Diện tích mặt bên của hình chóp tứ giác đều: công thức và ví dụ về các bài toán

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Các bài toán hình học điển hình trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều là các bài toán xác định diện tích bề mặt của các hình dạng khác nhau. Trong bài viết này, chúng tôi trình bày công thức tính diện tích mặt bên của hình chóp tứ giác đều.

Kim tự tháp là gì?

Hãy đưa ra một định nghĩa hình học chặt chẽ của một hình chóp. Giả sử có một số đa giác với n cạnh và n góc. Chúng ta chọn một điểm tùy ý trong không gian sẽ không nằm trong mặt phẳng của n-gon được chỉ định và nối nó với mỗi đỉnh của đa giác. Chúng ta sẽ nhận được một hình có một số thể tích, được gọi là một hình chóp n-gonal. Ví dụ: hãy chỉ ra trong hình bên dưới một kim tự tháp ngũ giác trông như thế nào.

Hai yếu tố quan trọng của bất kỳ kim tự tháp nào là đáy (n-gon) và đỉnh. Các phần tử này được nối với nhau bằng n hình tam giác, nhìn chung các phần tử này không bằng nhau. Vuông góc từtừ trên xuống dưới được gọi là chiều cao của hình. Nếu nó cắt đáy ở tâm hình học (trùng với tâm của đa giác) thì hình chóp như vậy được gọi là đường thẳng. Nếu ngoài điều kiện này, đáy là một đa giác đều thì hình chóp toàn phần được gọi là hình đều. Hình bên dưới cho thấy các kim tự tháp đều trông như thế nào với các đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác và lục giác.

Bề mặt kim tự tháp

Trước khi chuyển sang câu hỏi về diện tích của mặt bên của một hình chóp tứ giác đều, chúng ta nên tập trung vào khái niệm của chính bề mặt đó.

Như đã đề cập ở trên và thể hiện trong các hình, bất kỳ kim tự tháp nào đều được tạo thành bởi một tập hợp các mặt hoặc các mặt. Một mặt là đáy và n mặt là hình tam giác. Bề mặt của toàn bộ hình là tổng diện tích của mỗi mặt của nó.

Thật tiện lợi khi nghiên cứu bề mặt của ví dụ về một hình vẽ đang mở ra. Bản quét cho một hình chóp tứ giác đều được thể hiện trong các hình bên dưới.

Chúng ta thấy rằng diện tích bề mặt của nó bằng tổng của bốn diện tích của các tam giác cân giống hệt nhau và diện tích của một hình vuông.

Tổng diện tích của tất cả các tam giác tạo thành các cạnh của hình được gọi là diện tích của mặt bên. Tiếp theo, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách tính nó cho một hình chóp tứ giác đều.

Diện tích mặt bên của hình chóp tứ giác đều

Để tính diện tích của mặt bênbề mặt của hình được chỉ định, chúng tôi một lần nữa chuyển sang quét ở trên. Giả sử chúng ta biết cạnh của cơ sở hình vuông. Hãy ký hiệu nó bằng ký hiệu a. Có thể thấy rằng mỗi tam giác đồng dạng đều có độ dài đáy là a. Để tính tổng diện tích của chúng, bạn cần biết giá trị này cho một tam giác. Từ khóa học hình học, người ta biết rằng diện tích của một tam giác S_{tbằng tích của đáy và chiều cao, nên được chia đôi. Đó là:}

S_t=1/2h_{b a.}

Trong đó h_blà chiều cao của tam giác cân được vẽ cạnh đáy a. Đối với một kim tự tháp, chiều cao này là sai lầm. Bây giờ nó vẫn còn để nhân biểu thức kết quả với 4 để có được diện tích S_{bcủa mặt bên cho hình chóp được đề cập:}

S_b=4S_t=2h_{b a.}

Công thức này chứa hai tham số: apothem và cạnh của cơ sở. Nếu điều kiện thứ hai được biết trong hầu hết các điều kiện của bài toán, thì điều kiện thứ nhất phải được tính toán khi biết các đại lượng khác. Dưới đây là công thức tính apotema h_{bcho hai trường hợp:}

• khi biết chiều dài của sườn bên;
• khi biết chiều cao của kim tự tháp.

Nếu chúng ta biểu thị độ dài của cạnh bên (cạnh của tam giác cân) bằng ký hiệu L, thì apotema h_{bđược xác định theo công thức:}

h_b=√ (L²- a^{2/ 4).}

Biểu thức này là kết quả của việc áp dụng định lý Pitago cho tam giác mặt bên.

Nếu biếtchiều cao h của kim tự tháp, khi đó apotema h_{bcó thể được tính như sau:}

h_b=√ (h²+ a^{2/ 4).}

Lấy biểu thức này cũng không khó nếu chúng ta coi bên trong hình chóp là một tam giác vuông tạo bởi các chân h và a / 2 và cạnh huyền h_b.

Hãy chỉ ra cách áp dụng những công thức này bằng cách giải quyết hai vấn đề thú vị.

Vấn đề với diện tích bề mặt đã biết

Biết rằng diện tích mặt bên của hình chóp tứ giác đều là 108 cm². Cần phải tính giá trị của chiều dài h_{b, nếu chiều cao của hình chóp là 7 cm.}

Hãy viết công thức cho diện tích S_{bcủa mặt bên thông qua chiều cao. Chúng tôi có:}

S_b=2√ (h²+ a^{2/ 4)a.}

Ở đây chúng ta chỉ cần thay thế công thức apotema tương ứng vào biểu thức cho S_{b. Hãy bình phương cả hai vế của phương trình:}

S_b²=4a² h²+ a^4.

Để tìm giá trị của a, hãy thực hiện thay đổi các biến:

a2=t;

t²+ 4h² t - S_b^2=0.

Bây giờ chúng ta thay thế các giá trị đã biết và giải phương trình bậc hai:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Chúng tôi chỉ viết ra nghiệm nguyên dương của phương trình này. Khi đó các mặt của đáy của hình chóp sẽ là:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

Để lấy độ dài của apotema,chỉ cần sử dụng công thức:

h_b=√ (h²+ a²/ 4)=√ (7²+ 6, 916^{2/ 4) ≈ 7, 808 xem}

Mặt bên của kim tự tháp Cheops

Xác định giá trị của diện tích mặt bên của kim tự tháp Ai Cập lớn nhất. Được biết, ở chân đế của nó là một hình vuông với chiều dài cạnh là 230,363 mét. Chiều cao của cấu trúc ban đầu là 146,5 mét. Thay các số này vào công thức tương ứng cho S_{b, ta được:}

S_b=2√ (h²+ a²/ 4)a=2√ (146, 5²+ 230, 363²/ 4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Giá trị tìm được lớn hơn một chút so với diện tích của 17 sân bóng.