Hình trụ là một trong những hình ba chiều đơn giản được học trong chương trình hình học ở trường (hình học phần rắn). Trong trường hợp này, các vấn đề thường nảy sinh trong việc tính toán thể tích và khối lượng của một hình trụ, cũng như trong việc xác định diện tích bề mặt của nó. Câu trả lời cho các câu hỏi được đánh dấu được đưa ra trong bài viết này.
Hình trụ là gì?
Trước khi đi đến câu trả lời cho câu hỏi khối lượng của hình trụ và thể tích của nó là bao nhiêu, cần xem xét hình không gian này là gì. Cần lưu ý ngay rằng một hình trụ là một vật thể ba chiều. Nghĩa là, trong không gian, bạn có thể đo ba tham số của nó dọc theo mỗi trục trong một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes. Trên thực tế, để xác định rõ ràng kích thước của một hình trụ, chỉ cần biết hai trong số các thông số của nó là đủ.
Cylinder là một hình ba chiều được tạo thành bởi hai hình tròn và một bề mặt hình trụ. Để thể hiện rõ ràng hơn đối tượng này, chỉ cần lấy một hình chữ nhật và bắt đầu xoay nó xung quanh bất kỳ cạnh nào của nó, đó sẽ là trục quay. Trong trường hợp này, hình chữ nhật xoay sẽ mô tả hình dạngvòng quay - hình trụ.
Hai mặt tròn được gọi là đáy của hình trụ, chúng được đặc trưng bởi một bán kính nhất định. Khoảng cách giữa các chân đế được gọi là chiều cao. Hai đế được nối với nhau bằng một mặt trụ. Đường thẳng đi qua tâm của cả hai đường tròn được gọi là trục của hình trụ.
Thể tích và diện tích bề mặt
Như bạn thấy ở trên, hình trụ được xác định bởi hai tham số: chiều cao h và bán kính của đáy là r. Biết được các thông số này, có thể tính toán tất cả các đặc điểm khác của vật thể được xem xét. Dưới đây là những cái chính:
- Diện tích của các căn cứ. Giá trị này được tính theo công thức: S1=2pir2, trong đó pi là pi bằng 3, 14. Chữ số 2 trong công thức xuất hiện vì hình trụ có hai đáy giống nhau.
- Diện tích bề mặt hình trụ. Nó có thể được tính như sau: S2=2pirh. Có thể hiểu đơn giản công thức này: nếu cắt một mặt trụ theo phương thẳng đứng từ mặt đáy này sang mặt đáy khác và mở rộng thì sẽ được một hình chữ nhật, chiều cao bằng chiều cao của hình trụ và chiều rộng sẽ tương ứng với chu vi của đáy của hình ba chiều. Vì diện tích của hình chữ nhật thu được là tích các cạnh của nó, bằng h và 2pir, nên công thức trên thu được.
- Diện tích bề mặt xi lanh. Bằng tổng diện tích của S1và S2, ta được: S3=S1+ S2=2pir2+ 2pirh=2pir(r + h).
- Khối lượng. Giá trị này rất dễ tìm, bạn chỉ cần nhân diện tích của một cơ sở với chiều cao của hình: V=(S1/ 2)h=pir2 h.
Xác định khối lượng của hình trụ
Cuối cùng, bạn nên đi thẳng vào chủ đề của bài viết. Làm thế nào để xác định khối lượng của một hình trụ? Để làm điều này, bạn cần biết khối lượng của nó, công thức tính toán đã được trình bày ở trên. Và mật độ của chất mà nó bao gồm. Khối lượng được xác định bằng một công thức đơn giản: m=ρV, trong đó ρ là khối lượng riêng của vật chất tạo thành vật thể được đề cập.
Khái niệm khối lượng riêng đặc trưng cho khối lượng của một chất nằm trong một đơn vị thể tích không gian. Ví dụ. Được biết, sắt có tỷ trọng lớn hơn gỗ. Điều này có nghĩa là trong trường hợp khối lượng sắt và gỗ bằng nhau, thì vật trước sẽ có khối lượng lớn hơn nhiều so với vật sau (khoảng 16 lần).
Tính khối lượng của một khối trụ đồng chất
Hãy xem xét một vấn đề đơn giản. Cần tìm khối lượng của một hình trụ làm bằng đồng. Để xác định, cho hình trụ có đường kính 20 cm và chiều cao 10 cm.
Trước khi bắt đầu giải quyết vấn đề, bạn nên xử lý dữ liệu nguồn. Bán kính của hình trụ bằng một nửa đường kính của nó, nghĩa là r=20/2=10 cm, trong khi chiều cao là h=10 cm. Vì hình trụ xét trong bài toán được làm bằng đồng, do đó, quy về dữ liệu tham khảo, chúng tôi viết ra giá trị mật độ của vật liệu này: ρ=8, 96 g / cm3(đối với nhiệt độ 20 ° C).
Bây giờ bạn có thể bắt đầu giải quyết vấn đề. Đầu tiên, hãy tính thể tích: V=pir2 h=3, 14(10)2 10=3140 cm3. Khi đó khối lượng của hình trụ sẽ là: m=ρV=8,963140=28134 gam hoặc xấp xỉ 28 kilôgam.
Bạn nên chú ý đến thứ nguyên của các đơn vị trong quá trình sử dụng chúng trong các công thức tương ứng. Vì vậy, trong bài toán, tất cả các thông số được trình bày dưới dạng cm và gam.
Hình trụ đồng nhất và rỗng
Từ kết quả thu được ở trên, có thể thấy rằng một khối trụ bằng đồng có kích thước tương đối nhỏ (10 cm) lại có khối lượng lớn (28 kg). Điều này không chỉ do nó được làm bằng vật liệu nặng mà còn do nó đồng nhất. Điều quan trọng cần hiểu là công thức tính khối lượng ở trên chỉ có thể được sử dụng nếu hình trụ hoàn toàn (bên ngoài và bên trong) được làm bằng cùng một vật liệu, tức là nó đồng nhất.
Trong thực tế, hình trụ rỗng thường được sử dụng (ví dụ, thùng hình trụ để đựng nước). Có nghĩa là, chúng được làm từ các tấm mỏng của một số vật liệu, nhưng bên trong chúng trống rỗng. Đối với hình trụ rỗng, không thể sử dụng công thức tính khối lượng đã chỉ ra.
Tính khối lượng của hình trụ rỗng
Thật thú vị khi tính toán khối lượng của một hình trụ đồng sẽ có khối lượng bao nhiêu nếu bên trong nó rỗng. Ví dụ, hãy để nó được làm từ một tấm đồng mỏng có độ dày chỉ d=2 mm.
Để giải quyết vấn đề này, bạn cần phải tìm khối lượng của chính đồng, từ đó vật được tạo ra. Không phải là thể tích của khối trụ. Bởi vì độ dàytấm nhỏ so với kích thước của hình trụ (d=2 mm và r=10 cm), thì thể tích đồng mà vật được tạo ra có thể được tìm thấy bằng cách nhân diện tích toàn bộ bề mặt của hình trụ với bề dày của tấm đồng, ta được: V=dS3=d2pir(r + h). Thay số liệu của bài toán trước, ta được: V=0,223, 1410(10 + 10)=251,2 cm3. Có thể thu được khối lượng của một hình trụ rỗng bằng cách nhân khối lượng đồng thu được, cần thiết để sản xuất nó với khối lượng riêng của đồng: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g hoặc 2,3 kg. Tức là, hình trụ rỗng được coi là nặng hơn 12 (28, 1/2, 3) lần so với một hình trụ đồng nhất.
