Khi nghiên cứu hoàn toàn bất kỳ hình không gian nào, điều quan trọng là phải biết cách tính thể tích của nó. Bài viết này cung cấp công thức về thể tích của một hình chóp tứ giác đều và cũng chỉ ra cách sử dụng công thức này bằng cách sử dụng một ví dụ về giải các bài toán.
Chúng ta đang nói về kim tự tháp nào?
Mọi học sinh trung học đều biết rằng hình chóp là một hình đa diện gồm các tam giác và một đa giác. Cái sau là cơ sở của hình. Các hình tam giác có một cạnh chung với đáy và cắt nhau tại một điểm duy nhất là đỉnh của hình chóp.
Mỗi kim tự tháp được đặc trưng bởi độ dài các cạnh của đáy, độ dài các cạnh bên và chiều cao. Đoạn sau là một đoạn vuông góc, được hạ thấp xuống đáy từ phần trên cùng của hình.
Hình chóp tứ giác đều là hình có đáy là hình vuông, chiều cao cắt hình vuông ở tâm. Có lẽ ví dụ nổi tiếng nhất của loại kim tự tháp này là các công trình kiến trúc bằng đá của người Ai Cập cổ đại. Dưới đây là một bức ảnhkim tự tháp Cheops.
Hình đang nghiên cứu có năm mặt, bốn trong số đó là các tam giác cân giống hệt nhau. Nó cũng được đặc trưng bởi năm đỉnh, bốn trong số đó thuộc về cơ sở và tám cạnh (4 cạnh của cơ sở và 4 cạnh của các mặt bên).
Công thức tính thể tích của hình chóp tứ giác là đúng
Thể tích của hình được đề cập là một phần của không gian được giới hạn bởi năm cạnh. Để tính thể tích này, chúng ta sử dụng sự phụ thuộc sau đây của diện tích hình lát song song với đáy của hình chóp Sztrên tọa độ thẳng đứng z:
Sz=So (h - z / h)2
Ở đây Solà diện tích của hình vuông. Nếu chúng ta thay z=h vào biểu thức đã viết, thì chúng ta sẽ nhận được giá trị 0 cho Sz. Giá trị này của z tương ứng với một lát cắt chỉ chứa đỉnh của hình chóp. Nếu z=0, thì chúng ta nhận được giá trị của vùng cơ sở So.
Có thể dễ dàng tìm được thể tích của một hình chóp nếu bạn biết hàm Sz(z), chỉ cần cắt hình này thành vô số các lớp song song với cơ sở, và sau đó thực hiện hoạt động tích hợp. Tôi làm theo kỹ thuật này, chúng tôi nhận được:
V=∫0h(Sz)dz=-S0 (h-z)3/ (3h2) |0h=1/3S0 h.
Vì S0làdiện tích của hình vuông, khi đó, biểu thị cạnh của hình vuông bằng chữ a, ta có công thức về thể tích của một hình chóp tứ giác đều:
V=1/3a2 h.
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng các ví dụ về giải quyết vấn đề để chỉ ra cách áp dụng biểu thức này.
Bài toán xác định thể tích của một hình chóp thông qua cạnh bên và cạnh bên
Hình chóp của một kim tự tháp là chiều cao của hình tam giác bên của nó, được hạ thấp xuống mặt bên của đáy. Vì tất cả các tam giác đều bằng nhau trong một hình chóp đều nên các đỉnh của chúng cũng sẽ giống nhau. Hãy biểu thị độ dài của nó bằng ký hiệu hb. Ký hiệu cạnh bên là b.
Biết rằng đáy của hình chóp là 12 cm và cạnh bên là 15 cm, hãy tìm thể tích của hình chóp tứ giác đều.
Công thức cho thể tích của hình được viết trong đoạn trước chứa hai tham số: độ dài cạnh a và chiều cao h. Hiện tại, chúng tôi không biết bất kỳ người nào trong số họ, vì vậy hãy xem tính toán của họ.
Độ dài cạnh của hình vuông a rất dễ tính nếu bạn sử dụng định lý Pitago cho tam giác vuông, trong đó cạnh huyền là cạnh b và chân là cạnh hbvà một nửa cạnh của cơ sở a / 2. Chúng tôi nhận được:
b2=hb2+ a2/ 4=>
a=2√ (b2- hb2).
Thay các giá trị đã biết từ điều kiện, ta được giá trị a=18 cm.
Để tính chiều cao h của hình chóp, bạn có thể làm hai việc sau: coi một hình chữ nhậtmột tam giác có cạnh huyền-cạnh bên hoặc cạnh huyền-cạnh. Cả hai phương pháp đều bằng nhau và liên quan đến việc thực hiện cùng một số phép toán. Chúng ta hãy tập trung vào việc xem xét một tam giác, trong đó cạnh huyền là cạnh huyền hb. Các chân trong đó sẽ là h và a / 2. Sau đó, chúng tôi nhận được:
h=√ (hb2-a2/ 4)=√ (122- 182/ 4)=7, 937 cm.
Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức cho tập V:
V=1/3a2 h=1/3182 7, 937=857, 196 cm3.
Như vậy, thể tích của một hình chóp tứ giác đều xấp xỉ 0,86 lít.
Thể tích của kim tự tháp Cheops
Bây giờ chúng ta hãy giải quyết một vấn đề thú vị và thực tế quan trọng: tìm thể tích của kim tự tháp lớn nhất ở Giza. Theo các tài liệu, chiều cao ban đầu của tòa nhà là 146,5 mét và chiều dài của phần đế là 230,363 mét. Những con số này cho phép chúng tôi áp dụng công thức để tính V. Chúng tôi nhận được:
V=1/3a2 h=1/3230, 3632 146, 5 ≈ 2591444 m3.
Giá trị kết quả là gần 2,6 triệu m3. Thể tích này tương ứng với thể tích của một khối lập phương có cạnh là 137,4 mét.
