Planimetry là một nhánh của hình học nghiên cứu các tính chất của hình phẳng. Chúng không chỉ bao gồm các hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật mà còn cả các đường thẳng và góc. Trong phép đối xứng, cũng có những khái niệm như góc trong một đường tròn: tâm và nội tiếp. Nhưng chúng có nghĩa là gì?
Góc trung tâm là gì?
Để hiểu góc ở tâm là gì, bạn cần xác định một đường tròn. Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm cách đều một điểm đã cho (tâm của đường tròn).
Rất quan trọng để phân biệt nó với một vòng tròn. Cần phải nhớ rằng hình tròn là một đường khép kín, và hình tròn là một phần của mặt phẳng giới hạn bởi nó. Một đa giác hoặc một góc có thể nội tiếp trong một đường tròn.
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn và các cạnh của đường tròn đó cắt tại hai điểm. Cung mà góc giới hạn bởi các điểm giao nhau, được gọi là cung mà góc đã cho nằm trên đó.
Hãy xem xét ví dụ1.
Trong hình, góc AOB là tâm, vì đỉnh của góc và tâm của đường tròn là một điểm O. Nó nằm trên cung AB, không chứa điểm C.
Góc nội tiếp khác góc nội tiếp như thế nào với góc ở giữa?
Tuy nhiên, bên cạnh các tâm còn có các góc nội tiếp. Sự khác biệt của chúng là gì? Cũng giống như góc trung tâm, góc nội tiếp trong một đường tròn nằm trên một cung nào đó. Nhưng đỉnh của nó không trùng với tâm của vòng tròn mà nằm trên đó.
Hãy lấy ví dụ sau.
Góc ACB được gọi là góc nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm C thuộc đường tròn, nằm trên đó. Góc nằm trên dây cung AB.
Góc trung tâm là gì
Để đối phó thành công với các bài toán hình học, phân biệt được góc nội tiếp và góc ở tâm là chưa đủ. Theo quy tắc, để giải chúng, bạn cần biết chính xác cách tìm góc ở tâm trong một đường tròn và có thể tính giá trị của nó theo độ.
Vì vậy, góc trung tâm bằng số đo độ của cung mà nó nằm trên.
Trong hình bên, góc AOB nằm trên dây cung AB bằng 66 °. Vậy góc AOB cũng bằng 66 °.
Vì vậy, các góc ở tâm dựa trên các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Trong hình bên, dây cung DC bằng dây cung AB. Vậy góc AOB bằng góc DOC.
Cách tìm góc nội tiếp
Có vẻ như góc nội tiếp trong đường tròn bằng góc ở tâm,mà dựa trên cùng một cung. Tuy nhiên, đây là một sai lầm thô thiển. Trên thực tế, thậm chí chỉ cần nhìn vào hình vẽ và so sánh các góc này với nhau, bạn có thể thấy rằng số đo độ của chúng sẽ có giá trị khác nhau. Vậy góc nội tiếp trong đường tròn là gì?
Số đo độ của một góc nội tiếp là một nửa cung mà nó nằm trên hoặc một nửa góc ở tâm nếu chúng dựa trên cùng một cung.
Hãy xem xét một ví dụ. Góc ACB dựa trên một cung bằng 66 °.
Vậy góc DIA=66 °: 2=33 °
Hãy xem xét một số hệ quả của định lý này.
- Các góc nội tiếp, nếu chúng dựa trên cùng một cung, hợp âm hoặc các cung bằng nhau, thì bằng nhau.
- Nếu các góc nội tiếp dựa trên cùng một cung, nhưng các đỉnh của chúng nằm trên các cạnh đối diện của nó, thì tổng số đo độ của các góc đó là 180 °, vì trong trường hợp này cả hai góc đều dựa trên cung, tổng số đo độ trong đó là 360 ° (toàn bộ vòng tròn), 360 °: 2=180 °
- Nếu góc nội tiếp dựa trên đường kính của đường tròn đã cho thì số đo độ của nó là 90 °, vì đường kính phụ một cung bằng 180 °, 180 °: 2=90 °
- Nếu góc ở tâm và góc nội tiếp trong một đường tròn dựa trên cùng một dây cung hoặc dây cung thì góc nội tiếp bằng một nửa cung.
Các vấn đề về chủ đề này có thể được tìm thấy ở đâu? Các loại và giải pháp của họ
Vì đường tròn và các tính chất của nó là một trong những phần quan trọng nhất của hình học, nói riêng, góc nội tiếp và góc ở tâm trong đường tròn là một chủ đề được nhiều người quan tâm và chi tiết.đã học trong chương trình giảng dạy của trường. Các tác vụ dành cho thuộc tính của chúng có trong bài kiểm tra trạng thái chính (OGE) và bài kiểm tra trạng thái hợp nhất (USE). Theo quy tắc, để giải quyết những vấn đề này, bạn nên tìm các góc trên đường tròn theo độ.
Góc dựa trên cùng một cung
Loại bài toán này có lẽ là một trong những bài toán dễ nhất, vì để giải nó bạn chỉ cần biết hai tính chất đơn giản: nếu cả hai góc nội tiếp và tựa trên cùng một hợp âm thì chúng bằng nhau, nếu một trong hai góc trung tâm thì góc nội tiếp tương ứng bằng một nửa của nó. Tuy nhiên, khi giải chúng, người ta phải cực kỳ cẩn thận: đôi khi khó nhận thấy tính chất này, và học sinh khi giải những bài toán đơn giản như vậy lại đi vào ngõ cụt. Hãy xem xét một ví dụ.
Vấn đề1
Cho đường tròn có tâm tại điểm O. Góc AOB bằng 54 °. Tìm số đo góc DIA.
Nhiệm vụ này được giải quyết trong một bước. Điều duy nhất bạn cần để nhanh chóng tìm ra câu trả lời là nhận thấy rằng cung mà cả hai góc nghỉ trên đó là một cung chung. Thấy được điều này, bạn có thể áp dụng thuộc tính đã quen thuộc. Góc ACB bằng nửa góc AOB. Vì vậy, 1) AOB=54 °: 2=27 °.
Đáp án: 54 °.
Góc dựa trên các cung khác nhau của cùng một vòng tròn
Đôi khi kích thước của cung mà góc nghỉ yêu cầu không được chỉ định trực tiếp trong các điều kiện của bài toán. Để tính được, bạn cần phân tích độ lớn của các góc này và so sánh chúng với các tính chất đã biết của đường tròn.
Vấn đề 2
Trong đường tròn tâm O, góc AOClà 120 ° và góc AOB là 30 °. Tìm góc BẠN.
Để bắt đầu, điều đáng nói là có thể giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác cân, nhưng điều này sẽ đòi hỏi nhiều phép toán hơn. Do đó, ở đây chúng ta sẽ phân tích lời giải bằng cách sử dụng các tính chất của góc ở tâm và góc nội tiếp trong đường tròn.
Vì vậy, góc AOC nằm trên cung AC và là trung tâm, có nghĩa là cung AC bằng góc AOC.
AC=120 °
Cùng phương, góc AOB nằm trên dây cung AB.
AB=30 °.
Biết điều này và số đo độ của toàn bộ hình tròn (360 °), bạn có thể dễ dàng tìm được độ lớn của cung BC.
BC=360 ° - AC - AB
BC=360 ° - 120 ° - 30 °=210 °
Đỉnh của góc CAB, điểm A, nằm trên đường tròn. Do đó, góc CAB nội tiếp và bằng một nửa cung CB.
góc CAB=210 °: 2=110 °
Đáp án: 110 °
Vấn đề dựa trên tỷ lệ cung
Một số bài toán hoàn toàn không chứa dữ liệu về góc, vì vậy chúng chỉ cần được tìm kiếm dựa trên các định lý và tính chất đã biết của đường tròn.
Vấn đề 1
Tìm góc nội tiếp trong một đường tròn được hỗ trợ bởi một dây cung bằng bán kính của đường tròn đã cho.
Nếu bạn tính nhẩm các đường nối hai đầu của đoạn thẳng với tâm của hình tròn, bạn sẽ có một hình tam giác. Sau khi xem xét nó, bạn có thể thấy rằng những đường thẳng này là bán kính của hình tròn, có nghĩa là tất cả các cạnh của tam giác đều bằng nhau. Chúng ta biết rằng tất cả các góc của một tam giác đềuđều bằng 60 °. Do đó, cung AB chứa đỉnh của tam giác bằng 60 °. Từ đây, chúng ta tìm cung AB, dựa vào đó góc mong muốn.
AB=360 ° - 60 °=300 °
Góc ABC=300 °: 2=150 °
Đáp án: 150 °
Vấn đề 2
Trong một đường tròn có tâm tại điểm O, các cung có liên quan với nhau là 3: 7. Tìm góc nội tiếp nhỏ hơn.
Đối với giải pháp, chúng tôi ký hiệu một phần là X, khi đó một cung tương ứng bằng 3X và cung thứ hai, tương ứng bằng 7X. Biết rằng số đo độ của một đường tròn là 360 °, chúng ta có thể viết một phương trình.
3X + 7X=360 °
10X=360 °
X=36 °
Theo điều kiện, bạn cần tìm một góc nhỏ hơn. Rõ ràng, nếu giá trị của góc tỷ lệ thuận với cung mà nó nằm trên đó, thì góc cần thiết (nhỏ hơn) tương ứng với cung bằng 3X.
Vậy góc nhỏ hơn là (36 °3): 2=108 °: 2=54 °
Đáp án: 54 °
Vấn đề 3
Trong đường tròn có tâm tại điểm O, góc AOB là 60 ° và độ dài của cung nhỏ hơn là 50. Tính độ dài của cung lớn hơn.
Để tính độ dài của cung lớn hơn, bạn cần phải tính tỷ lệ - cung nhỏ hơn có liên quan như thế nào với cung lớn hơn. Để làm điều này, chúng tôi tính độ lớn của cả hai cung theo độ. Cung nhỏ hơn bằng góc nằm trên nó. Thước đo độ của nó là 60 °. Cung lớn hơn bằng chênh lệch giữa số đo độ của hình tròn (nó bằng 360 ° bất kể dữ liệu khác) và cung nhỏ hơn.
Vòng cung lớn là 360 ° - 60 °=300 °.
Vì 300 °: 60 °=5, cung lớn hơn gấp 5 lần cung nhỏ hơn.
Cung lớn=505=250
Trả lời: 250
Vì vậy, tất nhiên, có những người kháccác cách tiếp cận để giải các bài toán tương tự, nhưng tất cả chúng đều dựa trên các tính chất của góc nội tiếp và góc, tam giác và đường tròn. Để giải thành công, bạn cần nghiên cứu kỹ hình vẽ và so sánh với dữ liệu của bài toán, cũng như có thể vận dụng kiến thức lý thuyết của mình vào thực tế.
