Số học là gì? Nhân loại bắt đầu sử dụng các con số và làm việc với chúng từ khi nào? Nguồn gốc của những khái niệm hàng ngày như số, phân số, phép trừ, phép cộng và phép nhân, những thứ mà một người đã trở thành một phần không thể tách rời trong cuộc sống và thế giới quan của anh ta, đi về đâu? Những bộ óc Hy Lạp cổ đại đã ngưỡng mộ các môn khoa học như toán học, số học và hình học như những bản giao hưởng đẹp nhất của logic nhân loại.
Có thể số học không sâu như các ngành khoa học khác, nhưng điều gì sẽ xảy ra với họ nếu một người quên bảng cửu chương sơ cấp? Đối với chúng ta, thói quen tư duy logic, sử dụng các con số, phân số và các công cụ khác, không hề dễ dàng đối với con người và trong một thời gian dài, tổ tiên của chúng ta đã không thể tiếp cận được. Trên thực tế, trước sự phát triển của số học, không có lĩnh vực kiến thức nào của con người là thực sự khoa học.
Số học là ABC của toán học
Số học là khoa học về các con số, mà bất kỳ người nào cũng bắt đầu làm quen với thế giới hấp dẫn của toán học. Như M. V. Lomonosov đã nói, số học là cánh cổng của học tập, mở ra con đường đến với tri thức thế giới cho chúng ta. Nhưng anh ấy đúngLiệu kiến thức về thế giới có thể tách rời khỏi kiến thức về số và chữ cái, toán học và lời nói không? Có lẽ là ngày xưa, nhưng không phải trong thế giới hiện đại, nơi mà sự phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ tạo ra những quy luật riêng của nó.
Từ "arithmetic" ("arithmos") có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa là "số". Cô ấy nghiên cứu những con số và mọi thứ có thể kết nối với chúng. Đây là thế giới của những con số: các phép toán khác nhau về số, quy tắc số, giải các bài toán liên quan đến phép nhân, phép trừ, v.v.
Người ta thường chấp nhận rằng số học là bước khởi đầu của toán học và là nền tảng vững chắc cho các phần phức tạp hơn của nó, chẳng hạn như đại số, phân tích toán học, toán học cao hơn, v.v.
Đối tượng chính của số học
Cơ sở của số học là một số nguyên, các tính chất và mẫu của chúng được xem xét trong lý thuyết số học hoặc số học cao hơn. Trên thực tế, sức mạnh của toàn bộ tòa nhà - toán học - phụ thuộc vào cách thực hiện đúng cách tiếp cận khi coi một khối nhỏ như một số tự nhiên.
Vì vậy, câu hỏi số học là gì có thể được trả lời một cách đơn giản: đó là khoa học về các con số. Vâng, về bảy, chín thông thường và tất cả cộng đồng đa dạng này. Và cũng như bạn không thể viết những bài thơ hay hoặc thậm chí tầm thường nhất nếu không có bảng chữ cái sơ cấp, bạn không thể giải được ngay cả một bài toán sơ đẳng mà không có số học. Đó là lý do tại sao tất cả các ngành khoa học chỉ tiến bộ sau sự phát triển của số học và toán học, trước đó chỉ là một tập hợp các giả định.
Số học là một khoa học ảo
Số học - khoa học tự nhiên hay ma đề là gì? Trên thực tế, như các nhà triết học Hy Lạp cổ đại đã lập luận, cả con số và con số đều không tồn tại trong thực tế. Đây chỉ là một bóng ma được tạo ra trong suy nghĩ của con người khi xem xét môi trường với các quá trình của nó. Thật vậy, một con số là gì? Không nơi nào xung quanh chúng ta nhìn thấy bất cứ thứ gì như thế có thể được gọi là một con số, đúng hơn, một con số là một cách trí óc con người nghiên cứu thế giới. Hoặc có thể đó là nghiên cứu về bản thân chúng ta từ bên trong? Các triết gia đã tranh cãi về điều này trong nhiều thế kỷ liên tiếp, vì vậy chúng tôi không cam kết đưa ra câu trả lời đầy đủ. Bằng cách này hay cách khác, số học đã có được vị trí vững chắc đến mức trong thế giới hiện đại, không ai có thể được coi là thích nghi với xã hội mà không biết những điều cơ bản của nó.
Số tự nhiên xuất hiện như thế nào
Tất nhiên, đối tượng chính mà số học vận hành là một số tự nhiên, chẳng hạn như 1, 2, 3, 4,…, 152… v.v. Số học của các số tự nhiên là kết quả của việc đếm các vật thể bình thường, chẳng hạn như con bò trên đồng cỏ. Tuy nhiên, định nghĩa "nhiều" hoặc "ít" đã không còn phù hợp với mọi người và họ phải phát minh ra các kỹ thuật đếm tiên tiến hơn.
Nhưng bước đột phá thực sự đã xảy ra khi suy nghĩ của con người đạt đến mức có thể chỉ định 2 kg, 2 viên gạch, và 2 bộ phận có cùng số "hai". Thực tế là bạn cần phải trừu tượng hóa từ các hình thức, tính chất và ý nghĩa của các đối tượng, sau đó bạn có thể thực hiện một số hành động với các đối tượng này dưới dạng số tự nhiên. Do đó, được sinh ra là số học của các con số,ngày càng phát triển và mở rộng, chiếm vị trí ngày càng lớn trong đời sống xã hội.
Những khái niệm chuyên sâu về số như số không và số âm, phân số, các ký hiệu của số bằng số và theo những cách khác, có một lịch sử phát triển phong phú và thú vị.
Người Ai Cập số học và thực tế
Hai người bạn đồng hành lâu đời nhất của con người trong việc khám phá thế giới xung quanh chúng ta và giải quyết các vấn đề hàng ngày là số học và hình học.
Người ta tin rằng lịch sử số học bắt nguồn từ Phương Đông Cổ đại: ở Ấn Độ, Ai Cập, Babylon và Trung Quốc. Như vậy, giấy cói Rinda có nguồn gốc từ Ai Cập (được đặt tên như vậy vì nó thuộc về chủ sở hữu cùng tên), có niên đại từ thế kỷ 20. BC, ngoài các dữ liệu có giá trị khác, còn chứa khai triển một phân số thành tổng các phân số có mẫu số khác nhau và tử số bằng một.
Ví dụ: 2/73=1/60 + 1/219 + 1/292 + 1 / 365.
Nhưng điểm của một sự phân hủy phức tạp như vậy là gì? Thực tế là cách tiếp cận của người Ai Cập không chấp nhận những suy nghĩ trừu tượng về các con số, trái lại, các phép tính chỉ được thực hiện cho các mục đích thực tế. Đó là, người Ai Cập sẽ tham gia vào một thứ như tính toán, chẳng hạn chỉ để xây dựng một lăng mộ. Cần phải tính toán chiều dài của cạnh của cấu trúc, và điều này buộc một người phải ngồi xuống phía sau tấm giấy cói. Như bạn có thể thấy, sự tiến bộ của người Ai Cập trong tính toán, thay vì xây dựng hàng loạt hơn là do tình yêu dành cho khoa học.
Vì lý do này, các phép tính tìm thấy trên giấy papyri không thể được gọi là phản ánh về chủ đề phân số. Rất có thể, đây là một sự chuẩn bị thiết thực giúp ích cho tương lai.giải các bài toán về phân số. Người Ai Cập cổ đại không biết bảng cửu chương, họ thực hiện những phép tính khá dài, chia nhỏ thành nhiều phép tính con. Có lẽ đây là một trong những nhiệm vụ phụ đó. Có thể dễ dàng nhận thấy rằng việc tính toán với các phôi như vậy là rất tốn công sức và không hề nhẹ nhàng. Có thể vì lý do này mà chúng ta không thấy được sự đóng góp to lớn của Ai Cập cổ đại đối với sự phát triển của toán học.
Hy Lạp cổ đại và triết học số học
Nhiều kiến thức về Phương Đông Cổ đại đã được người Hy Lạp cổ đại, những người nổi tiếng yêu thích những suy tư trừu tượng và triết học, nắm vững thành công. Họ không ít quan tâm đến thực hành, nhưng rất khó để tìm ra những nhà lý thuyết và nhà tư tưởng giỏi nhất. Điều này đã mang lại lợi ích cho khoa học, vì không thể đi sâu vào số học mà không tách nó ra khỏi thực tế. Chắc chắn, bạn có thể nhân 10 con bò và 100 lít sữa, nhưng bạn sẽ không đi được bao xa.
Người Hy Lạp có tư duy sâu sắc đã để lại một dấu ấn quan trọng trong lịch sử và các tác phẩm của họ đã để lại cho chúng ta:
- Euclid và các Nguyên tố.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Và tất nhiên, người Hy Lạp, những người đã biến mọi thứ thành triết học, và đặc biệt là những người kế tục công trình của Pythagoras, bị mê hoặc bởi những con số đến nỗi họ coi chúng là bí ẩn của sự hài hòa của thế giới. Các con số đã được nghiên cứu và nghiên cứu đến mức một số trong số chúng và các cặp của chúng đã được gán các tính chất đặc biệt. Ví dụ:
- Số hoàn hảo là những số có giá trị bằng tổng của tất cả các ước của chúng, ngoại trừ chính số đó (6=1 + 2 + 3).
- Những con số thân thiện là những con số đó, một trong số đóbằng tổng của tất cả các ước số thứ hai và ngược lại (người Pitago chỉ biết một cặp như vậy: 220 và 284).
Người Hy Lạp, những người tin rằng khoa học nên được yêu thích và không theo đuổi nó vì lợi nhuận, đã đạt được thành công lớn bằng cách khám phá, chơi và thêm các con số. Cần lưu ý rằng không phải tất cả các nghiên cứu của họ đều được sử dụng rộng rãi, một số nghiên cứu trong số họ vẫn chỉ "để làm đẹp".
Các nhà tư tưởng phương Đông thời Trung Cổ
Theo cách tương tự, vào thời Trung cổ, số học có được sự phát triển của nó đối với những người cùng thời ở phương Đông. Người da đỏ đã cho chúng tôi những con số mà chúng tôi tích cực sử dụng, chẳng hạn như một khái niệm như "số không", và phiên bản vị trí của phép tính, quen thuộc với nhận thức hiện đại. Từ Al-Kashi, người làm việc ở Samarkand vào thế kỷ 15, chúng tôi được thừa hưởng các phân số thập phân, nếu thiếu nó thì rất khó để hình dung số học hiện đại.
Theo nhiều cách, sự quen thuộc của Châu Âu với những thành tựu của phương Đông trở nên khả thi nhờ công của nhà khoa học người Ý Leonardo Fibonacci, người đã viết tác phẩm "The Book of the Abacus", giới thiệu những đổi mới của phương Đông. Nó trở thành nền tảng cho sự phát triển của đại số và số học, các hoạt động nghiên cứu và khoa học ở Châu Âu.
Nga số học
Và, cuối cùng, số học, đã tìm thấy vị trí của mình và bắt rễ ở châu Âu, bắt đầu lan sang các vùng đất của Nga. Số học đầu tiên của Nga được xuất bản vào năm 1703 - đó là một cuốn sách về số học của Leonty Magnitsky. Trong một thời gian dài, nó vẫn là cuốn sách giáo khoa duy nhất về toán học. Nó chứa những khoảnh khắc ban đầu của đại số và hình học. Các con số được sử dụng trong các ví dụ của sách giáo khoa số học đầu tiên ở Nga là tiếng Ả Rập. Mặc dù chữ số Ả Rập đã được nhìn thấy trước đây, trên các bản khắc có niên đại từ thế kỷ 17.
Bản thân cuốn sách được trang trí bằng hình ảnh của Archimedes và Pythagoras, và trên tờ đầu tiên - hình ảnh số học dưới hình dạng của một người phụ nữ. Cô ấy ngồi trên một ngai vàng, dưới cô ấy được viết bằng tiếng Do Thái một từ biểu thị tên của Thiên Chúa, và trên các bậc thang dẫn đến ngai vàng, những từ “chia”, “nhân”, “cộng”, v.v. hiện được coi là phổ biến.
Sách giáo khoa dày 600 trang bao gồm cả những điều cơ bản như bảng cộng và nhân cũng như các ứng dụng trong khoa học hàng hải.
Không có gì ngạc nhiên khi tác giả chọn hình ảnh các nhà tư tưởng Hy Lạp cho cuốn sách của mình, bởi bản thân ông đã bị vẻ đẹp của số học quyến rũ, cho rằng: "Số học là tử số, có nghệ thuật trung thực, không gì sánh được …". Cách tiếp cận số học này khá hợp lý, bởi vì nó được giới thiệu rộng rãi có thể được coi là sự khởi đầu cho sự phát triển nhanh chóng của tư tưởng khoa học và giáo dục phổ thông ở Nga.
Số nguyên tố không chuẩn
Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ có 2 ước dương: 1 và chính nó. Tất cả các số khác, ngoại trừ số 1, được gọi là hợp số. Ví dụ về số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11 và tất cả các số khác không có ước số nào khác ngoài 1 và chính nó.
Đối với số 1, nó nằm trên một tài khoản đặc biệt - có một thỏa thuận rằng nó không được coi là đơn giản cũng không phải là tổng hợp. Thoạt nhìn đơn giản, một con số đơn giản ẩn chứa nhiều bí ẩn chưa được giải đáp trong chính nó.
Định lý Euclid nói rằng có vô số số nguyên tố và Eratosthenes đã phát minh ra một "sàng" số học đặc biệt giúp loại bỏ các số không phải nguyên tố, chỉ để lại các số đơn giản.
Bản chất của nó là gạch dưới con số đầu tiên không được gạch bỏ, và sau đó gạch bỏ những con số là bội số của nó. Chúng tôi lặp lại quy trình này nhiều lần - và chúng tôi nhận được một bảng các số nguyên tố.
Định lý Cơ bản của Số học
Trong số các quan sát về số nguyên tố, định lý cơ bản của số học cần được đề cập đến một cách đặc biệt.
Định lý cơ bản của số học nói rằng bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 1 đều là số nguyên tố hoặc nó có thể được phân tách thành tích các số nguyên tố theo thứ tự của các thừa số và theo một cách duy nhất.
Định lý chính của số học được chứng minh là khá phức tạp và việc hiểu nó không còn giống như những điều cơ bản đơn giản nhất nữa.
Thoạt nhìn, số nguyên tố là một khái niệm cơ bản, nhưng thực tế không phải vậy. Vật lý học cũng từng coi nguyên tử là cơ bản, cho đến khi nó tìm thấy toàn bộ vũ trụ bên trong nó. Một câu chuyện tuyệt vời của nhà toán học Don Tzagir "Năm mươi triệu số nguyên tố đầu tiên" dành riêng cho các số nguyên tố.
Từ "ba quả táo" đến luật suy diễn
Điều thực sự có thể được gọi là nền tảng vững chắc của tất cả các ngành khoa học là các quy luật số học. Ngay cả trong thời thơ ấu, mọi người đều phải đối mặt với số học, nghiên cứu số lượng chân và tay của búp bê,số lượng hình khối, quả táo, v.v. Đây là cách chúng tôi nghiên cứu số học, sau đó chuyển sang các quy tắc phức tạp hơn.
Tất cả cuộc sống của chúng ta đều giúp chúng ta sáng tạo ra những quy tắc số học, những quy tắc đã trở thành quy tắc hữu ích nhất đối với con người trong tất cả những gì khoa học mang lại. Nghiên cứu về các con số là "arithmetic-baby", giới thiệu một người với thế giới của những con số dưới dạng các con số trong thời thơ ấu.
Số học cao hơn là một môn khoa học suy diễn nghiên cứu các quy luật của số học. Chúng tôi biết hầu hết họ, mặc dù chúng tôi có thể không biết chính xác từ ngữ của họ.
Luật cộng và nhân
Hai số tự nhiên a và b bất kỳ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng a + b, cũng sẽ là một số tự nhiên. Các luật sau áp dụng cho phép bổ sung:
- Giao hoán, nói rằng tổng không thay đổi so với việc sắp xếp lại các số hạng, hoặc a + b=b + a.
- Liên kết, nói rằng tổng không phụ thuộc vào cách các số hạng được nhóm theo vị trí, hoặc a + (b + c)=(a + b) + c.
Các quy tắc số học, chẳng hạn như phép cộng, là một trong những quy tắc cơ bản nhất, nhưng chúng được sử dụng bởi tất cả các ngành khoa học, chưa kể đến cuộc sống hàng ngày.
Hai số tự nhiên a và b bất kỳ có thể được biểu diễn dưới dạng tích ab hoặc ab, cũng là một số tự nhiên. Các luật giao hoán và liên kết tương tự áp dụng cho sản phẩm khi bổ sung:
- ab=ba;
- a(bc)=(ab)c.
tôi tự hỏirằng có một luật hợp nhất phép cộng và phép nhân, còn được gọi là luật phân phối hoặc phân phối:
a (b + c)=ab + ac
Luật này thực sự dạy chúng ta làm việc với các dấu ngoặc bằng cách mở rộng chúng, do đó chúng ta có thể làm việc với các công thức phức tạp hơn. Đây là những định luật sẽ hướng dẫn chúng ta vượt qua thế giới kỳ lạ và phức tạp của đại số.
Quy luật số học
Quy luật trật tự được logic của con người sử dụng hàng ngày, so sánh đồng hồ và đếm tiền giấy. Và, tuy nhiên, nó cần được chính thức hóa dưới dạng các công thức cụ thể.
Nếu chúng ta có hai số tự nhiên a và b thì có thể chọn các phương án sau:
- a bằng b hoặc a=b;
- a nhỏ hơn b hoặc a < b;
- a lớn hơn b hoặc a > b.
Trong ba lựa chọn, chỉ có một lựa chọn có thể công bằng. Luật cơ bản điều chỉnh thứ tự nói: nếu a < b và b < c, thì a< c.
Cũng có luật liên quan đến thứ tự của phép nhân và phép cộng: nếu a< là b thì a + c < b + c và ac< bc.
Quy luật số học dạy chúng ta làm việc với các con số, dấu hiệu và dấu ngoặc, biến mọi thứ thành một bản giao hưởng hài hòa của các con số.
Phép tính có vị trí và không có vị trí
Có thể nói con số là một ngôn ngữ toán học, tính tiện lợi của nó phụ thuộc rất nhiều. Có nhiều hệ thống số, giống như bảng chữ cái của các ngôn ngữ khác nhau, khác biệt với nhau.
Hãy xem xét các hệ thống số từ quan điểm về ảnh hưởng của vị trí đối với giá trị định lượngsố ở vị trí này. Vì vậy, ví dụ, hệ thống La Mã không có vị trí, trong đó mỗi số được mã hóa bởi một tập hợp các ký tự đặc biệt nhất định: I / V / X / L / C / D / M. Chúng tương ứng bằng các số 1 / 5/10/50/100/500/1000. Trong một hệ thống như vậy, số không thay đổi định nghĩa định lượng của nó tùy thuộc vào vị trí của nó: thứ nhất, thứ hai, v.v. Để có được các số khác, bạn cần thêm các số cơ sở. Ví dụ:
- DCC=700.
- CCM=800.
Hệ thống số quen thuộc hơn với chúng ta bằng cách sử dụng chữ số Ả Rập là vị trí. Trong một hệ thống như vậy, chữ số của một số xác định số chữ số, ví dụ, các số có ba chữ số: 333, 567, v.v. Trọng số của bất kỳ chữ số nào phụ thuộc vào vị trí mà chữ số này hoặc chữ số đó nằm, ví dụ: số 8 ở vị trí thứ hai có giá trị là 80. Đây là điển hình cho hệ thập phân, có các hệ vị trí khác chẳng hạn., nhị phân.
Số học nhị phân
Chúng ta đã quen thuộc với hệ thập phân, bao gồm các số có một chữ số và nhiều chữ số hàng đơn vị. Số bên trái của số có nhiều chữ số gấp mười lần số bên phải. Vì vậy, chúng ta đã quen với việc đọc 2, 17, 467, v.v. Phần được gọi là "số học nhị phân" có một logic và cách tiếp cận hoàn toàn khác. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì số học nhị phân được tạo ra không phải cho logic của con người, mà cho logic máy tính. Nếu số học của các con số bắt nguồn từ việc đếm các đối tượng, được trừu tượng hóa thêm từ các thuộc tính của đối tượng thành số học "trần", thì điều này sẽ không hoạt động với máy tính. Để có thể chia sẻvới kiến thức về máy tính của mình, một người đã phải phát minh ra một mô hình giải tích như vậy.
Số học nhị phân hoạt động với bảng chữ cái nhị phân, chỉ bao gồm 0 và 1. Và việc sử dụng bảng chữ cái này được gọi là hệ thống nhị phân.
Sự khác biệt giữa số học nhị phân và số học thập phân là ý nghĩa của vị trí bên trái không còn là 10 mà là 2 lần. Các số nhị phân có dạng 111, 1001,… Làm thế nào để hiểu các số như vậy? Vì vậy, hãy xem xét số 1100:
- Chữ số đầu tiên bên trái là 18=8, nhớ rằng chữ số thứ 4, nghĩa là cần nhân với 2, ta được vị trí 8.
- Chữ số thứ hai 14=4 (vị trí 4).
- Chữ số thứ ba 02=0 (vị trí 2).
- Chữ số thứ tư 01=0 (vị trí 1).
- Vậy số của chúng ta là 1100=8 + 4 + 0 + 0=12.
Tức là, khi chuyển sang một chữ số mới ở bên trái, ý nghĩa của nó trong hệ nhị phân được nhân với 2 và ở dạng thập phân - với 10. Hệ thống như vậy có một điểm trừ: nó quá lớn để tăng các chữ số cần thiết để viết số. Có thể tìm thấy các ví dụ về biểu diễn số thập phân dưới dạng số nhị phân trong bảng sau.
Các số thập phân ở dạng nhị phân được hiển thị bên dưới.
Cả hệ bát phân và hệ thập lục phân cũng được sử dụng.
Số học bí ẩn này
Số học, "hai lần hai" hoặc những bí ẩn chưa được khám phá của các con số là gì? Như bạn có thể thấy, số học thoạt nhìn có vẻ đơn giản, nhưng sự dễ hiểu của nó là lừa dối. Nó cũng có thể được nghiên cứu bởi trẻ em cùng với dì Cú từphim hoạt hình "Arithmetic-baby", và bạn có thể đắm mình trong nghiên cứu khoa học sâu sắc về một trật tự gần như triết học. Trong lịch sử, cô ấy đã đi từ việc đếm đồ vật để tôn thờ vẻ đẹp của những con số. Chỉ có một điều chắc chắn được biết đến: với việc thiết lập các định đề cơ bản của số học, tất cả khoa học có thể dựa vào bờ vai vững chắc của nó.
