arctangent được viết là y=arctg x.
Tổng quát hơn: y=Carctg (kx + a).
Tính
Để hiểu cách hoạt động của hàm lượng giác nghịch đảo của arctang, trước tiên bạn cần nhớ cách xác định giá trị của tiếp tuyến của một số. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn.
Tiếp tuyến của x là tỉ số giữa sin của x và cosin của x. Nếu biết ít nhất một trong hai đại lượng này, thì môđun của đại lượng thứ hai có thể nhận được từ đồng dạng lượng giác cơ bản:
sin2x + cos2x=1.
Phải thừa nhận là sẽ phải đánh giá để mở khóa mô-đun.
Nếubản thân số đó đã được biết đến, chứ không phải đặc điểm lượng giác của nó, vì vậy trong hầu hết các trường hợp, cần phải ước lượng gần đúng tang của số bằng cách tham khảo bảng Bradis.
Ngoại lệ là những giá trị được gọi là tiêu chuẩn.
Chúng được trình bày trong bảng sau:
Ngoài giá trị trên, bất kỳ giá trị nào thu được từ dữ liệu bằng cách thêm một số có dạng ½πк (к - bất kỳ số nguyên nào, π=3, 14) đều có thể được coi là tiêu chuẩn.
Chính xác điều này cũng đúng với tiếp tuyến cung: hầu hết giá trị gần đúng có thể được nhìn thấy từ bảng, nhưng chỉ một số giá trị được biết chắc chắn:
Trong thực tế, khi giải các bài toán của trường học, thông thường đưa ra câu trả lời dưới dạng biểu thức chứa tiếp tuyến của cung chứ không phải ước lượng gần đúng của nó. Ví dụ: arctg 6, arctg (-¼).
Vẽ biểu đồ
Vì tiếp tuyến có thể nhận bất kỳ giá trị nào, miền của hàm arctang là toàn bộ trục số. Hãy giải thích chi tiết hơn.
Tiếp tuyến giống nhau tương ứng với vô số đối số. Ví dụ, không chỉ tiếp tuyến của 0 bằng 0, mà còn tiếp tuyến của bất kỳ số nào có dạng π k, với k là số nguyên. Do đó, các nhà toán học đã đồng ý chọn các giá trị cho tiếp tuyến của cung trong khoảng từ -½ π đến ½ π. Nó phải được hiểu theo cách này. Khoảng của hàm arctang là khoảng (-½ π; ½ π). Các đầu của khoảng trống không được bao gồm, vì không tồn tại tiếp tuyến -½p và ½p.
Trên khoảng xác định, tiếp tuyến liên tụctăng. Điều này có nghĩa là hàm ngược của cung tiếp tuyến cũng liên tục tăng trên toàn bộ trục số, nhưng bị giới hạn từ trên xuống dưới. Kết quả là, nó có hai dấu ấn nằm ngang: y=-½ π và y=½ π.
Trong trường hợp này, tg 0=0, các giao điểm khác với trục abscissa, ngoại trừ (0; 0), đồ thị không thể có do tăng.
Như sau từ tính chẵn lẻ của hàm tiếp tuyến, hàm arctang có tính chất tương tự.
Để xây dựng một biểu đồ, hãy lấy một số điểm trong số các giá trị tiêu chuẩn:
Đạo hàm của hàm số y=arctg x tại một điểm bất kỳ được tính theo công thức:
Lưu ý rằng đạo hàm của nó là dương ở mọi nơi. Điều này phù hợp với kết luận được đưa ra trước đó về sự gia tăng liên tục của hàm.
Đạo hàm thứ hai của hàm cung biến mất tại điểm 0, là giá trị âm đối với các giá trị dương của đối số và ngược lại.
Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số tiếp tuyến có điểm uốn tại 0 và lồi xuống trên khoảng (-∞; 0] và lồi lên trên khoảng [0; + ∞).
