Những hình dạng hình học này bao quanh chúng ta ở khắp mọi nơi. Đa giác lồi có thể là tự nhiên, chẳng hạn như tổ ong hoặc nhân tạo (nhân tạo). Những con số này được sử dụng trong sản xuất các loại lớp phủ khác nhau, trong sơn, kiến trúc, đồ trang trí, v.v. Đa giác lồi có tính chất là tất cả các điểm của chúng nằm trên cùng một phía của đường thẳng đi qua một cặp đỉnh kề nhau của hình hình học này. Cũng có những định nghĩa khác. Một đa giác được gọi là lồi nếu nó nằm trong một nửa mặt phẳng duy nhất đối với bất kỳ đường thẳng nào chứa một trong các cạnh của nó.
Đa giác lồi
Trong quá trình hình học sơ cấp, chỉ các đa giác đơn giản luôn được xem xét. Để hiểu tất cả các thuộc tính củahình dạng hình học, nó là cần thiết để hiểu bản chất của chúng. Để bắt đầu, cần hiểu rằng bất kỳ dòng nào được gọi là đóng, các đầu của chúng trùng với nhau. Hơn nữa, hình được tạo bởi nó có thể có nhiều cấu hình khác nhau. Đa giác là một đường đứt gãy đơn giản khép kín, trong đó các liên kết lân cận không nằm trên cùng một đường thẳng. Các liên kết và các đỉnh của nó lần lượt là các cạnh và các đỉnh của hình hình học này. Một đường đa tuyến đơn giản không được có các giao điểm.
Các đỉnh của một đa giác được gọi là liền kề nếu chúng biểu diễn các đầu của một trong các cạnh của nó. Một hình hình học có số đỉnh thứ n và do đó là số cạnh thứ n, được gọi là n-gon. Bản thân đường đứt đoạn được gọi là đường viền hoặc đường bao của hình hình học này. Một mặt phẳng đa giác hoặc một đa giác phẳng được gọi là phần cuối của bất kỳ mặt phẳng nào bị giới hạn bởi nó. Các mặt liền kề của hình hình học này được gọi là các đoạn của một đường đứt đoạn phát ra từ một đỉnh. Chúng sẽ không liền nhau nếu chúng đến từ các đỉnh khác nhau của đa giác.
Các định nghĩa khác về đa giác lồi
Trong hình học sơ cấp, có một số định nghĩa tương đương khác cho biết đa giác nào được gọi là lồi. Tất cả những câu này đều đúng như nhau. Một đa giác được coi là lồi nếu:
• mọi đoạn nối hai điểm bất kỳ bên trong nó đều nằm hoàn toàn bên trong nó;
• bên trong nótất cả các đường chéo của nó đều nằm;
• bất kỳ góc bên trong nào không vượt quá 180 °.
Một đa giác luôn chia một mặt phẳng thành 2 phần. Một trong số chúng bị giới hạn (nó có thể được bao quanh trong một vòng tròn), và cái còn lại là không giới hạn. Vùng đầu tiên được gọi là vùng bên trong và vùng thứ hai là vùng bên ngoài của hình hình học này. Đa giác này là giao tuyến (nói cách khác, là một thành phần chung) của một số nửa mặt phẳng. Hơn nữa, mỗi đoạn có kết thúc tại các điểm thuộc đa giác hoàn toàn thuộc về nó.
Các loại đa giác lồi
Định nghĩa của một đa giác lồi không chỉ ra rằng có nhiều loại đa giác. Và mỗi người trong số họ có những tiêu chí nhất định. Vì vậy, đa giác lồi có góc bên trong là 180 ° được gọi là đa giác lồi yếu. Một hình hình học lồi có ba đỉnh được gọi là tam giác, bốn - tứ giác, năm - ngũ giác, v.v. Mỗi hình trong số n lồi đáp ứng yêu cầu cơ bản sau: n phải bằng hoặc lớn hơn 3. Mỗi hình trong số các tam giác là lồi. Một hình hình học thuộc loại này, trong đó tất cả các đỉnh nằm trên cùng một đường tròn, được gọi là nội tiếp trong một đường tròn. Một đa giác lồi được gọi là nội tiếp nếu tất cả các cạnh của nó gần đường tròn đều tiếp xúc với nó. Hai đa giác được cho là bằng nhau chỉ khi chúng có thể được xếp chồng lên nhau bằng cách chồng chất. Một đa giác phẳng được gọi là một đa giác phẳng.(một phần của mặt phẳng), được giới hạn bởi hình hình học này.
Đa giác lồi đều
Đa giác đều là hình học có các góc và cạnh bằng nhau. Bên trong chúng có một điểm 0, ở cùng một khoảng cách từ mỗi đỉnh của nó. Nó được gọi là tâm của hình hình học này. Các đoạn nối tâm với các đỉnh của hình hình học này được gọi là apothems và những đoạn nối điểm 0 với các cạnh được gọi là bán kính.
Tứ giác đều là hình vuông. Tam giác đều được gọi là tam giác đều. Đối với các hình như vậy, có quy tắc sau: mỗi góc của đa giác lồi là 180 °(n-2) / n, với n là số đỉnh của hình hình học lồi này.
Diện tích của bất kỳ đa giác đều nào được xác định theo công thức:
S=ph, trong đó p là một nửa tổng tất cả các cạnh của đa giác đã cho và h là độ dài của cạnh.
Tính chất của đa giác lồi
Đa giác lồi có một số tính chất nhất định. Vì vậy, một đoạn nối 2 điểm bất kỳ của một hình hình học như vậy nhất thiết phải nằm trong đó. Bằng chứng:
Giả sử P là một đa giác lồi đã cho. Ta lấy 2 điểm tùy ý, ví dụ A, B thuộc P. Theo định nghĩa hiện có về đa giác lồi, các điểm này nằm trên cùng một phía của đoạn thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của P. Do đó, AB cũng có tính chất này và nằm trong P. Một đa giác lồi luôn có thể được chia thành nhiều tam giác bằng tất cả các đường chéo vẽ từ một trong các đỉnh của nó.
Góc của các hình dạng lồi
Các góc của một đa giác lồi là các góc tạo bởi các cạnh của nó. Các góc nội tiếp nằm trong miền trong của một hình hình học cho trước. Góc do các cạnh của nó đồng quy tại một đỉnh được gọi là góc của đa giác lồi. Các góc kề với các góc trong của một hình hình học đã cho được gọi là ngoại tiếp. Mỗi góc của một đa giác lồi nằm bên trong nó là:
180 ° - x, trong đó x là giá trị của góc ngoài. Công thức đơn giản này phù hợp với bất kỳ hình dạng hình học nào thuộc loại này.
Nói chung, đối với các góc bên ngoài có quy tắc sau: mỗi góc của một đa giác lồi bằng hiệu giữa 180 ° và giá trị của góc trong. Nó có thể có các giá trị từ -180 ° đến 180 °. Do đó, khi góc bên trong là 120 °, góc bên ngoài sẽ là 60 °.
Tổng các góc của đa giác lồi
Tổng các góc trong của một đa giác lồi được đặt theo công thức:
180 °(n-2), trong đó n là số đỉnh của n-gon.
Tổng các góc của một đa giác lồi khá dễ tính. Hãy xem xét bất kỳ hình hình học nào như vậy. Để xác định tổng các góc bên trong một đa giác lồi, cầnnối một trong các đỉnh của nó với các đỉnh khác. Kết quả của hành động này là (n-2) hình tam giác. Chúng ta biết rằng tổng các góc của bất kỳ tam giác nào luôn bằng 180 °. Vì số của chúng trong bất kỳ đa giác nào là (n-2) nên tổng các góc bên trong của một hình như vậy là 180 ° x (n-2).
Tổng các góc của một đa giác lồi, cụ thể là hai góc bên trong và góc bên ngoài bất kỳ, đối với một hình hình học lồi cho trước sẽ luôn bằng 180 °. Dựa trên điều này, bạn có thể xác định tổng tất cả các góc của nó:
180 x n.
Tổng các góc bên trong là 180 °(n-2). Dựa trên điều này, tổng của tất cả các góc bên ngoài của hình này được đặt theo công thức:
180 °n-180 ° - (n-2)=360 °.
Tổng các góc bên ngoài của bất kỳ đa giác lồi nào sẽ luôn là 360 ° (bất kể số cạnh).
Góc ngoài của một đa giác lồi thường được biểu thị bằng hiệu giữa 180 ° và giá trị của góc trong.
Các tính chất khác của đa giác lồi
Ngoài các thuộc tính cơ bản của các hình dạng hình học này, chúng còn có những tính chất khác nảy sinh khi thao tác với chúng. Vì vậy, bất kỳ đa giác nào cũng có thể được chia thành một số n-gon lồi. Để làm điều này, cần phải tiếp tục mỗi cạnh của nó và cắt hình hình học này theo các đường thẳng này. Cũng có thể chia bất kỳ đa giác nào thành nhiều phần lồi theo cách sao cho các đỉnh của mỗi phần trùng với tất cả các đỉnh của nó. Từ một hình hình học như vậy, hình tam giác có thể được tạo ra rất đơn giản bằng cách vẽ tất cảđường chéo từ một đỉnh. Do đó, bất kỳ đa giác nào cuối cùng cũng có thể được chia thành một số tam giác nhất định, điều này hóa ra lại rất hữu ích trong việc giải các bài toán khác nhau liên quan đến các hình dạng hình học như vậy.
Chu vi của một đa giác lồi
Các đoạn của một đường đứt đoạn, được gọi là các cạnh của một đa giác, thường được ký hiệu bằng các chữ cái sau: ab, bc, cd, de, ea. Đây là các cạnh của một hình hình học có các đỉnh a, b, c, d, e. Tổng độ dài của tất cả các cạnh của đa giác lồi này được gọi là chu vi của nó.
Chu vi đa giác
Đa giác lồi có thể nội tiếp và ngoại tiếp. Một đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình hình học này được gọi là nội tiếp trong đó. Một đa giác như vậy được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp một đa giác là giao điểm của các đường phân giác của tất cả các góc trong một hình hình học đã cho. Diện tích của một đa giác như vậy là:
S=pr, trong đó r là bán kính của đường tròn nội tiếp và p là bán kính của đa giác đã cho.
Một đường tròn chứa các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp nó. Hơn nữa, hình hình học lồi này được gọi là nội tiếp. Tâm của đường tròn ngoại tiếp một đa giác là giao điểm của các đường trung trực của tất cả các cạnh.
Đường chéo của các hình dạng lồi
Các đường chéo của một đa giác lồi là các đoạnnối các đỉnh không kề nhau. Mỗi người trong số họ nằm bên trong hình hình học này. Số đường chéo của một n-gon như vậy được thiết lập bởi công thức:
N=n (n - 3) / 2.
Số đường chéo của một đa giác lồi đóng một vai trò quan trọng trong hình học sơ cấp. Số tam giác (K) có thể chia mỗi đa giác lồi được tính theo công thức sau:
K=n - 2.
Số đường chéo của một đa giác lồi luôn phụ thuộc vào số đỉnh của nó.
Sự phân rã của một đa giác lồi
Trong một số trường hợp, để giải các bài toán hình học, cần phải tách một đa giác lồi thành một số tam giác có đường chéo không cắt nhau. Vấn đề này có thể được giải quyết bằng cách suy ra một công thức cụ thể.
Định nghĩa của vấn đề: hãy gọi một phân hoạch thích hợp của n-gon lồi thành một số tam giác bằng các đường chéo chỉ cắt nhau tại các đỉnh của hình hình học này.
Giải: Giả sử rằng Р1, Р2, Р3…, Pn là các đỉnh của n-gon này. Số Xn là số phân vùng của nó. Chúng ta hãy xem xét cẩn thận đường chéo thu được của hình hình học Pi Pn. Trong bất kỳ phân hoạch thông thường nào P1 Pn thuộc một tam giác P1 Pi Pn nào đó, có 1<i<n. Tiếp tục điều này và giả sử rằng i=2, 3, 4…, n-1, chúng tôi nhận được (n-2) nhóm của các phân vùng này, bao gồm tất cả các trường hợp cụ thể có thể có.
Gọi i=2 là một nhóm các phân hoạch thông thường, luôn chứa đường chéo Р2 Pn. Số lượng phân vùng nhập nó giống như số lượng phân vùng(n-1) -gon P2 P3 P4… Pn. Nói cách khác, nó bằng Xn-1.
Nếu i=3, thì nhóm phân vùng khác này sẽ luôn chứa các đường chéo Р3 Р1 và Р3 Pn. Trong trường hợp này, số lượng phân vùng thông thường có trong nhóm này sẽ trùng với số lượng phân vùng của (n-2) -gon P3 P4 … Pn. Nói cách khác, nó sẽ bằng Xn-2.
Đặt i=4, thì trong số các tam giác, một phân hoạch thông thường chắc chắn sẽ chứa một tam giác P1 P4 Pn, mà tứ giác P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 … Pn sẽ tiếp giáp với nhau. Số phân giác thông thường của một tứ giác như vậy là X4 và số phân hoạch của một (n-3) -gon là Xn-3. Dựa trên những điều đã nói ở trên, chúng ta có thể nói rằng tổng số phân vùng đúng có trong nhóm này là Xn-3 X4. Các nhóm khác có i=4, 5, 6, 7… sẽ chứa các phân vùng thông thường Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7….
Đặt i=n-2, thì số lần tách đúng trong nhóm này sẽ bằng số lần tách trong nhóm mà i=2 (nói cách khác, bằng Xn-1).
Vì X1=X2=0, X3=1, X4=2… nên số tất cả các phân vùng của một đa giác lồi là:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 +… + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Ví dụ:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Số phân vùng chính xác giao nhau theo một đường chéo bên trong
Khi kiểm tra các trường hợp đặc biệt, người ta có thể đếngiả thiết rằng số đường chéo của n-gons lồi bằng tích của tất cả các phân hoạch của hình này bởi (n-3).
Chứng minh giả thiết này: hãy tưởng tượng rằng P1n=Xn(n-3), thì n-gon bất kỳ có thể được chia thành (n-2)-hình tam giác. Hơn nữa, một (n-3) -quadriad có thể được tạo thành từ chúng. Cùng với điều này, mỗi tứ giác sẽ có một đường chéo. Vì hai đường chéo có thể được vẽ trong hình hình học lồi này, điều này có nghĩa là (n-3) đường chéo bổ sung có thể được vẽ trong bất kỳ (n-3) hình vuông nào. Dựa trên cơ sở này, chúng ta có thể kết luận rằng trong bất kỳ phân vùng thông thường nào cũng có thể vẽ (n-3) -cấu giác thỏa mãn các điều kiện của bài toán này.
Diện tích đa giác lồi
Thông thường, khi giải các bài toán hình học sơ cấp, cần xác định diện tích của một đa giác lồi. Giả sử rằng (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n là dãy tọa độ của tất cả các đỉnh lân cận của một đa giác không có các giao điểm. Trong trường hợp này, diện tích của nó được tính theo công thức sau:
S=½ (∑ (Xi+ Xi + 1) (Yi+ Yi + 1)), đâu (X1, Y1)=(Xn + 1, Yn + 1).
