Gia tốc tiếp tuyến hoặc tiếp tuyến

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Tất cả các cơ thể xung quanh chúng ta đều chuyển động không ngừng. Chuyển động của các thiên thể trong không gian được quan sát ở mọi cấp độ quy mô, bắt đầu bằng chuyển động của các hạt cơ bản trong nguyên tử vật chất và kết thúc bằng chuyển động có gia tốc của các thiên hà trong Vũ trụ. Trong mọi trường hợp, quá trình chuyển động xảy ra với gia tốc. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xem xét chi tiết khái niệm gia tốc tiếp tuyến và đưa ra công thức tính gia tốc tiếp tuyến.

Đại lượng động học

Trước khi nói về gia tốc tiếp tuyến, chúng ta hãy xem xét những đại lượng thường dùng để đặc trưng cho chuyển động cơ học tùy ý của các vật thể trong không gian.

Trước hết, đây là con đường L. Nó hiển thị khoảng cách bằng mét, cm, km, v.v., cơ thể đã đi được trong một khoảng thời gian nhất định.

Đặc tính quan trọng thứ hai trong chuyển động học là tốc độ của cơ thể. Không giống như đường đi, nó là một đại lượng vectơ và hướng dọc theo quỹ đạoVận động cơ thể. Vận tốc xác định tốc độ thay đổi của tọa độ không gian theo thời gian. Công thức để tính nó là:

v¯=dL / dt

Tốc độ là đạo hàm theo thời gian của đường đi.

Cuối cùng, đặc tính quan trọng thứ ba của chuyển động của các vật thể là gia tốc. Theo định nghĩa trong vật lý, gia tốc là đại lượng quyết định sự thay đổi của tốc độ theo thời gian. Công thức cho nó có thể được viết là:

a¯=dv¯ / dt

Gia tốc, giống như tốc độ, cũng là một đại lượng vectơ, nhưng không giống như nó, nó hướng theo hướng thay đổi tốc độ. Hướng của gia tốc cũng trùng với vectơ của lực tác dụng lên vật.

Quỹ đạo và gia tốc

Nhiều vấn đề trong vật lý được xem xét trong khuôn khổ của chuyển động thẳng đều. Trong trường hợp này, như một quy luật, chúng không nói về gia tốc tiếp tuyến của điểm, nhưng làm việc với gia tốc tuyến tính. Tuy nhiên, nếu chuyển động của cơ thể không thẳng, thì toàn bộ gia tốc của nó có thể bị phân hủy thành hai thành phần:

ốp;
bình thường.

Trong trường hợp chuyển động thẳng, thành phần pháp tuyến bằng 0, vì vậy chúng ta không nói về sự khai triển vectơ của gia tốc.

Như vậy, quỹ đạo của chuyển động quyết định phần lớn bản chất và các thành phần của gia tốc toàn phần. Quỹ đạo của chuyển động được hiểu là một đường tưởng tượng trong không gian mà cơ thể chuyển động. Không tí nàoquỹ đạo cong dẫn đến sự xuất hiện của các thành phần gia tốc khác 0 đã nêu ở trên.

Xác định gia tốc tiếp tuyến

Tiếp tuyến hay còn được gọi là gia tốc tiếp tuyến là một thành phần của gia tốc toàn phần, hướng theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo của chuyển động. Vì vận tốc cũng hướng theo quỹ đạo nên vectơ gia tốc tiếp tuyến trùng với vectơ vận tốc.

Khái niệm gia tốc như một thước đo thay đổi tốc độ đã được đưa ra ở trên. Vì tốc độ là một vectơ nên nó có thể được thay đổi theo mô đun hoặc theo hướng. Gia tốc tiếp tuyến chỉ xác định sự thay đổi của mô đun tốc độ.

Lưu ý rằng trong trường hợp chuyển động thẳng đều, vectơ vận tốc không đổi hướng, do đó, theo định nghĩa trên, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc thẳng có cùng giá trị.

Nhận phương trình gia tốc tiếp tuyến

Giả sử rằng cơ thể di chuyển theo một quỹ đạo cong nào đó. Khi đó tốc độ v¯ của nó tại điểm đã chọn có thể được biểu diễn như sau:

v¯=vu_t¯

Ở đây v là môđun của vectơ v¯, u_{t¯ là vectơ vận tốc đơn vị hướng theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo.}

Sử dụng định nghĩa toán học về gia tốc, chúng ta nhận được:

a¯=dv¯ / dt=d (vu_t¯) / dt=dv / dtu_t¯ + vd (u_{t¯) / dt}

Khi tìm đạo hàm, tính chất của tích của hai hàm được sử dụng ở đây. Ta thấy rằng tổng gia tốc a¯ tại điểm đang xét tương ứng với tổng của hai số hạng. Chúng lần lượt là gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của chất điểm.

Hãy nói một vài từ về gia tốc thông thường. Nó chịu trách nhiệm thay đổi vectơ vận tốc, tức là thay đổi hướng chuyển động của cơ thể dọc theo đường cong. Nếu chúng ta tính toán rõ ràng giá trị của số hạng thứ hai, chúng ta nhận được công thức cho gia tốc thông thường:

a=vd (u_t¯) / dt=v^{2/ r}

Gia tốc bình thường được hướng dọc theo bình thường được khôi phục đến điểm đã cho của đường cong. Trong trường hợp chuyển động tròn đều, gia tốc pháp tuyến là hướng tâm.

Phương trình gia tốc tiếp tuyến a_{t¯ là:}

a_t¯=dv / dtu_t¯

Biểu thức này nói rằng gia tốc tiếp tuyến không tương ứng với sự thay đổi hướng, mà là sự thay đổi của môđun vận tốc v¯ trong một khoảng thời gian. Vì gia tốc tiếp tuyến có phương tiếp tuyến với điểm đã xét của quỹ đạo nên nó luôn vuông góc với thành phần pháp tuyến.

Gia tốc tiếp tuyến và tổng môđun gia tốc

Tất cả thông tin ở trên đã được trình bày cho phép bạn tính tổng gia tốc thông qua tiếp tuyến và pháp tuyến. Thật vậy, vì cả hai thành phần đều vuông góc với nhau, vectơ của chúng tạo thành chân của một tam giác vuông,có cạnh huyền là vectơ gia tốc toàn phần. Thực tế này cho phép chúng tôi viết công thức cho mô-đun gia tốc tổng ở dạng sau:

a=√ (a²+ a_t²⁾

Góc θ giữa gia tốc toàn phần và gia tốc tiếp tuyến có thể được xác định như sau:

θ=arccos (a_{t/ a)}

Gia tốc tiếp tuyến càng lớn thì phương của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần càng gần nhau.

Mối quan hệ giữa gia tốc tiếp tuyến và gia tốc góc

Một quỹ đạo cong điển hình mà các vật thể chuyển động trong công nghệ và tự nhiên là một đường tròn. Thật vậy, chuyển động của bánh răng, lưỡi dao và các hành tinh xung quanh trục của chính chúng hoặc xung quanh các điểm phát sáng của chúng diễn ra chính xác trong một vòng tròn. Chuyển động tương ứng với quỹ đạo này được gọi là chuyển động quay.

Động học của chuyển động quay được đặc trưng bởi các giá trị giống như chuyển động của chuyển động dọc theo một đường thẳng, tuy nhiên, chúng có đặc điểm là góc. Vì vậy, để mô tả chuyển động quay, người ta sử dụng góc quay ở tâm θ, vận tốc góc ω và gia tốc α. Các công thức sau đây hợp lệ cho các đại lượng này:

ω=dθ / dt;

α=dω / dt

Giả sử rằng vật thể đã thực hiện một vòng quanh trục quay trong thời gian t, thì với vận tốc góc ta có thể viết:

ω=2pi / t

Tốc độ tuyến tính trong trường hợp này sẽ bằng:

v=2pir / t

Trong đó r là bán kính của quỹ đạo. Hai biểu thức cuối cùng cho phép chúng tôi viếtcông thức cho kết nối của hai tốc độ:

v=ωr

Bây giờ chúng ta tính đạo hàm theo thời gian của vế trái và vế phải của phương trình, chúng ta nhận được:

dv / dt=rdω / dt

Vế phải của đẳng thức là tích của gia tốc góc và bán kính của đường tròn. Vế trái của phương trình là sự thay đổi của môđun vận tốc, tức là gia tốc tiếp tuyến.

Do đó, gia tốc tiếp tuyến và một giá trị góc tương tự có quan hệ bằng nhau:

a_t=αr

Nếu chúng ta giả sử rằng đĩa đang quay, thì gia tốc tiếp tuyến của một điểm có giá trị không đổi là α sẽ tăng tuyến tính khi khoảng cách từ điểm này đến trục quay tăng dần.

Tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết hai vấn đề bằng cách sử dụng các công thức trên.

Xác định gia tốc tiếp tuyến từ một hàm vận tốc đã biết

Người ta biết rằng tốc độ của một vật thể chuyển động dọc theo một quỹ đạo cong nhất định được mô tả bằng hàm thời gian sau:

v=2t2+ 3t + 5

Cần xác định công thức của gia tốc tiếp tuyến và tìm giá trị của nó tại thời điểm t=5 giây.

Đầu tiên, hãy viết công thức cho môđun gia tốc tiếp tuyến:

a_{t=dv / dt}

Tức là, để tính hàm a_{t(t), bạn nên xác định đạo hàm của tốc độ theo thời gian. Chúng tôi có:}

a_t=d (2t^{2+ 3t + 5) / dt=4t + 3}

Thay thời gian t=5 giây vào biểu thức kết quả, ta đi đến đáp án: a_t=23 m / s^2.

Lưu ý rằng đồ thị của vận tốc so với thời gian trong bài toán này là một parabol, trong khi đồ thị của gia tốc tiếp tuyến là một đường thẳng.

Nhiệm vụ gia tốc tiếp tuyến

Người ta biết rằng chất điểm bắt đầu quay được gia tốc đều từ thời điểm không của thời gian. 10 giây sau khi bắt đầu quay, gia tốc hướng tâm của nó bằng 20 m / s2. Cần xác định gia tốc tiếp tuyến của một điểm sau 10 giây, nếu biết bán kính quay là 1m.

Đầu tiên, hãy viết công thức cho gia tốc hướng tâm hoặc pháp tuyến a_c: