Trong hình học, hai đặc điểm quan trọng được sử dụng để nghiên cứu các hình: độ dài các cạnh và góc giữa chúng. Trong trường hợp các hình không gian, các góc nhị diện được thêm vào các đặc điểm này. Hãy xem xét nó là gì và cũng mô tả phương pháp xác định các góc này bằng cách sử dụng ví dụ về kim tự tháp.
Khái niệm về góc nhị diện
Mọi người đều biết rằng hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc với đỉnh tại giao điểm của chúng. Góc này có thể được đo bằng thước đo góc, hoặc bạn có thể sử dụng các hàm lượng giác để tính toán nó. Góc tạo bởi hai góc vuông được gọi là góc thẳng.
Bây giờ hãy tưởng tượng rằng trong không gian ba chiều có hai mặt phẳng cắt nhau trên một đường thẳng. Chúng được hiển thị trong hình.
Góc nhị diện là góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau. Cũng giống như tuyến tính, nó được đo bằng độ hoặc radian. Nếu đến bất kỳ điểm nào của đường thẳng mà các mặt phẳng giao nhau, hãy khôi phục hai đường vuông góc,nằm trong các mặt phẳng này, khi đó góc giữa chúng sẽ là hình nhị diện mong muốn. Cách dễ nhất để xác định góc này là sử dụng phương trình tổng quát của các mặt phẳng.
Phương trình các mặt phẳng và công thức tính góc giữa chúng
Phương trình của bất kỳ mặt phẳng nào trong không gian nói chung được viết như sau:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Ở đây x, y, z là tọa độ của các điểm thuộc mặt phẳng, các hệ số A, B, C, D là một số đã biết. Sự thuận tiện của đẳng thức này để tính các góc nhị diện là nó chứa một cách rõ ràng tọa độ của vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Chúng tôi sẽ ký hiệu nó bằng n¯. Sau đó:
n¯=(A; B; C).
Vectơ n¯ vuông góc với mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng n1¯ và n2¯. Từ toán học, người ta biết rằng góc tạo bởi hai vectơ được xác định duy nhất từ tích vô hướng của chúng. Điều này cho phép bạn viết công thức tính góc nhị diện giữa hai mặt phẳng:
φ=arccos (| (n1¯ × n2¯) | / (| n1¯ | × | n2¯ |)).
Nếu chúng ta thay thế tọa độ của các vectơ, công thức sẽ được viết rõ ràng:
φ=arccos (| A1× A2+ B1× B2+ C1× C2| / (√ (A1 2+ B12+ C12 ) × √ (A22+B22+ C22 ))).
Dấu môđun trong tử số chỉ được sử dụng để xác định một góc nhọn, vì góc nhị diện luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90o.
Kim tự tháp và các góc của nó
Kim tự tháp là một hình được tạo thành bởi một n-gon và n hình tam giác. Ở đây n là số nguyên bằng số cạnh của đa giác là đáy của hình chóp. Hình không gian này là một khối đa diện hoặc khối đa diện, vì nó bao gồm các mặt phẳng (các cạnh).
Các góc nhị diện của một khối đa diện hình chóp có thể thuộc hai loại:
- giữa đáy và cạnh (tam giác);
- giữa hai bên.
Nếu hình chóp được coi là hình đều, thì việc xác định các góc được đặt tên cho nó rất dễ dàng. Để làm điều này, sử dụng tọa độ của ba điểm đã biết, người ta phải lập một phương trình mặt phẳng, sau đó sử dụng công thức cho trong đoạn trên cho góc φ.
Dưới đây chúng tôi đưa ra một ví dụ trình bày cách tìm các góc nhị diện tại đáy của một hình chóp tứ giác đều.
Một hình chóp tứ giác đều và một góc ở đáy
Giả sử rằng hình chóp đều có đáy là hình vuông. Độ dài cạnh hình vuông là a, chiều cao của hình là h. Tìm góc giữa đáy của hình chóp và mặt bên của nó.
Hãy đặt gốc của hệ tọa độ vào tâm của hình vuông. Khi đó tọa độ của các điểmA, B, C, D trong hình sẽ là:
A=(a / 2; -a / 2; 0);
B=(a / 2; a / 2; 0);
C=(-a / 2; a / 2; 0);
D=(0; 0; h).
Xét hai mặt phẳng ACB và ADB. Rõ ràng, vectơ chỉ phương n1¯ đối với mặt phẳng ACB sẽ là:
1¯=(0; 0; 1).
Để xác định vectơ chỉ phương n2¯ của mặt phẳng ADB, hãy tiến hành như sau: tìm hai vectơ tùy ý thuộc về nó, ví dụ, AD¯ và AB¯, sau đó tính công vectơ của chúng. Kết quả của nó sẽ cho tọa độ n2¯. Chúng tôi có:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a / 2; -a / 2; 0)=(-a / 2; a / 2; h);
AB¯=B - A=(a / 2; a / 2; 0) - (a / 2; -a / 2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a / 2; a / 2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0; -a2/ 2).
Vì phép nhân và chia một vectơ cho một số không thay đổi hướng của nó, chúng ta biến đổi kết quả n2¯, chia tọa độ của nó cho -a, chúng ta nhận được:
2¯=(h; 0; a / 2).
Chúng ta đã xác định hướng dẫn vectơ n1¯ và n2¯ cho mặt phẳng cơ sở ACB và mặt phẳng ADB. Vẫn sử dụng công thức cho góc φ:
φ=arccos (| (n1¯ × n2¯) | / (| n1¯ | × | n2¯ |))=arccos (a / (2 × √h2+ a 2/ 4)).
Biến đổi biểu thức kết quả và viết lại nó như sau:
φ=arccos (a / √ (a2+ 4 × h2)).
Ta đã thu được công thức tính góc ở đáy của hình chóp tứ giác đều. Biết chiều cao của hình và độ dài cạnh của nó, bạn có thể tính được góc φ. Ví dụ: đối với kim tự tháp Cheops, có cạnh đáy là 230,4 mét và chiều cao ban đầu là 146,5 mét, góc φ sẽ là 51,8o.
Cũng có thể xác định góc tứ diện cho hình chóp tứ giác đều bằng phương pháp hình học. Để làm điều này, chỉ cần xem xét một tam giác vuông được tạo thành bởi chiều cao h, một nửa chiều dài của cơ sở a / 2 và cạnh của một tam giác cân.
