Những bài toán khó là 7 bài toán hay nhất. Mỗi người trong số họ được đề xuất tại một thời điểm bởi các nhà khoa học nổi tiếng, như một quy luật, dưới dạng giả thuyết. Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học trên toàn thế giới đã vắt óc tìm lời giải của họ. Những người thành công sẽ được thưởng một triệu đô la Mỹ do Viện đất sét cung cấp.
Backstory
Năm 1900, nhà toán học vĩ đại người Đức David Hilbert đã trình bày một danh sách gồm 23 bài toán.
Nghiên cứu được thực hiện để giải quyết chúng đã có tác động rất lớn đến nền khoa học của thế kỷ 20. Hiện tại, hầu hết chúng đã không còn là bí ẩn. Trong số các vấn đề chưa được giải quyết hoặc đã được giải quyết một phần là:
- vấn đề về tính nhất quán của các tiên đề số học;
- luật tương hỗ chung trên không gian của bất kỳ trường số nào;
- nghiên cứu toán học về các tiên đề vật lý;
- nghiên cứu các dạng bậc hai đối với số đại số tùy ýtỷ lệ cược;
- vấn đề về sự biện minh chặt chẽ của hình học tính toán của Fyodor Schubert;
- vv
Chưa được khám phá là: vấn đề mở rộng định lý Kronecker nổi tiếng cho bất kỳ vùng đại số nào của tính hợp lý và giả thuyết Riemann.
The Clay Institute
Đây là tên của một tổ chức phi lợi nhuận tư nhân có trụ sở chính tại Cambridge, Massachusetts. Nó được thành lập vào năm 1998 bởi nhà toán học Harvard A. Jeffey và doanh nhân L. Clay. Mục đích của Viện là phổ biến và phát triển kiến thức toán học. Để đạt được điều này, tổ chức trao giải thưởng cho các nhà khoa học và nhà tài trợ cho các nghiên cứu có triển vọng.
Vào đầu thế kỷ 21, Viện Toán học Clay đã trao giải thưởng cho những người giải được những bài toán khó nhất không thể giải được, gọi danh sách của họ là Các bài toán có lời giải Thiên niên kỷ. Chỉ có giả thuyết Riemann được đưa vào Danh sách Hilbert.
Thử thách Thiên niên kỷ
Danh sách của Viện đất sét ban đầu bao gồm:
- Giả thuyết chu trình ẩn;
- phương trình lý thuyết lượng tử Yang-Mills;
- Giả thuyết Poincaré;
- vấn đề về sự bằng nhau của các lớp P và NP;
- Giả thuyết Riemann;
- Phương trình Navier-Stokes, về sự tồn tại và độ mượt của các nghiệm của nó;
- vấn đề Birch-Swinnerton-Dyer.
Những vấn đề toán học mở này rất được quan tâm vì chúng có thể có nhiều cách triển khai thực tế.
Grigory Perelman đã chứng minh điều gì
Vào năm 1900, nhà triết học nổi tiếng Henri Poincaré đã gợi ý rằng bất kỳ đa tạp 3 nhỏ gọn nào được kết nối đơn giản mà không có ranh giới đều là đồng dạng với hình cầu 3 chiều. Bằng chứng của nó trong trường hợp chung đã không được tìm thấy trong một thế kỷ. Chỉ trong năm 2002-2003, nhà toán học St. Petersburg G. Perelman đã xuất bản một số bài báo có lời giải cho bài toán Poincaré. Chúng có tác dụng như một quả bom phát nổ. Vào năm 2010, giả thuyết Poincaré bị loại khỏi danh sách "Các vấn đề chưa được giải quyết" của Viện Clay, và bản thân Perelman được đề nghị nhận một khoản thù lao đáng kể do ông ta, nhưng ông đã từ chối mà không giải thích lý do cho quyết định của mình.
Có thể đưa ra lời giải thích dễ hiểu nhất về điều mà nhà toán học Nga đã chứng minh được bằng cách tưởng tượng rằng một đĩa cao su được kéo lên một chiếc bánh rán (hình xuyến), và sau đó họ cố gắng kéo các cạnh của hình tròn của nó vào một điểm. Rõ ràng điều này là không thể. Một điều khác, nếu bạn thực hiện thí nghiệm này với một quả bóng. Trong trường hợp này, một hình cầu dường như ba chiều, hình thành từ một chiếc đĩa có chu vi được kéo đến một điểm bằng một sợi dây giả định, sẽ là ba chiều theo cách hiểu của một người bình thường, nhưng hai chiều về mặt toán học.
Poincare gợi ý rằng một hình cầu ba chiều là "vật thể" ba chiều duy nhất có bề mặt có thể được co lại thành một điểm, và Perelman đã chứng minh được điều đó. Như vậy, danh sách "Bài toán nan giải" hôm nay gồm 6 bài toán.
Thuyết Yang-Mills
Bài toán này được các tác giả của nó đề xuất vào năm 1954. Công thức khoa học của lý thuyết như sau:đối với bất kỳ nhóm máy đo nhỏ gọn đơn giản nào, lý thuyết không gian lượng tử do Yang và Mills tạo ra tồn tại, đồng thời có khuyết tật khối lượng bằng không.
Nói bằng ngôn ngữ dễ hiểu đối với một người bình thường, tương tác giữa các vật thể tự nhiên (hạt, vật thể, sóng, v.v.) được chia thành 4 loại: điện từ, hấp dẫn, yếu và mạnh. Trong nhiều năm, các nhà vật lý đã cố gắng tạo ra một lý thuyết trường tổng quát. Nó sẽ trở thành một công cụ để giải thích tất cả những tương tác này. Lý thuyết Yang-Mills là một ngôn ngữ toán học mà nó có thể mô tả 3 trong 4 lực lượng chính của tự nhiên. Nó không áp dụng cho trọng lực. Do đó, không thể coi Yang và Mills đã thành công trong việc tạo ra một lý thuyết trường.
Bên cạnh đó, tính không tuyến tính của các phương trình được đề xuất khiến chúng trở nên cực kỳ khó giải. Đối với các hằng số ghép nối nhỏ, chúng có thể được giải gần đúng dưới dạng một chuỗi lý thuyết nhiễu loạn. Tuy nhiên, vẫn chưa rõ làm cách nào để giải các phương trình này bằng cách ghép nối mạnh.
Phương trình Navier-Stokes
Những biểu thức này mô tả các quá trình như dòng không khí, dòng chất lỏng và sự hỗn loạn. Đối với một số trường hợp đặc biệt, các giải pháp phân tích của phương trình Navier-Stokes đã được tìm thấy, nhưng cho đến nay vẫn chưa có ai thành công trong việc thực hiện điều này đối với phương trình tổng quát. Đồng thời, các mô phỏng số cho các giá trị cụ thể của tốc độ, mật độ, áp suất, thời gian, v.v. có thể đạt được kết quả xuất sắc. Người ta vẫn hy vọng rằng ai đó sẽ có thể áp dụng ngược lại các phương trình Navier-Stokeshướng, tức là tính toán các tham số bằng cách sử dụng chúng hoặc chứng minh rằng không có phương pháp giải.
vấn đề Birch-Swinnerton-Dyer
Hạng mục "Các vấn đề chưa được giải quyết" cũng bao gồm giả thuyết do các nhà khoa học Anh từ Đại học Cambridge đề xuất. Thậm chí 2300 năm trước, nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Euclid đã đưa ra một mô tả đầy đủ về các nghiệm của phương trình x2 + y2=z2.
Nếu với mỗi số nguyên tố, chúng ta đếm số điểm trên môđun đường cong, chúng ta nhận được một tập hợp vô hạn các số nguyên. Nếu bạn "gắn" cụ thể nó vào 1 hàm của một biến phức, thì bạn sẽ nhận được hàm Hasse-Weil zeta cho một đường cong bậc ba, được ký hiệu bằng chữ L. Nó chứa thông tin về mô đun hành vi của tất cả các số nguyên tố cùng một lúc.
Brian Birch và Peter Swinnerton-Dyer đã phỏng đoán về đường cong hình elip. Theo đó, cấu trúc và số lượng tập các nghiệm hợp lý của nó có liên quan đến hành vi của hàm L tại danh tính. Phỏng đoán Birch-Swinnerton-Dyer hiện chưa được chứng minh phụ thuộc vào mô tả của các phương trình đại số bậc 3 và là cách tổng quát tương đối đơn giản duy nhất để tính thứ hạng của các đường cong elliptic.
Để hiểu tầm quan trọng thực tế của nhiệm vụ này, đủ để nói rằng trong mật mã hiện đại, toàn bộ lớp hệ thống bất đối xứng dựa trên các đường cong elip và các tiêu chuẩn chữ ký số trong nước dựa trên ứng dụng của chúng.
Sự bình đẳng của các lớp p và np
Nếu phần còn lại của Thử thách Thiên niên kỷ hoàn toàn là toán học, thì phần này cóquan hệ với lý thuyết thực tế của thuật toán. Bài toán liên quan đến sự bình đẳng của các lớp p và np, còn được gọi là bài toán Cooke-Levin, có thể được xây dựng bằng ngôn ngữ dễ hiểu như sau. Giả sử rằng câu trả lời khẳng định cho một câu hỏi nhất định có thể được kiểm tra đủ nhanh, tức là theo thời gian đa thức (PT). Sau đó, câu trả lời có đúng là câu trả lời cho nó có thể được tìm thấy khá nhanh chóng không? Thậm chí đơn giản hơn vấn đề này nghe có vẻ như thế này: nó thực sự không khó để kiểm tra lời giải của vấn đề hơn là tìm ra nó? Nếu sự bằng nhau của các lớp p và np từng được chứng minh, thì tất cả các bài toán lựa chọn có thể được giải quyết cho PV. Hiện tại, nhiều chuyên gia nghi ngờ sự thật của tuyên bố này, mặc dù họ không thể chứng minh điều ngược lại.
Giả thuyết Riemann
Cho đến năm 1859, không có mô hình nào được tìm thấy mô tả cách các số nguyên tố được phân phối giữa các số tự nhiên. Có lẽ điều này là do thực tế là khoa học đã giải quyết các vấn đề khác. Tuy nhiên, vào giữa thế kỷ 19, tình hình đã thay đổi, và chúng trở thành một trong những thứ có liên quan nhất mà toán học bắt đầu giải quyết.
Giả thuyết Riemann, xuất hiện trong thời kỳ này, là giả định rằng có một mô hình nhất định trong phân phối các số nguyên tố.
Ngày nay, nhiều nhà khoa học hiện đại tin rằng nếu điều đó được chứng minh, thì sẽ cần phải sửa đổi nhiều nguyên tắc cơ bản của mật mã hiện đại, vốn là cơ sở của một phần quan trọng trong các cơ chế của thương mại điện tử.
Theo giả thuyết Riemann, nhân vậtsự phân bố của các số nguyên tố có thể khác đáng kể so với những gì hiện được giả định. Thực tế là cho đến nay chưa có hệ thống nào được phát hiện trong phân phối các số nguyên tố. Ví dụ, có bài toán "sinh đôi", hiệu giữa là 2. Các số này là 11 và 13, 29. Các số nguyên tố khác tạo thành cụm. Đó là 101, 103, 107, v.v … Các nhà khoa học từ lâu đã nghi ngờ rằng những cụm như vậy tồn tại giữa các số nguyên tố rất lớn. Nếu chúng được tìm thấy, thì sức mạnh của các khóa tiền điện tử hiện đại sẽ được đặt ra.
Giả thuyết chu trình ẩn
Vấn đề vẫn chưa được giải quyết này được đưa ra vào năm 1941. Giả thuyết của Hodge cho thấy khả năng gần đúng hình dạng của bất kỳ vật thể nào bằng cách "dán" các vật thể đơn giản có kích thước cao hơn lại với nhau. Phương pháp này đã được biết đến và sử dụng thành công từ lâu. Tuy nhiên, vẫn chưa biết mức độ đơn giản hóa có thể được thực hiện.
Bây giờ bạn biết những vấn đề nan giải đang tồn tại ở thời điểm này. Chúng là đối tượng nghiên cứu của hàng nghìn nhà khoa học trên thế giới. Người ta vẫn hy vọng rằng chúng sẽ được giải quyết trong tương lai gần và ứng dụng thực tế của chúng sẽ giúp nhân loại bước vào một vòng phát triển công nghệ mới.
