Tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Với việc phân chia toán học thành đại số và hình học, tài liệu giáo dục trở nên khó hơn. Các số liệu mới và các trường hợp đặc biệt của chúng xuất hiện. Để hiểu rõ về vật liệu, cần phải nghiên cứu các khái niệm, tính chất của vật thể và các định lý liên quan.

Khái niệm chung

Một hình tứ giác có nghĩa là một hình hình học. Nó bao gồm 4 điểm. Hơn nữa, 3 trong số chúng không nằm trên cùng một đường thẳng. Có các đoạn nối các điểm được chỉ định trong chuỗi.

Tất cả các tứ giác được học trong chương trình hình học ở trường được biểu diễn trong sơ đồ sau. Kết luận: bất kỳ đối tượng nào từ hình được trình bày đều có các thuộc tính của hình trước.

Một tứ giác có thể có các loại sau:

• Hình bình hành. Tính song song của các cạnh đối diện của nó được chứng minh bằng các định lý tương ứng.
• Bẫy. Là tứ giác có các đáy là hình bình hành. Hai bên còn lại thì không.
• Hình chữ nhật. Một hình có tất cả 4 góc=90º.
• Hình thoi. Một hình có tất cả các cạnh bằng nhau.
• Vuông. Kết hợp các thuộc tính của hai hình cuối cùng. Nó có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc đều vuông.

Định nghĩa chính của chủ đề này là một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Nó bao gồm những điều sau đây. Đây là một hình xung quanh đó một vòng tròn được mô tả. Nó phải đi qua tất cả các đỉnh. Các góc trong của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn cộng lại bằng 360º.

Không phải tứ giác nào cũng nội tiếp được. Điều này là do các đường phân giác vuông góc của 4 cạnh có thể không cắt nhau tại một điểm. Điều này sẽ khiến bạn không thể tìm thấy tâm của vòng tròn bao quanh 4 gon.

Trường hợp đặc biệt

Mọi quy tắc đều có ngoại lệ. Vì vậy, trong chủ đề này cũng có những trường hợp đặc biệt:

• Như vậy, một hình bình hành không thể nội tiếp trong một đường tròn. Chỉ có trường hợp đặc biệt của anh ta. Đó là một hình chữ nhật.
• Nếu tất cả các đỉnh của hình thoi đều nằm trên đường giới hạn thì đó là hình vuông.
• Tất cả các đỉnh của hình thang đều nằm trên đường biên của hình tròn. Trong trường hợp này, họ nói về một hình cân bằng.

Tính chất của tứ giác nội tiếp trong đường tròn

Trước khi giải các bài toán đơn giản và phức tạp về một chủ đề nhất định, bạn cần xác minh kiến thức của mình. Nếu không nghiên cứu tài liệu giáo dục, không thể giải quyết một ví dụ duy nhất.

Định lý 1

Tổng các góc đối diện của tứ giác nội tiếp trong đường tròn là 180º.

Bằng chứng

Cho: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tâm của nó là điểm O. Chúng ta cần chứng minh rằng_<A +_<C=180º và_<B +_<D=180º.

Cần xem xét các số liệu đã trình bày.

1. _{<A nội tiếp trong một đường tròn có tâm tại điểm O. Nó được đo qua ½ BCD (nửa cung).}
2. _{<C nội tiếp trong cùng một đường tròn. Nó được đo bằng ½ BAD (nửa cung).}
3. BAD và BCD tạo thành một hình tròn, tức là độ lớn của chúng là 360º.
4. _<A +_{<C bằng một nửa tổng của nửa cung được biểu diễn.}
5. Do đó_<A +_{<C=360º / 2=180º.}

Theo cách tương tự, bằng chứng cho_<B và_{<D. Tuy nhiên, có một giải pháp thứ hai cho vấn đề.}

1. Người ta biết rằng tổng các góc trong của một tứ giác là 360º.
2. Vì_<A +_<C=180º. Theo đó,_<B +_{<D=360º - 180º=180º.}

Định lý 2

(Nó thường được gọi là nghịch đảo) Nếu trong một tứ giác_<A +_<C=180º và_{< B +}<_{D=180º (nếu chúng ngược nhau), thì một hình tròn có thể được mô tả xung quanh một hình như vậy.}

Bằng chứng

Đã cho tổng các góc đối diện của tứ giác ABCD bằng 180º._<A +_<C=180º,_<B + _{<D=180º. Chúng ta cần chứng minh rằng một đường tròn ngoại tiếp ABCD.}

Từ khóa học hình học, người ta biết rằng một đường tròn có thể được vẽ qua 3 điểm của một tứ giác. Ví dụ, bạn có thể sử dụng các điểm A, B, C. Điểm D sẽ nằm ở đâu? Có 3 lần đoán:

1. Cô ấy kết thúc bên trong vòng tròn. Trong trường hợp này, D không chạm vào dòng.
2. Bên ngoài vòng tròn. Cô ấy bước xa hơn những vạch đã vạch sẵn.
3. Hóa ra trên một vòng tròn.

Nên giả sử rằng D nằm bên trong hình tròn. Vị trí của đỉnh được chỉ định bị chiếm bởi D´. Hóa ra tứ giác ABCD´.

Kết quả là:_<B +_<D´=2d.

Nếu ta tiếp tục AD tới giao điểm với đường tròn có tâm tại điểm E và nối E với C, ta được tứ giác ABCE nội tiếp. Từ định lý đầu tiên theo đẳng thức:

Theo định luật hình học, biểu thức không hợp lệ vì_<D´ là góc ngoài của tam giác CD´E. Theo đó, nó phải nhiều hơn_{<E. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng D phải nằm trên đường tròn hoặc bên ngoài nó.}

Tương tự, giả thiết thứ ba có thể được chứng minh là sai khi D´ vượt ra ngoài ranh giới của hình được mô tả.

Từ hai giả thuyết sau giả thuyết duy nhất đúng. Đỉnh D nằm trên đường tròn. Nói cách khác, D trùng với E. Điều đó có nghĩa là tất cả các điểm của tứ giác đều nằm trên đường mô tả.

Từ nhữnghai định lý, hệ quả tuân theo:

Bất kỳ hình chữ nhật nào cũng có thể được nội tiếp trong một hình tròn. Có một hệ quả khác. Một hình tròn có thể được ngoại tiếp xung quanh bất kỳ hình chữ nhật nào

Hình thang có hai hông bằng nhau có thể nội tiếp đường tròn. Nói cách khác, nó giống như thế này: một hình tròn có thể được mô tả xung quanh một hình thang với các cạnh bằng nhau

Vài ví dụ

Bài toán 1. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn._<ABC=105º,_<CAD=35º. Cần tìm_{<ABD. Câu trả lời phải được viết bằng độ.}

Quyết định. Thoạt nghe, có vẻ khó để tìm ra câu trả lời.

1. Bạn cần nhớ các thuộc tính từ chủ đề này. Cụ thể: tổng các góc đối diện=180º.

_<ADC=180º -_{<ABC=180º - 105º=75º}

Trong hình học, tốt hơn hết bạn nên tuân theo nguyên tắc: tìm mọi thứ bạn có thể. Hữu ích sau này.

2. Bước tiếp theo: sử dụng định lý tổng tam giác.

_<ACD=180º -_<CAD -_{<ADC=180º - 35º - 75º=70º}

_<ABD và_{<ACD nội tiếp. Theo điều kiện, họ dựa vào một cung. Theo đó, chúng có giá trị bằng nhau:}

_<ABD=_<ACD=70º

Trả lời:_<ABD=70º.

Bài toán 2. BCDE là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn._<B=69º,_<C=84º. Tâm của đường tròn là điểm E. Tìm -_<E.

Quyết định.

1. Cần tìm_{<E bằng Định lý 1.}

_<E=180º -_{<C=180º - 84º=96º}

Trả lời:_<E=96º.

Bài toán 3. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn. Dữ liệu được hiển thị trong hình. Cần tìm các giá trị x, y, z chưa biết.

Giải pháp:

z=180º - 93º=87º (theo Định lý 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º - 82º=98º (theo Định lý 1)

Đáp án: z=87º, x=82º, y=98º.

Bài toán 4. Có một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn. Các giá trị được hiển thị trong hình. Tìm x, y.

Giải pháp:

x=180º - 80º=100º

y=180º - 71º=109º

Đáp án: x=100º, y=109º.

Vấn đề cho giải pháp độc lập

Ví dụ 1. Cho đường tròn. Tâm của nó là điểm O. AC và BD là đường kính._<ACB=38º. Cần tìm_{<AOD. Câu trả lời phải được tính bằng độ.}

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD và một đường tròn nội tiếp xung quanh._<ABC=110º,_<ABD=70º. Tìm_{<CAD. Viết câu trả lời của bạn theo độ.}

Ví dụ 3. Cho đường tròn và tứ giác nội tiếp ABCD. Hai góc của nó là 82º và58º. Bạn cần tìm góc lớn nhất trong số các góc còn lại và viết câu trả lời theo độ.

Ví dụ 4. Tứ giác ABCD đã cho. Các góc A, B, C được cho theo tỷ lệ 1: 2: 3. Cần phải tìm góc D nếu tứ giác được chỉ định có thể nội tiếp được một đường tròn. Câu trả lời phải được tính bằng độ.

Ví dụ 5. Tứ giác ABCD đã cho. Các mặt của nó tạo thành các cung của đường tròn ngoại tiếp. Giá trị tung độ AB, BC, CD và AD lần lượt là: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Bạn nên tìm_{<từ tứ giác đã cho và viết câu trả lời theo độ.}