Một trong những nhánh của toán học mà học sinh phải đương đầu với những khó khăn lớn nhất là lượng giác. Không có gì lạ: để có thể tự do nắm vững lĩnh vực kiến thức này, bạn cần có tư duy không gian, khả năng tìm sin, cosin, tiếp tuyến, cotang bằng công thức, đơn giản hóa biểu thức và có thể sử dụng số pi trong các phép tính. Ngoài ra, bạn cần có khả năng áp dụng lượng giác khi chứng minh các định lý và điều này đòi hỏi trí nhớ toán học phát triển hoặc khả năng suy luận các chuỗi logic phức tạp.
Nguồn gốc của Lượng giác
Giới thiệu về khoa học này nên bắt đầu bằng định nghĩa sin, côsin và tiếp tuyến của một góc, nhưng trước tiên bạn cần phải tìm ra lượng giác nói chung.
Trong lịch sử, tam giác vuông là đối tượng nghiên cứu chính trong phần khoa học toán học này. Sự hiện diện của một góc 90 độ làm cho nó có thể thực hiện các hoạt động khác nhau cho phép haicác cạnh và một góc hoặc hai góc và một cạnh để xác định giá trị của tất cả các tham số của hình được đề cập. Trước đây, mọi người đã chú ý đến mô hình này và bắt đầu tích cực sử dụng nó trong việc xây dựng các tòa nhà, điều hướng, thiên văn học và thậm chí cả nghệ thuật.
Khởi đầu
Ban đầu, người ta chỉ nói về mối quan hệ của góc và cạnh trên ví dụ về tam giác vuông. Sau đó, các công thức đặc biệt được phát hiện, giúp mở rộng ranh giới sử dụng trong cuộc sống hàng ngày của phần toán học này.
Việc nghiên cứu lượng giác ở trường ngày nay bắt đầu với hình tam giác vuông, sau đó kiến thức thu được được học sinh sử dụng trong vật lý và giải các phương trình lượng giác trừu tượng, bắt đầu từ trường trung học.
Mặt cầu lượng giác
Sau đó, khi khoa học đạt đến trình độ phát triển tiếp theo, các công thức với sin, cosine, tiếp tuyến, cotang bắt đầu được sử dụng trong hình học cầu, nơi các quy tắc khác được áp dụng và tổng các góc trong một tam giác luôn nhiều hơn hơn 180 độ. Phần này không được học ở trường, nhưng cần biết về sự tồn tại của nó, ít nhất là vì bề mặt trái đất, và bề mặt của bất kỳ hành tinh nào khác, đều lồi, có nghĩa là bất kỳ dấu vết nào trên bề mặt sẽ là "hình vòng cung. "trong không gian ba chiều.
Chụp một quả địa cầu và một sợi chỉ. Gắn sợi chỉ vào hai điểm bất kỳ trên quả địa cầu để nó được căng. Hãy chú ý - nó đã có được hình dạng của một vòng cung. Nó xử lý các hình thức như vậyhình học cầu được sử dụng trong trắc địa, thiên văn học và các lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng khác.
Tam giác vuông
Đã tìm hiểu một chút về các cách sử dụng lượng giác, hãy quay lại lượng giác cơ bản để hiểu thêm sin, cosine, tiếp tuyến là gì, những phép tính nào có thể được thực hiện với sự trợ giúp của chúng và những công thức để sử dụng.
Trước hết, bạn cần hiểu các khái niệm liên quan đến tam giác vuông. Đầu tiên, cạnh huyền là cạnh đối diện với góc 90 độ. Cô ấy là người lâu nhất. Chúng ta nhớ rằng theo định lý Pitago, giá trị số của nó bằng căn của tổng bình phương của hai cạnh còn lại.
Ví dụ, nếu hai cạnh tương ứng là 3 và 4 cm, thì độ dài cạnh huyền sẽ là 5 cm. Nhân tiện, người Ai Cập cổ đại đã biết về điều này khoảng bốn nghìn năm rưỡi trước.
Hai cạnh còn lại tạo thành góc vuông gọi là chân. Ngoài ra, chúng ta phải nhớ rằng tổng các góc trong một tam giác trong hệ tọa độ hình chữ nhật là 180 độ.
Định nghĩa
Cuối cùng, khi có hiểu biết vững chắc về cơ sở hình học, chúng ta có thể chuyển sang định nghĩa sin, côsin và tiếp tuyến của một góc.
sin của một góc là tỷ số giữa chân đối diện (nghĩa là cạnh đối diện với góc mong muốn) với cạnh huyền. Côsin của một góc là tỷ số của chân kề cạnh cạnh huyền.
Hãy nhớ rằng không sin và cosine không được lớn hơn một! Tại sao?Bởi vì cạnh huyền theo mặc định là cạnh dài nhất của một tam giác vuông. Bất kể chân dài bao nhiêu, nó sẽ ngắn hơn cạnh huyền, có nghĩa là tỷ lệ của chúng sẽ luôn nhỏ hơn một. Do đó, nếu bạn nhận được một sin hoặc côsin có giá trị lớn hơn 1 trong câu trả lời cho bài toán, hãy tìm lỗi trong tính toán hoặc suy luận. Câu trả lời này rõ ràng là sai.
Cuối cùng, tiếp tuyến của một góc là tỷ số của cạnh đối diện với cạnh kề. Kết quả tương tự sẽ cho phép chia sin cho cosine. Hãy quan sát: theo công thức, ta chia độ dài của cạnh cho cạnh huyền, sau đó ta chia độ dài cạnh thứ hai và nhân với cạnh huyền. Do đó, chúng ta nhận được tỷ lệ tương tự như trong định nghĩa của tiếp tuyến.
Cotangent, tương ứng, là tỷ số giữa cạnh kề với góc và cạnh đối diện. Chúng tôi nhận được kết quả tương tự bằng cách chia đơn vị cho tiếp tuyến.
Vì vậy, chúng ta đã xem xét các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang, và chúng ta có thể xử lý các công thức.
Công thức đơn giản
Trong lượng giác, người ta không thể làm gì nếu không có công thức - làm thế nào để tìm sin, cosine, tiếp tuyến, cotang mà không có chúng? Nhưng đây chính xác là những gì cần thiết khi giải quyết vấn đề.
Công thức đầu tiên bạn cần biết khi bắt đầu học lượng giác nói rằng tổng bình phương của sin và côsin của một góc bằng một. Công thức này là hệ quả trực tiếp của định lý Pitago, nhưng nó tiết kiệm thời gian nếu bạn cần tìm giá trị của góc chứ không phải cạnh.
Nhiều học sinh không thể nhớ công thức thứ hai, cũng rấtPhổ biến trong việc giải các bài toán ở trường: tổng của một và bình phương tiếp tuyến của một góc bằng một chia cho bình phương côsin của góc. Hãy xem xét kỹ hơn: xét cho cùng, đây là phát biểu giống như trong công thức đầu tiên, chỉ có cả hai cạnh của đồng dạng được chia cho bình phương của cosin. Nó chỉ ra rằng một phép toán đơn giản làm cho công thức lượng giác hoàn toàn không thể nhận ra. Hãy nhớ rằng: biết sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là gì, các quy tắc chuyển đổi và một số công thức cơ bản, bạn có thể tính độc lập các công thức phức tạp hơn cần thiết trên một tờ giấy bất cứ lúc nào.
Công thức góc kép và phép cộng các đối số
Hai công thức nữa cần học liên quan đến các giá trị sin và cosin cho tổng và hiệu của các góc. Chúng được hiển thị trong hình bên dưới. Xin lưu ý rằng trong trường hợp đầu tiên, sin và côsin được nhân cả hai lần, và trong trường hợp thứ hai, tích từng cặp của sin và côsin được thêm vào.
Ngoài ra còn có các công thức liên quan đến đối số góc kép. Chúng hoàn toàn có nguồn gốc từ những cái trước - như một cách thực hành, hãy cố gắng tự lấy chúng, lấy góc alpha bằng góc beta.
Cuối cùng, lưu ý rằng công thức góc kép có thể được chuyển đổi để giảm độ của sin, cosine, alpha tiếp tuyến.
Định lý
Hai định lý chính trong lượng giác cơ bản là định lý sin và định lý côsin. Với sự trợ giúp của các định lý này, bạn có thể dễ dàng hiểu cách tìm sin, côsin và tiếp tuyến, và do đó diện tích của / u200b / u200b hình và độ lớnmỗi bên, v.v.
Định lý sin phát biểu rằng kết quả của việc chia độ dài của mỗi cạnh của một tam giác cho giá trị của góc đối diện, chúng ta nhận được cùng một số. Hơn nữa, số này sẽ bằng hai bán kính của đường tròn ngoại tiếp, tức là đường tròn chứa tất cả các điểm của tam giác đã cho.
Định lý côsin tổng quát hóa định lý Pitago, chiếu nó lên bất kỳ tam giác nào. Hóa ra là từ tổng bình phương của hai cạnh, trừ tích của chúng, nhân với cosin kép của góc kề với chúng - giá trị thu được sẽ bằng bình phương của cạnh thứ ba. Do đó, định lý Pitago trở thành một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.
Sai lầm do không chú ý
Dù biết sin, côsin và tiếp tuyến là gì nhưng do lơ đãng hoặc sai sót trong những phép tính đơn giản nhất cũng rất dễ mắc sai lầm. Để tránh những sai lầm như vậy, hãy cùng điểm qua những lỗi phổ biến nhất.
Trước hết, không chuyển đổi phân số chung thành số thập phân trước khi nhận được kết quả cuối cùng - bạn có thể để câu trả lời là phân số chung, trừ khi có quy định khác trong điều kiện. Sự biến đổi như vậy không thể gọi là một sai lầm, nhưng cần nhớ rằng ở mỗi giai đoạn của nhiệm vụ, những gốc rễ mới có thể xuất hiện, mà theo ý của tác giả, cần được giảm bớt. Trong trường hợp này, bạn sẽ lãng phí thời gian cho các phép toán không cần thiết. Điều này đặc biệt đúng đối với các giá trị chẳng hạn như gốc của ba hoặc hai, bởi vì chúng xuất hiện trong các tác vụ ở mọi bước. Làm tròn số cũng vậy. Những con số "xấu xí".
Tiếp theo, lưu ý rằng định lý cosin áp dụng cho bất kỳ tam giác nào, nhưng không áp dụng cho định lý Pitago! Nếu bạn quên trừ hai lần tích của các cạnh nhân với cosin của góc giữa chúng một cách nhầm lẫn, bạn sẽ không chỉ nhận được một kết quả hoàn toàn sai mà còn thể hiện sự hiểu lầm hoàn toàn về chủ đề này. Điều này còn tệ hơn một sai lầm bất cẩn.
Thứ ba, đừng nhầm lẫn các giá trị của góc 30 và 60 độ cho sin, cosin, tiếp tuyến, hình nón. Hãy nhớ những giá trị này, vì sin 30 độ bằng cosin 60 và ngược lại. Rất dễ trộn lẫn chúng và chắc chắn bạn sẽ nhận được kết quả sai.
Đơn
Nhiều học sinh không vội bắt đầu học lượng giác, vì họ không hiểu ý nghĩa ứng dụng của nó. Sin, cosine, tiếp tuyến cho một kỹ sư hoặc nhà thiên văn học là gì? Đây là những khái niệm mà nhờ đó bạn có thể tính toán khoảng cách đến các ngôi sao xa xôi, dự đoán sự rơi của một thiên thạch, gửi một tàu thăm dò nghiên cứu đến hành tinh khác. Không có chúng, không thể xây dựng một tòa nhà, thiết kế một chiếc xe hơi, tính toán tải trọng trên bề mặt hoặc quỹ đạo của một vật thể. Và đây chỉ là những ví dụ rõ ràng nhất! Rốt cuộc, lượng giác ở dạng này hay dạng khác được sử dụng ở mọi nơi, từ âm nhạc đến y học.
Trong kết luận
Vì vậy, bạn biết sin, cosine, tiếp tuyến là gì. Bạn có thể sử dụng chúng trong tính toán và giải quyết thành công các vấn đề ở trường.
Toàn bộ điểmlượng giác rút gọn thành tích theo tham số đã biết của tam giác cần tính ẩn số. Tổng cộng có sáu tham số: độ dài của ba cạnh và độ lớn của ba góc. Toàn bộ sự khác biệt trong các nhiệm vụ nằm ở thực tế là các dữ liệu đầu vào khác nhau được cung cấp.
Làm thế nào để tìm sin, côsin, tiếp tuyến dựa trên độ dài đã biết của chân hoặc cạnh huyền, bây giờ bạn đã biết. Vì những thuật ngữ này không có nghĩa gì khác hơn là một tỷ lệ, và một tỷ lệ là một phân số, mục tiêu chính của bài toán lượng giác là tìm nghiệm nguyên của một phương trình thông thường hoặc một hệ phương trình. Và ở đây, toán học thông thường sẽ giúp bạn.
