Giây, tiếp tuyến - tất cả điều này có thể được nghe hàng trăm lần trong các bài học hình học. Nhưng ra trường rồi, năm tháng trôi qua, và tất cả những kiến thức này đều bị lãng quên. Điều gì cần được ghi nhớ?
Cốt
Thuật ngữ "tiếp tuyến với đường tròn" có lẽ đã quá quen thuộc với mọi người. Nhưng không chắc rằng tất cả mọi người sẽ có thể nhanh chóng hình thành định nghĩa của nó. Trong khi đó, một tiếp tuyến là một đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng với một đường tròn mà chỉ cắt nó tại một điểm. Có thể có rất nhiều loại trong số chúng, nhưng chúng đều có các đặc tính giống nhau, sẽ được thảo luận bên dưới. Như bạn có thể đoán, điểm tiếp xúc là nơi mà đường tròn và đường thẳng giao nhau. Trong mỗi trường hợp, nó là một, nhưng nếu có nhiều hơn, thì nó sẽ là một người bảo mật.
Lịch sử khám phá và nghiên cứu
Khái niệm về một tiếp tuyến xuất hiện trong thời cổ đại. Việc xây dựng các đoạn thẳng này, trước tiên là một đường tròn, sau đó đến elip, parabol và hyperbol với sự trợ giúp của thước kẻ và compa, đã được thực hiện ngay cả ở những giai đoạn đầu của sự phát triển của hình học. Tất nhiên, lịch sử đã không lưu lại tên của người phát hiện, nhưngRõ ràng là ngay cả vào thời điểm đó, mọi người đã khá hiểu biết về các tính chất của tiếp tuyến với đường tròn.
Vào thời hiện đại, sự quan tâm đến hiện tượng này lại bùng lên - một vòng nghiên cứu mới về khái niệm này đã bắt đầu, kết hợp với việc khám phá ra những đường cong mới. Vì vậy, Galileo đưa ra khái niệm về một xoáy thuận, và Fermat và Descartes đã xây dựng một tiếp tuyến cho nó. Đối với các vòng tròn, dường như không còn bí mật nào đối với người xưa trong lĩnh vực này.
Thuộc tính
Bán kính được vẽ đến giao điểm sẽ vuông góc với đường thẳng. Đây là
tính chất chính, nhưng không phải là tính chất duy nhất mà một tiếp tuyến của một đường tròn có. Một tính năng quan trọng khác bao gồm hai đường thẳng. Vì vậy, qua một điểm nằm bên ngoài đường tròn, có thể vẽ được hai tiếp tuyến, đồng thời các đoạn của chúng sẽ bằng nhau. Có một định lý khác về chủ đề này, nhưng nó hiếm khi được đề cập trong khuôn khổ của một khóa học chuẩn, mặc dù nó cực kỳ thuận tiện cho việc giải một số bài toán. Nghe có vẻ như thế này. Từ một điểm nằm bên ngoài đường tròn, một tiếp tuyến và một mảnh tiếp tuyến được vẽ đến nó. Các đoạn thẳng AB, AC và AD được tạo thành. A là giao điểm của các đường, B là giao điểm, C và D là giao điểm. Trong trường hợp này, đẳng thức sau sẽ có giá trị: độ dài của tiếp tuyến với đường tròn, bình phương, sẽ bằng tích của các đoạn AC và AD.
Từ trên có một hệ quả quan trọng. Đối với mỗi điểm của đường tròn, bạn có thể dựng một tiếp tuyến, nhưng chỉ một tiếp tuyến. Việc chứng minh điều này khá đơn giản: về mặt lý thuyết thả một góc vuông góc từ bán kính lên nó, chúng tôi phát hiện ra rằngtam giác không thể tồn tại. Và điều này có nghĩa là tiếp tuyến là duy nhất.
Tòa nhà
Trong số các vấn đề khác trong hình học, có một thể loại đặc biệt, như một quy luật, không phải
được các bạn học sinh, sinh viên yêu thích. Để giải quyết các nhiệm vụ từ danh mục này, bạn chỉ cần một chiếc la bàn và một chiếc thước kẻ. Đây là những nhiệm vụ xây dựng. Ngoài ra còn có các phương pháp để xây dựng một tiếp tuyến.
Vì vậy, đã cho một đường tròn và một điểm nằm ngoài ranh giới của nó. Và nó là cần thiết để vẽ một tiếp tuyến qua chúng. Làm thế nào để làm nó? Trước hết, bạn cần vẽ một đoạn giữa tâm của đường tròn O và một điểm cho trước. Sau đó, sử dụng một chiếc la bàn, chia nó làm đôi. Để làm điều này, bạn cần đặt bán kính - hơn một nửa khoảng cách giữa tâm của hình tròn ban đầu và điểm đã cho. Sau đó, bạn cần xây dựng hai cung tròn giao nhau. Hơn nữa, bán kính của la bàn không cần thay đổi, và tâm của mỗi phần của vòng tròn sẽ lần lượt là điểm ban đầu và O. Các giao điểm của các vòng cung phải được kết nối với nhau, điều này sẽ chia đoạn làm đôi. Đặt bán kính trên la bàn bằng khoảng cách này. Tiếp theo, với tâm tại điểm giao nhau, vẽ một vòng tròn khác. Cả điểm ban đầu và điểm O sẽ nằm trên đó, trong trường hợp này sẽ có thêm hai giao điểm với đường tròn đã cho trong bài toán. Chúng sẽ là điểm tiếp xúc cho điểm đã cho ban đầu.
Thú vị
Chính việc xây dựng các tiếp tuyến với đường tròn đã dẫn đến sự ra đời của
phép tính vi phân. Tác phẩm đầu tiên về chủ đề này làdo nhà toán học nổi tiếng người Đức Leibniz xuất bản. Ông cung cấp khả năng tìm cực đại, cực tiểu và tiếp tuyến, bất kể giá trị phân số và vô tỷ. Chà, bây giờ nó cũng được sử dụng cho nhiều phép tính khác.
Bên cạnh đó, tiếp tuyến của đường tròn có liên quan đến ý nghĩa hình học của tiếp tuyến. Đó là nơi mà tên của nó xuất phát. Dịch từ tiếng Latinh, tangens có nghĩa là "tiếp tuyến". Do đó, khái niệm này không chỉ được kết nối với hình học và phép tính vi phân, mà còn với lượng giác.
Hai vòng tròn
Không phải lúc nào một tiếp tuyến cũng chỉ ảnh hưởng đến một hình dạng. Nếu một số lượng lớn các đoạn thẳng có thể được vẽ vào một đường tròn, thì tại sao không phải là ngược lại? Có thể. Nhưng nhiệm vụ trong trường hợp này rất phức tạp, vì tiếp tuyến của hai đường tròn có thể không đi qua bất kỳ điểm nào và vị trí tương đối của tất cả các hình này có thể rất
khác.
Loại và giống
Khi nói đến hai đường tròn và một hoặc nhiều đường thẳng, ngay cả khi người ta biết rằng đây là các tiếp tuyến, thì không thể rõ ngay được vị trí của tất cả các hình này trong mối quan hệ với nhau như thế nào. Dựa trên điều này, có một số giống. Vì vậy, các vòng tròn có thể có một hoặc hai điểm chung hoặc hoàn toàn không có chúng. Trong trường hợp đầu tiên, chúng sẽ giao nhau, và trong trường hợp thứ hai, chúng sẽ chạm vào nhau. Và ở đây có hai giống. Nếu một vòng tròn, giống như nó, được nhúng trong vòng thứ hai, thì phần chạm được gọi là bên trong, nếu không, thì bên ngoài. hiểu nhauVị trí của các hình có thể không chỉ dựa trên hình vẽ, mà còn có thông tin về tổng bán kính của chúng và khoảng cách giữa các tâm của chúng. Nếu hai đại lượng này bằng nhau thì các đường tròn tiếp xúc nhau. Nếu hình đầu tiên lớn hơn, chúng giao nhau và nếu nó nhỏ hơn, thì chúng không có điểm chung.
Đối với các đường thẳng cũng vậy. Đối với bất kỳ hai vòng kết nối nào không có điểm chung, bạn có thể
dựng bốn tiếp tuyến. Hai trong số chúng sẽ giao nhau giữa các hình, chúng được gọi là bên trong. Một số người khác là bên ngoài.
Nếu chúng ta đang nói về các vòng kết nối có một điểm chung, thì nhiệm vụ được đơn giản hóa rất nhiều. Thực tế là đối với bất kỳ sự sắp xếp lẫn nhau nào trong trường hợp này, chúng sẽ chỉ có một tiếp tuyến. Và nó sẽ đi qua điểm giao nhau của chúng. Vì vậy, việc xây dựng khó khăn sẽ không gây ra.
Nếu các hình có hai giao điểm, thì một đường thẳng có thể được dựng cho chúng, tiếp tuyến với đường tròn, cả hình một và hình thứ hai, nhưng chỉ là hình bên ngoài. Giải pháp cho vấn đề này tương tự như những gì sẽ được thảo luận bên dưới.
Giải quyết vấn đề
Tiếp tuyến bên trong và bên ngoài của hai đường tròn đều không dễ xây dựng, mặc dù vấn đề này có thể được giải quyết. Thực tế là một con số phụ được sử dụng cho việc này, vì vậy hãy tự nghĩ ra phương pháp này
khá có vấn đề. Vậy, đã cho hai đường tròn có bán kính và tâm khác nhau O1 và O2. Đối với chúng, bạn cần xây dựng hai cặp tiếp tuyến.
Trước hết, gần trung tâm của lớn hơncác vòng tròn cần được xây dựng phụ trợ. Trong trường hợp này, sự khác biệt giữa bán kính của hai số liệu ban đầu phải được thiết lập trên la bàn. Tiếp tuyến với đường tròn phụ được dựng từ tâm của đường tròn nhỏ hơn. Sau đó, từ O1 và O2, các đường vuông góc được vẽ đến các đường thẳng này cho đến khi chúng cắt nhau với các hình ban đầu. Như sau từ tính chất chính của tiếp tuyến, các điểm mong muốn trên cả hai đường tròn được tìm thấy. Vấn đề đã được giải quyết, ít nhất là phần đầu tiên của nó.
Để tạo tiếp tuyến bên trong, bạn sẽ phải giải thực tế
một nhiệm vụ tương tự. Một lần nữa, một hình phụ là cần thiết, nhưng lần này bán kính của nó sẽ bằng tổng của những hình ban đầu. Các tiếp tuyến được xây dựng với nó từ tâm của một trong các đường tròn đã cho. Quá trình tiếp theo của giải pháp có thể được hiểu từ ví dụ trước.
Tiếp tuyến với một hoặc thậm chí hai hoặc nhiều hơn không phải là một nhiệm vụ khó khăn. Tất nhiên, các nhà toán học từ lâu đã không còn giải quyết những vấn đề như vậy một cách thủ công và tin tưởng các phép tính vào các chương trình đặc biệt. Nhưng bạn đừng nghĩ rằng bây giờ không cần thiết là có thể tự làm được, vì để lập chính xác một nhiệm vụ cho máy tính thì bạn cần phải làm và hiểu rất nhiều. Thật không may, có những lo ngại rằng sau khi chuyển đổi cuối cùng sang hình thức kiểm tra kiểm soát kiến thức, các nhiệm vụ xây dựng sẽ ngày càng gây ra nhiều khó khăn hơn cho học sinh.
Đối với việc tìm tiếp tuyến chung cho nhiều đường tròn hơn, không phải lúc nào cũng khả thi, ngay cả khi chúng nằm trong cùng một mặt phẳng. Nhưng trong một số trường hợp, bạn có thể tìm thấy một đường thẳng như vậy.
Những tấm gương trong cuộc sống
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn thường gặp trong thực tế, mặc dù nó không phải lúc nào cũng đáng chú ý. Băng tải, hệ thống khối, dây đai truyền ròng rọc, lực căng chỉ trong máy khâu và thậm chí chỉ là xích xe đạp - tất cả đều là những ví dụ trong cuộc sống. Vì vậy, đừng nghĩ rằng các bài toán hình học chỉ nằm trong lý thuyết: trong kỹ thuật, vật lý, xây dựng và nhiều lĩnh vực khác, chúng tìm thấy những ứng dụng thực tế.
