Học sinh giỏi toán cao hơn nên biết rằng tổng của một số chuỗi lũy thừa thuộc khoảng hội tụ của chuỗi đã cho là một hàm phân biệt liên tục và không giới hạn số lần. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể khẳng định rằng một hàm f (x) tùy ý đã cho là tổng của một chuỗi lũy thừa nào đó không? Tức là với điều kiện nào thì hàm số f (x) có thể được biểu diễn bằng một chuỗi lũy thừa? Tầm quan trọng của câu hỏi này nằm ở chỗ có thể thay thế gần đúng hàm f (x) bằng tổng của một vài số hạng đầu tiên của chuỗi lũy thừa, tức là bằng một đa thức. Việc thay thế một hàm như vậy bằng một biểu thức khá đơn giản - một đa thức - cũng thuận tiện khi giải một số bài toán phân tích toán học, cụ thể là: khi giải tích phân, khi tính phương trình vi phân, v.v.
Người ta đã chứng minh rằng đối với một số hàm f (х) trong đó các đạo hàm lên đến (n + 1) bậc, kể cả bậc cuối cùng, có thể được tính trong vùng lân cận (α- R; x0+ R) của một số điểm x=α thì công thức là hợp lệ:
Công thức này được đặt theo tên của nhà khoa học nổi tiếng Brook Taylor. Loạt thu được từ phần trước được gọi là loạt Maclaurin:
Quy tắc có thể mở rộng trong loạt Maclaurin:
- Xác định phái sinh của đơn hàng thứ nhất, thứ hai, thứ ba ….
- Tính giá trị của các đạo hàm tại x=0.
- Ghi lại chuỗi Maclaurin cho hàm này, sau đó xác định khoảng thời gian hội tụ của nó.
- Xác định khoảng (-R; R) mà phần còn lại của công thức Maclaurin
R (x) -> 0 cho n -> vô cùng. Nếu tồn tại một hàm, hàm f (x) trong nó phải trùng với tổng của chuỗi Maclaurin.
Bây giờ hãy xem xét dòng Maclaurin cho các chức năng riêng lẻ.
1. Vì vậy, kết quả đầu tiên sẽ là f (x)=ex. Tất nhiên, theo các tính năng của nó, một hàm như vậy có các dẫn xuất của các đơn hàng khác nhau và f(k)(x)=ex, trong đó k bằng tất cả số tự nhiên. Hãy thay x=0. Ta nhận được f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… sẽ giống như thế này:
2. Chuỗi Maclaurin cho hàm f (x)=sin x. Làm rõ ngay rằng hàm với mọi ẩn số sẽ có đạo hàm, ngoài f' (x)=cos x=sin (x + n / 2), f ' '(x)=-sin x=sin (x + 2n / 2)…, f(k)(x)=sin (x + kn / 2), trong đó k bằng một số tự nhiên bất kỳ. Tức là, sau khi thực hiện các phép tính đơn giản, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng chuỗi cho f (x)=sin x sẽ có dạng như sau:
3. Bây giờ chúng ta hãy thử xem xét hàm f (x)=cos x. Cô ấy cho tất cả những điều chưa biếtcó các đạo hàm theo thứ tự tùy ý, và | f(k)(x) |=| cos (x + kp / 2) | <=1, k=1, 2… Một lần nữa, sau khi thực hiện một số phép tính, chúng ta nhận được rằng chuỗi cho f (x)=cos x sẽ giống như sau:
Vì vậy, chúng tôi đã liệt kê các hàm quan trọng nhất có thể được mở rộng trong dòng Maclaurin, nhưng chúng được bổ sung bởi dòng Taylor cho một số hàm. Bây giờ chúng tôi sẽ liệt kê chúng. Cũng cần lưu ý rằng chuỗi Taylor và Maclaurin là một phần quan trọng của thực hành giải chuỗi trong toán học cao hơn. Vì vậy, chuỗi Taylor.
1. Đầu tiên sẽ là một chuỗi cho f-ii f (x)=ln (1 + x). Như trong các ví dụ trước, với f (x)=ln (1 + x), chúng ta có thể thêm một chuỗi bằng cách sử dụng dạng tổng quát của chuỗi Maclaurin. tuy nhiên, đối với chức năng này, chuỗi Maclaurin có thể được lấy đơn giản hơn nhiều. Sau khi tích phân một chuỗi hình học nhất định, chúng ta nhận được một chuỗi cho f (x)=ln (1 + x) của mẫu này:
2. Và phần thứ hai, sẽ là phần cuối cùng trong bài viết của chúng tôi, sẽ là một chuỗi cho f (x) u003d arctg x. Với x thuộc khoảng [-1; 1] thì khai triển có giá trị:
Thế là xong. Bài báo này đã xem xét chuỗi Taylor và Maclaurin được sử dụng phổ biến nhất trong toán học cao hơn, đặc biệt là ở các trường đại học kinh tế và kỹ thuật.
