Hình học lập thể, là một nhánh của hình học trong không gian, nghiên cứu các tính chất của lăng trụ, hình trụ, hình nón, quả bóng, hình chóp và các hình ba chiều khác. Bài viết này dành để đánh giá chi tiết các đặc điểm và tính chất của một hình chóp lục giác đều.
Kim tự tháp nào sẽ được nghiên cứu
Hình chóp lục giác đều là một hình trong không gian, được giới hạn bởi một lục giác đều và tam giác đều, và sáu tam giác cân giống nhau. Các tam giác này cũng có thể là cạnh bằng nhau trong những điều kiện nhất định. Kim tự tháp này được hiển thị bên dưới.
Hình tương tự được hiển thị ở đây, chỉ trong một trường hợp, nó được quay với mặt bên về phía người đọc và trong trường hợp khác - với cạnh bên của nó.
Một hình chóp lục giác đều có 7 mặt, đã được đề cập ở trên. Nó cũng có 7 đỉnh và 12 cạnh. Không giống như hình lăng trụ, tất cả các hình chóp đều có một đỉnh đặc biệt, đỉnh này được tạo thành bởi giao điểm của các cạnh bênHình tam giác. Đối với một hình chóp đều, nó đóng một vai trò quan trọng, vì đường vuông góc hạ từ nó xuống đáy của hình là chiều cao. Hơn nữa, chiều cao sẽ được ký hiệu bằng chữ h.
Kim tự tháp được hiển thị được gọi là đúng vì hai lý do:
- ở đáy của nó là một hình lục giác có độ dài các cạnh bằng a và các góc bằng 120o;
- Chiều cao của hình chóp h cắt hình lục giác chính xác tại tâm của nó (giao điểm nằm ở cùng một khoảng cách từ tất cả các cạnh và từ tất cả các đỉnh của hình lục giác).
Diện tích bề mặt
Tính chất của một hình chóp lục giác đều sẽ được xét từ định nghĩa diện tích của nó. Để làm được điều này, điều hữu ích đầu tiên là mở hình vẽ trên một mặt phẳng. Hình dưới đây trình bày sơ đồ về nó.
Có thể thấy rằng diện tích quét, và do đó là toàn bộ bề mặt của hình đang xét, bằng tổng diện tích của sáu hình tam giác giống hệt nhau và một hình lục giác.
Để xác định diện tích của một hình lục giác S6, hãy sử dụng công thức chung cho một n-gon thông thường:
S=n / 4a2 ctg (pi / n)=>
S6=3√3 / 2a2.
Trong đó a là độ dài cạnh của hình lục giác.
Diện tích tam giác S3của cạnh bên có thể được tìm thấy nếu bạn biết giá trị của chiều cao hb:
S3=1/2hb a.
Vì cả sáucác tam giác bằng nhau thì ta nhận được biểu thức xác định diện tích của một hình chóp lục giác đều có đáy là:
S=S6+ 6S3=3√3 / 2a2 + 61/2hb a=3a(√3 / 2a + hb ).
Thể tích kim tự tháp
Cũng giống như diện tích, thể tích của một hình chóp lục giác đều là tính chất quan trọng của nó. Thể tích này được tính theo công thức chung cho tất cả các hình chóp và hình nón. Hãy viết nó ra:
V=1/3So h.
Ở đây, ký hiệu Solà diện tích của đáy lục giác, tức là So=S6.
Thay biểu thức trên cho S6vào công thức cho V, chúng ta đi đến công thức cuối cùng để xác định thể tích của một hình chóp lục giác đều:
V=√3 / 2a2 h.
Ví dụ về bài toán hình học
Trong một hình chóp lục giác đều, cạnh bên gấp đôi độ dài cạnh bên. Biết rằng cạnh sau là 7 cm, cần tính diện tích bề mặt và thể tích của hình này.
Như bạn có thể đoán, giải pháp của vấn đề này liên quan đến việc sử dụng các biểu thức thu được ở trên cho S và V. Tuy nhiên, sẽ không thể sử dụng chúng ngay lập tức, vì chúng ta không biết apothem và chiều cao của hình chóp lục giác đều. Hãy tính toán chúng.
Apothem hbcó thể được xác định bằng cách xem xét một tam giác vuông dựng trên các cạnh b, a / 2 và hb. Ở đây b là độ dài của cạnh bên. Sử dụng điều kiện của bài toán, chúng ta nhận được:
hb=√ (b2-a2/ 4)=√ (142-72/ 4)=13, 555 cm.
Chiều cao h của hình chóp có thể được xác định theo cách chính xác giống như cách xác định hình chóp, nhưng bây giờ chúng ta nên xem xét một tam giác có các cạnh h, b và a, nằm bên trong hình chóp. Chiều cao sẽ là:
h=√ (b2- a2)=√ (142- 72)=12, 124 cm.
Có thể thấy rằng giá trị chiều cao được tính toán nhỏ hơn giá trị của apothem, điều này đúng với bất kỳ kim tự tháp nào.
Bây giờ bạn có thể sử dụng các biểu thức cho âm lượng và diện tích:
S=3a(√3 / 2a + hb)=37(√3 / 27 + 13, 555)=411, 96cm2;
V=√3 / 2a2 h=√3 / 272 12, 124=514, 48cm3.
Vì vậy, để xác định rõ ràng bất kỳ đặc điểm nào của hình chóp lục giác đều, bạn cần biết bất kỳ hai tham số tuyến tính nào của nó.
