Đa thức, hoặc đa thức - một trong những cấu trúc đại số cơ bản, được tìm thấy trong toán học phổ thông và cao hơn. Việc nghiên cứu đa thức là chủ đề quan trọng nhất trong khóa học đại số, vì một mặt, đa thức khá đơn giản so với các dạng hàm số khác, mặt khác, chúng được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán giải tích.. Vậy đa thức là gì?
Định nghĩa
Định nghĩa của thuật ngữ đa thức có thể được đưa ra thông qua khái niệm về đơn thức hoặc đơn thức.
Đơn thức là biểu thức có dạng cx1i1x2 i2 … x trong. Ở đây с là một hằng số, x1, x2,… x - các biến, i1, i2,… in - số mũ của biến. Khi đó, đa thức là tổng hữu hạn của các đơn thức.
Để hiểu đa thức là gì, bạn có thể xem các ví dụ cụ thể.
Tam thức vuông được thảo luận chi tiết trong sgk Toán lớp 8 là một đa thức: ax2+ bx + c.
Một đa thức có hai biến có thể giống như sau: x2-xy + y2. Như làmột đa thức còn được gọi là bình phương không đầy đủ của hiệu giữa x và y.
Phân loại đa thức
Đa thức bậc
Với mỗi đơn thức trong đa thức, hãy tìm tổng của các số mũ i1 + i2 +… + in. Tổng lớn nhất được gọi là số mũ của đa thức và đơn thức tương ứng với tổng này được gọi là số hạng cao nhất.
Nhân tiện, bất kỳ hằng số nào cũng có thể được coi là đa thức bậc 0.
Đa thức rút gọn và không rút gọn
Nếu hệ số c bằng 1 đối với số hạng cao nhất thì đa thức đã cho, ngược lại thì không.
Ví dụ: biểu thức x2+ 2x + 1 là một đa thức rút gọn và 2x2+ 2x + 1 không bị rút gọn.
Đa thức đồng nhất và không thuần nhất
Nếu bậc của tất cả các thành viên của đa thức đều bằng nhau, thì chúng ta nói rằng đa thức đó là thuần nhất. Tất cả các đa thức khác được coi là không thuần nhất.
Đa thức thuần nhất: x2-xy + y2, xyz + x3+ y3. Không đồng nhất: x + 1, x2+ y.
Có những tên đặc biệt cho đa thức gồm hai và ba số hạng: nhị thức và tam thức, tương ứng.
Đa thức của một biến được phân bổ vào một danh mục riêng.
Ứng dụng của đa thức một biến
Đa thức của một biến gần đúng với các hàm liên tục có độ phức tạp khác nhau từ một đối số.
Thực tế là các đa thức như vậy có thể được coi là tổng một phần của chuỗi lũy thừa và một hàm liên tục có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi với một lỗi nhỏ tùy ý. Chuỗi khai triển của một hàm được gọi là chuỗi Taylor, vàtổng một phần ở dạng đa thức - đa thức Taylor.
Nghiên cứu bằng đồ thị hoạt động của một hàm bằng cách xấp xỉ nó với một số đa thức thường dễ dàng hơn so với việc điều tra trực tiếp cùng một hàm hoặc sử dụng một chuỗi.
Thật dễ dàng để tìm đạo hàm của đa thức. Để tìm gốc của đa thức bậc 4 trở xuống, có các công thức được tạo sẵn và để làm việc với bậc cao hơn, các thuật toán gần đúng có độ chính xác cao được sử dụng.
Ngoài ra còn có sự tổng quát của các đa thức được mô tả cho các hàm của một số biến.
Nhị thức Newton
Đa thức nổi tiếng là đa thức Newton, được các nhà khoa học suy ra để tìm hệ số của biểu thức (x + y).
Chỉ cần nhìn vào một vài lũy thừa đầu tiên của phép phân tích nhị thức là đủ để đảm bảo rằng công thức là không tầm thường:
(x + y)2=x2+ 2xy + y2;
(x + y)3=x3+ 3x2y + 3xy2+ y3;
(x + y)4=x4+ 4x3y + 6x2y2+ 4xy3+ y4;
(x + y)5=x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3+ 5xy4+ y5.
Đối với mỗi hệ số có một biểu thức cho phép bạn tính toán nó. Tuy nhiên, việc ghi nhớ các công thức rườm rà và thực hiện các phép tính số học cần thiết mỗi lần sẽ cực kỳ bất tiện đối với những nhà toán học thường xuyên cần các phép mở rộng như vậy. Tam giác Pascal giúp cuộc sống của họ dễ dàng hơn nhiều.
Hình được xây dựng theo nguyên tắc sau. 1 được viết ở đầu tam giác và ở mỗi dòng tiếp theo, nó trở thành một chữ số nữa, 1 được viết ở các cạnh và giữa dòng được điền bằng tổng của hai số liền kề từ dòng trước đó.
Khi bạn nhìn vào hình minh họa, mọi thứ sẽ trở nên rõ ràng.
Tất nhiên, việc sử dụng đa thức trong toán học không chỉ giới hạn trong các ví dụ đã cho, những ví dụ được biết đến rộng rãi nhất.
