Vector là một đối tượng hình học quan trọng, với sự trợ giúp của các đặc tính của nó, rất tiện lợi để giải nhiều bài toán trên mặt phẳng và trong không gian. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ định nghĩa nó, xem xét các đặc điểm chính của nó và cũng chỉ ra cách một vectơ trong không gian có thể được sử dụng để xác định mặt phẳng.
Vectơ là gì: trường hợp hai chiều
Trước hết, cần phải hiểu rõ ràng đối tượng mà chúng ta đang nói đến là gì. Trong hình học, một đoạn có hướng được gọi là vectơ. Giống như bất kỳ phân đoạn nào, nó được đặc trưng bởi hai yếu tố chính: điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Tọa độ của những điểm này xác định duy nhất tất cả các đặc điểm của vectơ.
Hãy xem xét một ví dụ về một vectơ trên một mặt phẳng. Để làm điều này, chúng ta vẽ hai trục x và y vuông góc với nhau. Hãy đánh dấu một điểm tùy ý P (x, y). Nếu chúng ta kết nối điểm này với điểm gốc (điểm O), và sau đó xác định hướng đến P, thì chúng ta nhận được vectơ OP¯ (ở phần sau của bài viết, thanh trên biểu tượng cho biết rằng chúng ta đang xem xét một vectơ). Hình vẽ vector trên mặt phẳng được hiển thị bên dưới.
Ở đây, một vectơ khác AB¯ cũng được hiển thị và bạn có thể thấy rằng các đặc điểm của nó hoàn toàn giống với OP¯, nhưng nó nằm trong một phần khác của hệ tọa độ. Bằng cách dịch song song OP¯, bạn có thể nhận được vô số vectơ có cùng tính chất.
Véc tơ trong không gian
Tất cả các vật thể thực bao quanh chúng ta đều ở trong không gian ba chiều. Việc nghiên cứu các tính chất hình học của các hình ba chiều liên quan đến phép lập thể, hoạt động với khái niệm vectơ ba chiều. Chúng chỉ khác với hai chiều ở chỗ mô tả của chúng yêu cầu một tọa độ bổ sung, được đo dọc theo trục x và y vuông góc thứ ba z.
Hình dưới đây cho thấy một vectơ trong không gian. Các tọa độ cuối của nó dọc theo mỗi trục được biểu thị bằng các đoạn màu. Điểm đầu của vectơ nằm tại giao điểm của cả ba trục tọa độ, tức là nó có tọa độ (0; 0; 0).
Vì vectơ trên mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của đoạn có hướng theo không gian, chúng tôi sẽ chỉ xem xét một vectơ ba chiều trong bài báo.
Tọa độ vectơ dựa trên tọa độ đã biết của điểm bắt đầu và kết thúc của nó
Giả sử có hai điểm P (x1; y1; z1) và Q (x2; y2; z2). Cách xác định tọa độ của vectơ PQ¯. Đầu tiên, cần phải thống nhất điểm nào sẽ là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối của vector. Trong toán học, người ta thường viết đối tượng được đề cập dọc theo hướng của nó, tức là P là đầu, Q- kết thúc. Thứ hai, tọa độ của vectơ PQ¯ được tính bằng hiệu giữa tọa độ tương ứng của điểm cuối và điểm đầu, đó là:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1 ).
Lưu ý rằng bằng cách thay đổi hướng của vectơ, tọa độ của nó sẽ thay đổi dấu hiệu, như sau:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2 ).
Điều này có nghĩa là PQ¯=-QP¯.
Điều quan trọng là phải hiểu thêm một điều. Ở trên đã nói rằng trong mặt phẳng có vô số vectơ bằng vectơ đã cho. Thực tế này cũng có giá trị đối với trường hợp không gian. Trong thực tế, khi chúng tôi tính toán tọa độ của PQ¯ trong ví dụ trên, chúng tôi đã thực hiện phép tịnh tiến song song vectơ này sao cho gốc của nó trùng với gốc. Vectơ PQ¯ có thể được vẽ dưới dạng một đoạn thẳng từ điểm gốc đến điểm M ((x2- x1; y2- y1; z2- z1).
Thuộc tính vectơ
Giống như bất kỳ đối tượng hình học nào, vectơ có một số đặc điểm cố hữu có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề. Hãy liệt kê ngắn gọn chúng.
Môđun vectơ là độ dài của đoạn có hướng. Biết được tọa độ, thật dễ dàng để tính toán nó. Đối với vectơ PQ¯ trong ví dụ trên, mô đun là:
| PQ¯ |=√ [(x2- x1)2+ (y2 - y1 )2+ (z2- z1 )2 ].
Mô-đun vectơ đang bậtmặt phẳng được tính bằng một công thức tương tự, chỉ mà không có sự tham gia của tọa độ thứ ba.
Tổng và hiệu của vectơ được thực hiện theo quy tắc tam giác. Hình dưới đây cho thấy cách cộng và trừ các đối tượng này.
Để lấy vectơ tổng, hãy thêm đầu của thứ hai vào cuối của vectơ đầu tiên. Vectơ mong muốn sẽ bắt đầu ở đầu vectơ đầu tiên và kết thúc ở cuối vectơ thứ hai.
Sự khác biệt được thực hiện có tính đến thực tế là vectơ bị trừ được thay thế bằng vectơ đối diện và sau đó hoạt động cộng được mô tả ở trên được thực hiện.
Ngoài phép cộng và phép trừ, điều quan trọng là có thể nhân một vectơ với một số. Nếu số bằng k, thì sẽ thu được một vectơ có môđun khác với môđun ban đầu k lần và có hướng giống nhau (k>0) hoặc ngược với vectơ ban đầu (k<0).
Phép toán nhân các vectơ giữa chúng cũng được định nghĩa. Chúng tôi sẽ dành một đoạn riêng cho nó trong bài viết.
Phép nhân vectơ và vô hướng
Giả sử có hai vectơ u¯ (x1; y1; z1) và v¯ (x2; y2; z2). Vectơ với vectơ có thể được nhân theo hai cách khác nhau:
- Vô hướng. Trong trường hợp này, kết quả là một số.
- Véc tơ. Kết quả là một số vectơ mới.
Tích vô hướng của vectơ u¯ và v¯ được tính như sau:
(u¯v¯)=| u¯ || v¯ |cos (α).
Trong đó α là góc giữa các vectơ đã cho.
Có thể chứng minh rằng khi biết tọa độ u¯ và v¯, tích số chấm của chúng có thể được tính bằng công thức sau:
(u¯v¯)=x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
Tích vô hướng rất thuận tiện để sử dụng khi phân rã một vectơ thành hai đoạn vuông góc với nhau. Nó cũng được sử dụng để tính toán tính song song hoặc trực giao của các vectơ và tính góc giữa chúng.
Tích chéo của u¯ và v¯ cho một vectơ mới vuông góc với vectơ ban đầu và có môđun:
[u¯v¯]=| u¯ || v¯ |sin (α).
Hướng xuống hoặc lên của vectơ mới được xác định theo quy tắc bàn tay phải (bốn ngón tay của bàn tay phải hướng từ cuối vectơ đầu tiên đến cuối vectơ thứ hai và ngón tay cái hướng lên trên cho biết hướng của vectơ mới). Hình dưới đây cho thấy kết quả của tích chéo đối với a¯ và b¯ tùy ý.
Tích chéo được sử dụng để tính diện tích của các hình, cũng như để xác định tọa độ của một vectơ vuông góc với một mặt phẳng nhất định.
Vectơ và các thuộc tính của chúng rất thuận tiện để sử dụng khi xác định phương trình của mặt phẳng.
Phương trình chính tắc và tổng quát của mặt phẳng
Có một số cách để xác định mặt phẳng. Một trong số đó là suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng, dựa trực tiếp từ kiến thức về vectơ vuông góc với nó và một số điểm đã biết thuộc mặt phẳng.
Giả sử rằng có một vectơ n¯ (A; B; C) và một điểm P (x0; y0; z0). Mọi điểm Q (x; y; z) của mặt phẳng thoả mãn điều kiện nào? Điều kiện này bao gồm tính vuông góc của bất kỳ vectơ PQ¯ nào với pháp tuyến n¯. Đối với hai vectơ vuông góc, tích chấm trở thành 0 (cos (90o)=0), viết như sau:
(n¯PQ¯)=0 hoặc
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0.
Mở ngoặc, ta được:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-Cz0)=0 hoặc
Ax + By + Cz + D=0 trong đó D=-Ax0-By0-Cz0.
Phương trình này được gọi là tổng quát cho mặt phẳng. Ta thấy rằng các hệ số đứng trước x, y và z là tọa độ của vectơ vuông góc n¯. Nó được gọi là hướng dẫn máy bay.
Phương trình tham số véc tơ của mặt phẳng
Cách thứ hai để xác định một mặt phẳng là sử dụng hai vectơ nằm trong nó.
Giả sử rằng có các vectơ u¯ (x1; y1; z1) và v¯ (x2; y2; z2). Như đã nói, mỗi chúng trong không gian có thể được biểu diễn bằng vô số đoạn thẳng có hướng giống hệt nhau, do đó, cần thêm một điểm nữa để xác định duy nhất mặt phẳng. Gọi điểm này là P (x0;y0; z0). Bất kỳ điểm Q (x; y; z) sẽ nằm trong mặt phẳng mong muốn nếu vectơ PQ¯ có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp của u¯ và v¯. Đó là, chúng ta có:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Trong đó α và β là một số số thực. Từ đẳng thức này theo sau biểu thức:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2 ).
Nó được gọi là phương trình vectơ tham số của mặt phẳng đối với 2 vectơ u¯ và v¯. Thay các tham số α và β tùy ý, người ta có thể tìm thấy tất cả các điểm (x; y; z) thuộc mặt phẳng này.
Từ phương trình này có thể dễ dàng nhận được biểu thức tổng quát cho mặt phẳng. Để làm điều này, chỉ cần tìm vectơ chỉ phương là n¯, sẽ vuông góc với cả vectơ u¯ và v¯, tức là tích vectơ của chúng phải được áp dụng.
Bài toán xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng
Hãy trình bày cách sử dụng các công thức trên để giải các bài toán hình học. Giả sử vectơ chỉ phương của mặt phẳng là n¯ (5; -3; 1). Bạn nên tìm phương trình của mặt phẳng, biết rằng điểm P (2; 0; 0) thuộc nó.
Phương trình tổng quát được viết là:
Ax + By + Cz + D=0.
Vì đã biết véc tơ vuông góc với mặt phẳng nên phương trình sẽ có dạng:
5x - 3y + z + D=0.
Còn lại để tìm số hạng tự do D. Chúng tôi tính toán nó từ kiến thức về tọa độ P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Như vậy, phương trình mong muốn của mặt phẳng có dạng:
5x - 3y + z -10=0.
Hình bên dưới cho thấy mặt phẳng kết quả trông như thế nào.
Tọa độ được chỉ ra của các điểm tương ứng với các giao điểm của mặt phẳng với các trục x, y và z.
Bài toán xác định mặt phẳng qua hai vectơ và một điểm
Bây giờ, giả sử mặt phẳng trước đó được định nghĩa khác. Hai vectơ u¯ (-2; 0; 10) và v¯ (-2; -10/3; 0) đã biết đồng thời là điểm P (2; 0; 0). Làm thế nào để viết phương trình mặt phẳng dưới dạng tham số véc tơ? Sử dụng công thức tương ứng được xem xét, chúng tôi nhận được:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(- 2; 0; 10) + β(- 2; -10/3; 0).
Lưu ý rằng các định nghĩa của phương trình mặt phẳng này, vectơ u¯ và v¯ có thể được coi là hoàn toàn bất kỳ, nhưng với một điều kiện: chúng không được song song. Nếu không, không thể xác định duy nhất mặt phẳng, tuy nhiên, người ta có thể tìm phương trình cho chùm hoặc tập hợp các mặt phẳng.
