Khi nghiên cứu về hình học lập thể, một trong những chủ đề chính là "Hình trụ". Diện tích bề mặt bên được coi, nếu không phải là chính, thì nó là một công thức quan trọng trong việc giải các bài toán hình học. Tuy nhiên, điều quan trọng là phải nhớ các định nghĩa sẽ giúp bạn điều hướng qua các ví dụ và khi chứng minh các định lý khác nhau.
Khái niệm xi lanh
Đầu tiên chúng ta cần xem xét một vài định nghĩa. Chỉ sau khi nghiên cứu chúng, người ta mới có thể bắt đầu xem xét câu hỏi về công thức tính diện tích mặt bên của hình trụ. Dựa trên mục nhập này, các biểu thức khác có thể được tính toán.
- Bề mặt hình trụ được hiểu là một mặt phẳng được mô tả bởi một ma trận chung, di chuyển và song song với một hướng nhất định, trượt dọc theo một đường cong hiện có.
- Ngoài ra còn có một định nghĩa thứ hai: một mặt trụ được tạo thành bởi một tập hợp các đường thẳng song song cắt một đường cong cho trước.
- Generative được quy ước được gọi là chiều cao của hình trụ. Khi nó di chuyển quanh một trục đi qua tâm của đế,thân hình học được chỉ định thu được.
- Dưới trục có nghĩa là một đường thẳng đi qua cả hai đáy của hình.
- Hình trụ là một vật thể lập thể được giới hạn bởi một mặt bên cắt nhau và 2 mặt phẳng song song.
Có nhiều loại hình ba chiều này:
- Hình tròn là một hình trụ có hướng dẫn là một hình tròn. Các thành phần chính của nó là bán kính của cơ sở và ma trận. Phần sau bằng với chiều cao của hình.
- Có một hình trụ thẳng. Nó có tên do độ vuông góc của ma trận đối với các cơ sở của hình.
- Loại thứ ba là hình trụ vát. Trong sách giáo khoa, bạn cũng có thể tìm thấy một tên gọi khác của nó - "hình trụ tròn có đáy vát". Hình này xác định bán kính của đế, chiều cao tối thiểu và tối đa.
- Hình trụ đều được hiểu là một vật có chiều cao và đường kính bằng nhau của một mặt phẳng tròn.
Ký hiệu
Theo truyền thống, các "thành phần" chính của hình trụ được gọi như sau:
- Bán kính của cơ sở là R (nó cũng thay thế cùng giá trị của một hình lập thể).
- Tạo hóa - L.
- Chiều cao - H.
- Diện tích cơ sở - Scơ sở(nói cách khác, bạn cần tìm tham số vòng tròn được chỉ định).
- Chiều cao hình trụ vát - h1, h2(tối thiểu và tối đa).
- Diện tích bề mặt bên - Smặt(nếu bạn mở rộng nó, bạn sẽ cógiống như một hình chữ nhật).
- Thể tích của một hình lập thể - V.
- Tổng diện tích bề mặt - S.
“Các thành phần” của một hình lập thể
Khi nghiên cứu hình trụ, diện tích bề mặt bên đóng một vai trò quan trọng. Điều này là do thực tế là công thức này được bao gồm trong một số công thức khác, phức tạp hơn. Vì vậy, cần phải thông thạo lý thuyết.
Các thành phần chính của hình là:
- Mặt bên. Như bạn đã biết, nó có được do sự chuyển động của ma trận chung dọc theo một đường cong nhất định.
- Toàn bộ bề mặt bao gồm các đế hiện có và mặt phẳng bên.
- Mặt cắt của hình trụ, theo quy luật, là một hình chữ nhật nằm song song với trục của hình. Nếu không, nó được gọi là máy bay. Nó chỉ ra rằng chiều dài và chiều rộng là các thành phần bán thời gian của các hình khác. Vì vậy, theo điều kiện, độ dài của phần là máy phát điện. Chiều rộng - các hợp âm song song của một hình lập thể.
- Mặt cắt trục có nghĩa là vị trí của mặt phẳng đi qua trọng tâm của cơ thể.
- Và cuối cùng, định nghĩa cuối cùng. Tiếp tuyến là mặt phẳng đi qua đường sinh của hình trụ và vuông góc với mặt cắt trục. Trong trường hợp này, một điều kiện phải được đáp ứng. Ma trận chung đã chỉ định phải được bao gồm trong mặt phẳng của mặt cắt trục.
Các công thức cơ bản để làm việc với hình trụ
Để trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm diện tích bề mặt của một hình trụ, cần phải nghiên cứu các "thành phần" chính của một hình lập thể và các công thức để tìm chúng.
Các công thức này khác nhau ở chỗ đầu tiên các biểu thức cho hình trụ vát được đưa ra, sau đó cho hình trụ thẳng.
Ví dụ được cấu trúc lại
Nhiệm vụ 1.
Cần phải biết diện tích bề mặt bên của hình trụ. Cho trước đường chéo của đoạn AC=8 cm (hơn nữa nó là trục). Khi tiếp xúc với ma trận gen, nó sẽ ra<ACD=30 °
Quyết định. Vì các giá trị của đường chéo và góc đã biết, nên trong trường hợp này:
CD=ACcos 30 °
Bình luận. Trong ví dụ cụ thể này, tam giác ACD là một tam giác vuông. Điều này có nghĩa là thương của CD và AC=cosin của góc đã cho. Giá trị của các hàm lượng giác có thể được tìm thấy trong một bảng đặc biệt.
Tương tự, bạn có thể tìm giá trị của AD:
AD=ACsin 30 °
Bây giờ bạn cần tính kết quả mong muốn bằng công thức sau: diện tích bề mặt bên của hình trụ bằng hai lần kết quả của phép nhân "pi", bán kính của hình và chiều cao của nó. Một công thức khác cũng nên được sử dụng: diện tích của đáy của hình trụ. Nó bằng kết quả của phép nhân "pi" với bình phương bán kính. Và cuối cùng, công thức cuối cùng: tổng diện tích bề mặt. Nó bằng tổng của hai khu vực trước đó.
Nhiệm vụ 2.
Xi lanh được đưa ra. Thể tích của chúng=128n cm³. Hình trụ nào có nhỏ nhấttoàn bề mặt?
Quyết định. Trước tiên, bạn cần sử dụng các công thức để tìm thể tích của một hình và chiều cao của nó.
Vì lý thuyết đã biết tổng diện tích bề mặt của hình trụ nên công thức của nó phải được áp dụng.
Nếu chúng ta coi công thức kết quả là một hàm của diện tích hình trụ, thì "chỉ số" nhỏ nhất sẽ đạt được tại điểm cực trị. Để nhận được giá trị cuối cùng, bạn cần sử dụng phân biệt.
Công thức có thể được xem trong một bảng đặc biệt để tìm dẫn xuất. Trong tương lai, kết quả tìm được tương đương với 0 và nghiệm của phương trình được tìm thấy.
Trả lời: Sminsẽ đạt được ở độ cao h=1/32 cm, R=64 cm.
Vấn đề 3.
Cho một hình lập thể - một hình trụ và một mặt cắt. Sau đó được thực hiện theo cách mà nó nằm song song với trục của vật thể lập thể. Hình trụ có các thông số sau: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Cần tìm khoảng cách giữa mặt cắt và trục.
Quyết định.
Vì tiết diện của hình trụ được hiểu là VSCM, tức là hình chữ nhật, nên VM cạnh của nó=h. WMC cần được xem xét. Hình tam giác là hình chữ nhật. Dựa trên phát biểu này, chúng ta có thể suy ra giả thiết đúng rằng MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Từ đây chúng ta có thể kết luận rằng MK=BC=8 cm.
Bước tiếp theo là vẽ một mặt cắt qua phần đáy của hình. Cần phải xem xét mặt phẳng kết quả.
AD - đường kính của một hình lập thể. Nó song song với phần được đề cập trong tuyên bố vấn đề.
BC là một đường thẳng nằm trên mặt phẳng của hình chữ nhật hiện có.
ABCD là hình thang. Trong một trường hợp cụ thể, nó được coi là cân, vì một vòng tròn được mô tả xung quanh nó.
Nếu bạn tìm được chiều cao của hình thang kết quả, bạn có thể nhận được câu trả lời ở đầu bài toán. Cụ thể: tìm khoảng cách giữa trục và mặt cắt được vẽ.
Để làm điều này, bạn cần tìm các giá trị của AD và OS.
Trả lời: phần nằm cách trục 3 cm.
Vấn đề củng cố nguyên liệu
Ví dụ 1.
Xi lanh được đưa ra. Diện tích bề mặt bên được sử dụng trong giải pháp tiếp theo. Các tùy chọn khác đã biết. Diện tích của đáy là Q, diện tích của phần trục là M. Cần tìm S. Nói cách khác, diện tích toàn phần của hình trụ.
Ví dụ 2.
Xi lanh được đưa ra. Diện tích bề mặt bên phải được tìm thấy trong một trong các bước giải quyết vấn đề. Biết rằng chiều cao=4 cm, bán kính=2 cm. Cần tìm diện tích toàn phần của một hình lập thể.
