Chuyên đề "cấp số cộng" được học trong chương trình đại số các trường phổ thông từ lớp 9. Chủ đề này rất quan trọng để nghiên cứu sâu hơn về toán học của các chuỗi số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ làm quen với cấp số cộng, sự khác biệt của nó, cũng như các nhiệm vụ điển hình mà học sinh có thể phải đối mặt.
Khái niệm về cấp số cộng
Cấp số là một dãy số trong đó mỗi phần tử tiếp theo có thể nhận được từ phần trước đó, nếu áp dụng một số định luật toán học. Có hai loại cấp số đơn giản: hình học và số học, còn được gọi là đại số. Hãy xem xét nó một cách chi tiết hơn.
Hãy tưởng tượng một số hữu tỉ nào đó, biểu thị nó bằng ký hiệu1, trong đó chỉ số cho biết số thứ tự của nó trong chuỗi đang xét. Hãy thêm một số khác vào một1, ký hiệu là d. Sau đó, thứ haimột phần tử của một chuỗi có thể được phản ánh như sau: a2=a1+ d. Bây giờ thêm d một lần nữa, ta được: a3=a2+ d. Tiếp tục phép toán này, bạn có thể nhận được toàn bộ một chuỗi số, sẽ được gọi là một cấp số cộng.
Như có thể hiểu ở trên, để tìm phần tử thứ n của dãy này, bạn phải sử dụng công thức: a =a1 + (n -1)d. Thật vậy, thay n=1 vào biểu thức, chúng ta nhận được một1=a1, nếu n=2, thì công thức ngụ ý: a2=a1+ 1d, v.v.
Ví dụ: nếu sự khác biệt của một cấp số cộng là 5 và1=1, thì điều này có nghĩa là chuỗi số của loại được đề cập trông giống như: 1, 6, 11, 16, 21,… Như bạn có thể thấy, mỗi số hạng của nó lớn hơn số hạng trước đó là 5.
Công thức cho sự khác biệt của cấp số cộng
Từ định nghĩa trên về dãy số đã xét, để xác định nó, bạn cần biết hai số: a1và d. Sau này được gọi là sự khác biệt của sự tiến triển này. Nó xác định duy nhất hành vi của toàn bộ chuỗi. Thật vậy, nếu d dương thì dãy số sẽ không ngừng tăng lên, ngược lại, trong trường hợp d âm, các số trong dãy chỉ tăng theo modulo, trong khi giá trị tuyệt đối của chúng sẽ giảm khi số n tăng lên.
Sự khác biệt của cấp số cộng là gì? Hãy xem xét hai công thức chính được sử dụng để tính giá trị này:
- d=an + 1-a , công thức này trực tiếp dựa trên định nghĩa của chuỗi số được đề cập.
- d=(-a1+ a ) / (n-1), biểu thức này nhận được bằng cách biểu diễn d từ công thức đã cho trong đoạn trước của bài báo. Lưu ý rằng biểu thức này trở thành không xác định (0/0) nếu n=1. Điều này là do thực tế là cần phải biết ít nhất 2 phần tử của chuỗi để xác định sự khác biệt của nó.
Hai công thức cơ bản này được sử dụng để giải quyết bất kỳ vấn đề nào về tìm hiệu số lũy tiến. Tuy nhiên, có một công thức khác mà bạn cũng cần biết.
Tổng các phần tử đầu tiên
Công thức có thể được sử dụng để xác định tổng của bất kỳ số thành viên nào của một cấp đại số, theo bằng chứng lịch sử, lần đầu tiên có được bởi "ông hoàng" toán học của thế kỷ 18, Carl Gauss. Một nhà khoa học người Đức, khi còn là một cậu bé học lớp tiểu học của một ngôi trường làng, nhận thấy rằng để cộng các số tự nhiên trong chuỗi từ 1 đến 100, trước tiên bạn phải tính tổng của phần tử đầu tiên và phần tử cuối cùng (giá trị kết quả sẽ bằng nhau đến tổng của các phần tử áp chót và thứ hai, áp chót và thứ ba, v.v.), và sau đó con số này sẽ được nhân với số của những số tiền này, nghĩa là, với 50.
Công thức phản ánh kết quả đã nêu trên một ví dụ cụ thể có thể được tổng quát hóa thành một trường hợp tùy ý. Nó sẽ giống như sau: S =n / 2(a + a1). Lưu ý rằng để tìm giá trị được chỉ định, không cần phải có kiến thức về sự khác biệt d,nếu hai số hạng của tiến trình được biết (a và1).
Ví dụ1. Xác định hiệu, biết hai số hạng của dãy số a1 và số hạng
Hãy chỉ cách áp dụng các công thức nêu trên trong bài viết. Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản: hiệu của cấp số cộng là chưa biết, cần xác định nó sẽ bằng bao nhiêu nếu a13=-5, 6 và a1=-12, 1.
Vì chúng ta biết giá trị của hai phần tử của dãy số và một trong số chúng là số đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng công thức số 2 để xác định hiệu số d. Ta có: d=(- 1(- 12, 1) + (- 5, 6)) / 12=0. 54167. Trong biểu thức, chúng ta sử dụng giá trị n=13, vì phần tử có số thứ tự này là đã biết.
Sự khác biệt kết quả chỉ ra rằng tiến trình đang tăng lên, mặc dù thực tế là các phần tử được đưa ra trong điều kiện của bài toán có giá trị âm. Có thể thấy rằng một13>a1, mặc dù | a13| < | a1|.
Ví dụ2. Các thành viên tích cực của tiến trình trong ví dụ1
Hãy sử dụng kết quả thu được trong ví dụ trước để giải một bài toán mới. Nó được xây dựng như sau: từ số thứ tự nào mà các phần tử của tiến trình trong ví dụ1 bắt đầu nhận các giá trị dương?
Như được hiển thị, tiến trình trong đó a1=-12, 1 và d=0. 54167 đang tăng lên, vì vậy từ một số các số sẽ bắt đầu chỉ có giá trị dương các giá trị. Để xác định số n này, người ta phải giải một bất đẳng thức đơn giản, đó làđược viết bằng toán học như sau: a >0 hoặc, sử dụng công thức thích hợp, chúng ta viết lại bất đẳng thức: a1+ (n-1)d>0. Cần phải tìm ra n chưa biết, hãy biểu diễn nó: n>-1a1/ d + 1. Bây giờ nó vẫn để thay thế các giá trị đã biết của hiệu và thành viên đầu tiên của dãy. Ta nhận được: n>-1(- 12, 1) / 0, 54167 + 1=23, 338 hoặc n>23, 338. Vì n chỉ có thể nhận các giá trị nguyên, nên từ bất đẳng thức dẫn đến bất kỳ thành viên nào của chuỗi sẽ có một số lớn hơn 23 sẽ là số dương.
Kiểm tra câu trả lời của bạn bằng cách sử dụng công thức trên để tính phần tử thứ 23 và 24 của cấp số cộng này. Ta có: a23=- 12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (số âm); a24=- 12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (giá trị dương). Do đó, kết quả nhận được là đúng: bắt đầu từ n=24, tất cả các thành viên của dãy số sẽ lớn hơn 0.
Ví dụ3. Có bao nhiêu bản ghi sẽ phù hợp?
Hãy đưa ra một vấn đề gây tò mò: trong quá trình khai thác, người ta quyết định xếp chồng các bản ghi đã xẻ lên nhau như thể hiện trong hình bên dưới. Có thể xếp chồng bao nhiêu nhật ký theo cách này, biết rằng tổng cộng 10 hàng sẽ vừa với nhau?
Theo cách xếp chồng các bản ghi này, bạn có thể nhận thấy một điều thú vị: mỗi hàng tiếp theo sẽ chứa một bản ghi ít hơn hàng trước, tức là có một cấp số cộng, hiệu của nó là d=1. Giả sử rằng số lượng nhật ký trong mỗi hàng là một thành viên của tiến trình này,và cũng cho rằng1=1 (chỉ có một khúc gỗ sẽ vừa với ở trên cùng), chúng tôi tìm thấy số a10. Ta có: a10=1 + 1(10-1)=10. Tức là ở hàng thứ 10 nằm trên mặt đất, sẽ có 10 bản ghi.
Tổng số tiền xây dựng "hình chóp" này có thể thu được bằng công thức Gauss. Chúng tôi nhận được: S10=10/2(10 + 1)=55 bản ghi.
