Nghe một giáo viên dạy toán, hầu hết học sinh đều lấy tài liệu làm tiên đề. Đồng thời, rất ít người cố gắng đi đến tận cùng và tìm ra lý do tại sao dấu "trừ" trên dấu "cộng" lại cho ra dấu "trừ" và khi nhân hai số âm, nó sẽ ra dấu dương.
Quy luật toán học
Hầu hết người lớn không thể giải thích cho bản thân hoặc con cái của họ tại sao điều này lại xảy ra. Họ đã hấp thụ rất kỹ tài liệu này trong trường học, nhưng họ thậm chí không cố gắng tìm ra những quy tắc như vậy đến từ đâu. Nhưng vô ích. Thông thường, trẻ em hiện đại không quá cả tin, chúng cần phải đi sâu tìm hiểu vấn đề và hiểu, ví dụ, tại sao “cộng” trên “trừ” lại cho “trừ”. Và đôi khi những cô cậu nhóc cố tình đưa ra những câu hỏi hóc búa để tận hưởng khoảnh khắc mà người lớn không thể đưa ra câu trả lời dễ hiểu. Và thực sự là một thảm họa nếu một giáo viên trẻ vướng vào một mớ hỗn độn…
Nhân tiện, cần lưu ý rằng quy tắc được đề cập ở trên có hiệu lực cho cả phép nhân và phép chia. Tích của một số âm và một số dương sẽ chỉ cho một số trừ. Nếu chúng ta đang nói về hai chữ số có dấu “-”, thì kết quả sẽ là một số dương. Đối với phép chia cũng vậy. Nếu mộtmột trong các số là số âm, thì thương số cũng sẽ có dấu “-”.
Để giải thích tính đúng đắn của định luật toán học này, cần phải xây dựng các tiên đề về vành. Nhưng trước tiên bạn cần hiểu nó là gì. Trong toán học, người ta thường gọi một vành là một tập hợp trong đó hai phép toán với hai phần tử có liên quan. Nhưng tốt hơn là bạn nên giải quyết vấn đề này bằng một ví dụ.
Tiên đề của chiếc nhẫn
Có một số định luật toán học.
- Cái đầu tiên là giao hoán, theo anh ấy, C + V=V + C.
- Cái thứ hai được gọi là liên kết (V + C) + D=V + (C + D).
Chúng cũng tuân theo phép nhân (V x C) x D=V x (C x D).
Không ai hủy bỏ quy tắc mở ngoặc (V + C) x D=V x D + C x D, cũng đúng khi C x (V + D)=C x V + C x D.
Ngoài ra, người ta đã xác định được rằng một phần tử đặc biệt, trung tính về mặt phép cộng, có thể được đưa vào vòng, sử dụng giá trị nào sau đây sẽ đúng: C + 0=C. Ngoài ra, với mỗi C có một phần tử đối lập, có thể được ký hiệu là (-C). Trong trường hợp này, C + (-C)=0.
Suy ra tiên đề cho các số âm
Chấp nhận các câu trên, ta trả lời được câu hỏi: "" Cộng "thành" trừ "cho dấu gì? Biết tiên đề về phép nhân các số âm, cần khẳng định rằng thực sự (-C) x V=- (C x V). Và đẳng thức sau cũng đúng: (- (- C))=C.
Để làm được điều này, trước tiên chúng ta phải chứng minh rằng mỗi phần tử chỉ có mộtanh trai đối diện. Hãy xem xét ví dụ chứng minh sau đây. Hãy thử tưởng tượng rằng hai số đối nhau C - V và D. Từ đó suy ra rằng C + V=0 và C + D=0, tức là C + V=0=C + D. Ghi nhớ các định luật về phép dời hình và về các tính chất của số 0, chúng ta có thể coi là tổng của cả ba số: C, V và D. Hãy thử tìm ra giá trị của V. Điều hợp lý là V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, vì giá trị của C + D, như đã được chấp nhận ở trên, bằng 0. Do đó, V=V + C + D.
Giá trị của D được suy ra theo cùng một cách: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Dựa trên điều này, rõ ràng là V=D.
Để hiểu tại sao "cộng" trên "trừ" lại là "trừ", bạn cần hiểu những điều sau. Vì vậy, đối với phần tử (-C), ngược lại là C và (- (- C)), tức là chúng bằng nhau.
Khi đó rõ ràng là 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Theo đó C x V đối nghịch với (-) C x V nên (-C) x V=- (C x V).
Để có tính chặt chẽ toán học hoàn chỉnh, cũng cần xác nhận rằng 0 x V=0 đối với bất kỳ phần tử nào. Nếu bạn tuân theo logic, thì 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Điều này có nghĩa là việc thêm tích 0 x V không thay đổi số lượng đã đặt theo bất kỳ cách nào. Rốt cuộc, sản phẩm này bằng 0.
Biết tất cả các tiên đề này, bạn không chỉ có thể suy ra được bao nhiêu "cộng" với "trừ", mà còn cả điều gì xảy ra khi bạn nhân các số âm.
Phép nhân và phép chia hai số có dấu "-"
Nếu bạn không đi sâu vào toán họcsắc thái, bạn có thể cố gắng giải thích các quy tắc hoạt động với số âm theo cách đơn giản hơn.
Giả sử rằng C - (-V)=D, do đó C=D + (-V), tức là C=D - V. Chuyển V và nhận C + V=D. Tức là, C + V=C - (-V). Ví dụ này giải thích lý do tại sao trong một biểu thức có hai dấu "trừ" liên tiếp, các dấu hiệu được đề cập phải được đổi thành "cộng". Bây giờ chúng ta hãy đối phó với phép nhân.
(- C) x (-V)=D, bạn có thể cộng và trừ hai tích giống nhau vào biểu thức, điều này sẽ không làm thay đổi giá trị của nó: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V)=D.
Ghi nhớ các quy tắc làm việc với dấu ngoặc, chúng ta nhận được:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Theo đó C x V=(-C) x (-V).
Tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng chia hai số âm sẽ được một số dương.
Quy tắc toán học chung
Tất nhiên, cách giải thích này không phù hợp với học sinh tiểu học mới bắt đầu học các số âm trừu tượng. Tốt hơn là họ nên giải thích trên các vật thể nhìn thấy, thao tác với thuật ngữ quen thuộc qua kính nhìn. Ví dụ, đồ chơi được phát minh, nhưng không hiện có nằm ở đó. Chúng có thể được hiển thị bằng dấu "-". Phép nhân của hai vật thể đang nhìn sẽ chuyển chúng đến một thế giới khác, tương đương với hiện tại, tức là, kết quả là chúng ta có các số dương. Nhưng phép nhân một số âm trừu tượng với một số dương chỉ cho kết quả quen thuộc với mọi người. Bởi vì "cộng"nhân với "trừ" cho "trừ". Đúng, ở lứa tuổi tiểu học, trẻ em không thực sự cố gắng nghiên cứu sâu hơn tất cả các sắc thái toán học.
Mặc dù, nếu bạn đối mặt với sự thật, đối với nhiều người, ngay cả với trình độ học vấn cao hơn, nhiều quy tắc vẫn còn là một bí ẩn. Mọi người đều coi những gì giáo viên dạy họ là điều hiển nhiên, không ngại đi sâu vào tất cả những điều phức tạp mà toán học gặp phải. "Trừ" trên "trừ" cho một "cộng" - mọi người đều biết về điều này mà không có ngoại lệ. Điều này đúng cho cả số nguyên và số phân số.
