Diện tích mặt bên và thể tích của hình chóp cụt: công thức và ví dụ giải một bài toán điển hình

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Khi nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian ba chiều trong khuôn khổ của phép lập thể, người ta thường phải giải các bài toán để xác định thể tích và diện tích bề mặt. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách tính thể tích và diện tích mặt bên của một hình chóp cụt bằng các công thức nổi tiếng.

Kim tự tháp trong hình học

Trong hình học, một kim tự tháp thông thường là một hình trong không gian, được xây dựng trên một số n-gon phẳng. Tất cả các đỉnh của nó được nối với một điểm nằm bên ngoài mặt phẳng của đa giác. Ví dụ: đây là một bức ảnh cho thấy một kim tự tháp ngũ giác.

Hình này được tạo thành bởi các mặt, các đỉnh và các cạnh. Mặt ngũ giác được gọi là mặt đáy. Các mặt tam giác còn lại tạo thành mặt bên. Giao điểm của tất cả các tam giác là đỉnh chính của hình chóp. Nếu một đường vuông góc được hạ thấp từ nó xuống mặt đáy, thì có thể có hai tùy chọn cho vị trí của điểm giao nhau:

• ở trung tâm hình học, khi đó hình chóp được gọi là đường thẳng;
• không trongtâm hình học thì hình sẽ xiên.

Hơn nữa, chúng ta sẽ chỉ xem xét các hình thẳng với cơ sở n-gonal thông thường.

Hình này là gì - một kim tự tháp cắt ngắn?

Để xác định thể tích của một hình chóp cụt, cần phải hiểu rõ cụ thể là hình nào. Hãy cùng làm rõ vấn đề này.

Giả sử chúng ta lấy một mặt phẳng cắt song song với mặt đáy của một hình chóp thông thường và cắt một phần của mặt bên bằng nó. Nếu thao tác này được thực hiện với hình chóp ngũ giác được hiển thị ở trên, bạn sẽ nhận được một hình như trong hình dưới đây.

Từ bức ảnh có thể thấy rằng kim tự tháp này đã có hai đáy, và đỉnh trên tương tự như đáy, nhưng kích thước nhỏ hơn. Mặt bên không còn được biểu diễn bằng hình tam giác nữa mà là hình thang. Chúng là các khối cân bằng, và số của chúng tương ứng với số cạnh của cơ sở. Hình cắt cụt không có đỉnh chính, giống như hình chóp thông thường và chiều cao của nó được xác định bởi khoảng cách giữa các đáy song song.

Trong trường hợp tổng quát, nếu hình đang xét được tạo bởi n-gonal cơ sở, nó có n + 2 mặt hoặc 2 mặt, 2n đỉnh và 3n cạnh. Tức là, hình chóp cụt là một hình đa diện.

Công thức tính thể tích của hình chóp cụt

Nhớ lại rằng thể tích của một hình chóp thông thường bằng 1/3 tích chiều cao và diện tích đáy của nó. Công thức này không phù hợp với một kim tự tháp bị cắt ngắn, vì nó có hai đáy. Và khối lượng của nósẽ luôn nhỏ hơn cùng một giá trị cho số liệu thông thường mà từ đó nó được tính.

Không đi sâu vào chi tiết toán học của biểu thức, chúng tôi trình bày công thức cuối cùng cho thể tích của một hình chóp cụt. Nó được viết như sau:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √ (S₁ S₂₎₎

Ở đây S₁và S_{2lần lượt là diện tích của đáy dưới và đáy trên, h là chiều cao của hình. Biểu thức đã viết không chỉ hợp lệ cho một hình chóp cụt đều thẳng, mà còn cho bất kỳ hình nào thuộc loại này. Hơn nữa, không phụ thuộc vào loại đa giác cơ sở. Điều kiện duy nhất hạn chế việc sử dụng biểu thức cho V là các đáy của hình chóp phải song song với nhau.}

Có thể rút ra một số kết luận quan trọng bằng cách nghiên cứu các đặc tính của công thức này. Vì vậy, nếu diện tích của đáy trên bằng 0, thì chúng ta đi đến công thức cho V của một hình chóp thông thường. Nếu diện tích của các đáy bằng nhau thì ta nhận được công thức về thể tích của khối lăng trụ.

Làm thế nào để xác định diện tích bề mặt bên?

Biết được các đặc điểm của hình chóp cụt không chỉ đòi hỏi khả năng tính thể tích của nó mà còn phải biết cách xác định diện tích của mặt bên.

Hình chóp cụt gồm hai kiểu mặt:

• hình thang cân;
• đế đa giác.

Nếu có một đa giác đều trong các đáy thì việc tính diện tích của nó không phải là lớnnỗi khó khăn. Để làm điều này, bạn chỉ cần biết độ dài của cạnh a và số của chúng n.

Trong trường hợp của một mặt bên, việc tính diện tích của nó bao gồm việc xác định giá trị này cho mỗi trong số n hình thang. Nếu n-gon là đúng, thì công thức cho diện tích bề mặt bên trở thành:

S_b=h_b n(a₁+ a_{2) / 2}

Ở đây h_blà chiều cao của hình thang, được gọi là apoteme của hình. Các đại lượng a₁và a_{2là độ dài các cạnh của n-gonal cơ sở thông thường.}

Đối với mọi kim tự tháp cắt ngắn có n-gonal thông thường, apotema h_bcó thể được xác định duy nhất thông qua các tham số a₁và a_{2 và chiều cao h của hình dạng.}

Nhiệm vụ tính thể tích và diện tích của hình

Cho hình chóp tam giác đều. Biết rằng chiều cao h là 10 cm, độ dài các cạnh là 5 cm và 3 cm. Thể tích của hình chóp cụt và diện tích mặt bên của nó là bao nhiêu?

Đầu tiên, hãy tính giá trị V. Để làm điều này, hãy tìm diện tích của các tam giác đều nằm ở đáy của hình. Chúng tôi có:

S₁=√3 / 4a₁²=√3 / 45²=10.825cm^2;

S₂=√3 / 4a₂²=√3 / 43²=3.897 cm²

Thay dữ liệu vào công thức cho V, chúng ta nhận được khối lượng mong muốn:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √ (10, 8253, 897)) ≈ 70,72 cm3

Để xác định bề mặt bên, bạn nên biếtđộ dài apothem h_{b. Xét tam giác vuông tương ứng bên trong hình chóp, ta có thể viết đẳng thức cho nó:}

h_b=√ ((√3 / 6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 cm}

Giá trị của apothem và các cạnh của đáy tam giác được thay thế vào biểu thức cho S_{bvà chúng ta nhận được câu trả lời:}

S_b=h_b n(a₁+ a₂) / 2=10.0173(5 + 3) / 2 ≈ 120.2cm²

Như vậy, chúng tôi đã trả lời tất cả các câu hỏi của bài toán: V ≈ 70,72 cm³, S_b≈ 120,2 cm 2^.