Bài toán Goldbach là một trong những bài toán lâu đời nhất và cường điệu nhất trong lịch sử toán học.
Phỏng đoán này đã được chứng minh là đúng với tất cả các số nguyên nhỏ hơn 4 × 1018, nhưng vẫn chưa được chứng minh mặc dù các nhà toán học đã nỗ lực đáng kể.
Số
Số Goldbach là một số nguyên dương chẵn, là tổng của một cặp số nguyên tố lẻ. Một dạng khác của phỏng đoán Goldbach là tất cả các số nguyên chẵn lớn hơn bốn đều là số Goldbach.
Việc phân tách các số như vậy được gọi là phân vùng (hay phân vùng) Goldbach. Dưới đây là ví dụ về các phần tương tự cho một số số chẵn:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5… 100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Khám phá giả thuyết
Goldbach có một đồng nghiệp tên là Euler, người thích đếm, viết các công thức phức tạp và đưa ra các lý thuyết khó giải. Về điều này, chúng tương tự như Goldbach. Euler đã thực hiện một câu đố toán học tương tự ngay cả trước Goldbach, người mà anh tathư từ liên tục. Sau đó, ông đưa ra gợi ý thứ hai ở lề bản thảo của mình, theo đó một số nguyên lớn hơn 2 có thể được viết dưới dạng tổng của ba số nguyên tố. Anh ấy coi 1 là một số nguyên tố.
Hai giả thuyết hiện nay được cho là tương tự nhau, nhưng điều này dường như không phải là vấn đề vào thời điểm đó. Phiên bản hiện đại của bài toán Goldbach nói rằng mọi số nguyên lớn hơn 5 đều có thể được viết dưới dạng tổng của ba số nguyên tố. Euler đã trả lời trong một bức thư đề ngày 30 tháng 6 năm 1742, và nhắc Goldbach về một cuộc trò chuyện trước đó mà họ đã có ("… vì vậy chúng ta đang nói về giả thuyết ban đầu (và không ngoài lề) phát sinh từ tuyên bố sau").
Vấn đề Euler-Goldbach
2 và các số chẵn của nó có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố, đây cũng là phỏng đoán của Goldbach. Trong một bức thư ngày 30 tháng 6 năm 1742, Euler nói rằng mọi số nguyên chẵn đều là kết quả của phép cộng hai số nguyên tố, mà ông coi là một định lý được xác định rõ ràng, mặc dù ông không thể chứng minh điều đó.
Phiên bản thứ ba
Phiên bản thứ ba của bài toán Goldbach (tương đương với hai phiên bản còn lại) là dạng phỏng đoán thường được đưa ra ngày nay. Nó còn được gọi là giả thuyết Goldbach "mạnh", "chẵn" hoặc "nhị phân" để phân biệt với giả thuyết yếu hơn được biết đến ngày nay là giả thuyết Goldbach "yếu", "lẻ" hoặc "bậc ba". Phỏng đoán yếu nói rằng tất cả các số lẻ lớn hơn 7 là tổng của ba số nguyên tố lẻ. Phỏng đoán yếu đã được chứng minh vào năm 2013. Giả thuyết yếu làmột hệ quả của một giả thuyết mạnh mẽ. Hệ quả ngược lại và giả thuyết Goldbach mạnh mẽ vẫn chưa được chứng minh cho đến ngày nay.
Kiểm tra
Đối với các giá trị nhỏ của n, bài toán Goldbach (và do đó là giả thuyết Goldbach) có thể được xác minh. Ví dụ, Nils Pipping vào năm 1938 đã kiểm tra cẩn thận giả thuyết lên đến n ≦ 105. Với sự ra đời của những chiếc máy tính đầu tiên, nhiều giá trị khác của n đã được tính toán.
Oliveira Silva đã thực hiện một tìm kiếm máy tính phân tán xác nhận giả thuyết cho n ≦ 4 × 1018 (và kiểm tra hai lần lên đến 4 × 1017) vào năm 2013. Một mục nhập từ tìm kiếm này là 3,325,581,707,333,960,528 là số nhỏ nhất không có phép phân tách Goldbach với số nguyên tố dưới 9781.
Heuristics
Phiên bản cho dạng mạnh của phỏng đoán Goldbach như sau: vì đại lượng có xu hướng đến vô cùng khi n tăng lên, chúng ta kỳ vọng rằng mọi số nguyên chẵn lớn đều có nhiều hơn một biểu diễn là tổng của hai số nguyên tố. Nhưng trên thực tế, có rất nhiều cách biểu diễn như vậy. Ai đã giải quyết vấn đề Goldbach? Than ôi, vẫn không có ai.
Lập luận heuristic này thực sự hơi không chính xác, vì nó giả định rằng m độc lập về mặt thống kê với n. Ví dụ, nếu m lẻ thì n - m cũng lẻ, và nếu m chẵn thì n - m chẵn, và đây là một quan hệ không tầm thường (phức tạp), bởi vì ngoài số 2, chỉ có lẻ. số có thể là số nguyên tố. Tương tự, nếu n chia hết cho 3 và m đã là số nguyên tố khác 3 thì n - m cũng đồng biếnnguyên tố với 3, vì vậy nhiều khả năng là một số nguyên tố thay vì một số tổng. Thực hiện kiểu phân tích này một cách cẩn thận hơn, Hardy và Littlewood vào năm 1923, như một phần của phỏng đoán tuple đơn giản Hardy-Littlewood nổi tiếng của họ, đã thực hiện cải tiến trên toàn bộ lý thuyết. Nhưng nó vẫn chưa giúp giải quyết được vấn đề cho đến nay.
Giả thuyết mạnh mẽ
Phỏng đoán Goldbach mạnh phức tạp hơn nhiều so với phỏng đoán Goldbach yếu. Shnirelman sau đó đã chứng minh rằng bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 1 đều có thể được viết dưới dạng tổng của nhiều nhất C số nguyên tố, trong đó C là một hằng số có thể tính toán hiệu quả. Nhiều nhà toán học đã cố gắng giải nó, đếm và nhân các số, đưa ra các công thức phức tạp, v.v. Nhưng họ không bao giờ thành công, vì giả thuyết quá phức tạp. Không có công thức nào hữu ích.
Nhưng cần tránh câu hỏi chứng minh vấn đề của Goldbach một chút. Hằng số Shnirelman là số C nhỏ nhất có tính chất này. Bản thân Shnirelman nhận được C <800 000. Kết quả này sau đó đã được bổ sung bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như Olivier Ramaret, người đã chỉ ra vào năm 1995 rằng mọi số chẵn n ≧ 4 thực sự là tổng của nhiều nhất sáu số nguyên tố. Kết quả nổi tiếng nhất hiện nay gắn với lý thuyết Goldbach của Harald Helfgott.
Phát triển hơn nữa
Năm 1924, Hardy và Littlewood giả định G. R. H. cho thấy rằng số lượng các số chẵn đến X, vi phạm bài toán Goldbach nhị phân, ít hơn nhiều so với số nhỏ c.
Năm 1973 Chen JingyunTôi đã cố gắng giải quyết vấn đề này, nhưng nó không hoạt động. Anh ấy cũng là một nhà toán học, vì vậy anh ấy rất thích giải các câu đố và chứng minh các định lý.
Năm 1975, hai nhà toán học người Mỹ đã chỉ ra rằng có các hằng số dương c và C - những hằng số mà N đủ lớn. Đặc biệt, tập hợp các số nguyên chẵn có mật độ bằng không. Tất cả những điều này rất hữu ích cho công việc tìm ra giải pháp cho bài toán Goldbach bậc ba, sẽ diễn ra trong tương lai.
Năm 1951, Linnik đã chứng minh sự tồn tại của hằng số K sao cho mọi số chẵn đủ lớn là kết quả của việc cộng một số nguyên tố và một số nguyên tố khác với nhau. Năm 2002, Roger Heath-Brown và Jan-Christoph Schlage-Puchta nhận thấy rằng K=13 hoạt động. Điều này rất thú vị cho tất cả những người thích cộng với nhau, cộng các số khác nhau và xem điều gì sẽ xảy ra.
Giải pháp của vấn đề Goldbach
Cũng như nhiều phỏng đoán nổi tiếng trong toán học, có một số bằng chứng được cho là của giả thuyết Goldbach, không có giả thuyết nào được cộng đồng toán học chấp nhận.
Mặc dù giả thuyết của Goldbach ngụ ý rằng mọi số nguyên dương lớn hơn một đều có thể được viết dưới dạng tổng của nhiều nhất ba số nguyên tố, nhưng không phải lúc nào cũng có thể tìm được tổng như vậy bằng cách sử dụng thuật toán tham lam sử dụng số nguyên tố lớn nhất có thể ở mỗi bước. Dãy Pillai theo dõi các số yêu cầu nhiều số nguyên tố nhất trong các biểu diễn tham lam của chúng. Do đó, giải pháp cho vấn đề Goldbachvẫn còn trong câu hỏi. Tuy nhiên, sớm hay muộn thì rất có thể nó sẽ được giải quyết.
Có những lý thuyết tương tự như bài toán Goldbach trong đó các số nguyên tố được thay thế bằng các tập hợp số cụ thể khác, chẳng hạn như hình vuông.
Christian Goldbach
Christian Goldbach là một nhà toán học người Đức, người cũng học luật. Ngày nay, người ta nhớ đến ông với phỏng đoán Goldbach.
Ông ấy đã làm việc như một nhà toán học cả đời - ông ấy rất thích cộng các con số, phát minh ra các công thức mới. Anh ấy cũng biết một số ngôn ngữ, trong mỗi thứ anh ấy đều giữ nhật ký cá nhân của mình. Những ngôn ngữ này là Đức, Pháp, Ý và Nga. Ngoài ra, theo một số nguồn tin, anh ấy nói được tiếng Anh và tiếng Latinh. Ông được biết đến như một nhà toán học khá nổi tiếng trong suốt cuộc đời của mình. Goldbach cũng có mối quan hệ khá chặt chẽ với Nga, vì ông có nhiều đồng nghiệp Nga và được hoàng gia ưu ái.
Ông tiếp tục làm việc tại Học viện Khoa học St. Petersburg mới mở vào năm 1725 với tư cách là giáo sư toán học và sử gia của học viện. Năm 1728, khi Peter II trở thành Sa hoàng của Nga, Goldbach đã trở thành người cố vấn của ông. Năm 1742, ông vào Bộ Ngoại giao Nga. Đó là, anh ấy thực sự đã làm việc ở đất nước của chúng tôi. Vào thời điểm đó, rất nhiều nhà khoa học, nhà văn, nhà triết học và nhà quân sự đã đến Nga, vì Nga lúc bấy giờ là đất nước của những cơ hội như Mỹ. Nhiều người đã lập nghiệp ở đây. Và người hùng của chúng ta cũng không ngoại lệ.
Christian Goldbach là người đa ngôn ngữ - anh ấy viết nhật ký bằng tiếng Đức và tiếng Latinh, những lá thư của anh ấyđược viết bằng tiếng Đức, tiếng Latinh, tiếng Pháp và tiếng Ý, và đối với các tài liệu chính thức, anh ấy sử dụng tiếng Nga, tiếng Đức và tiếng Latinh.
Ông mất ngày 20 tháng 11 năm 1764 ở tuổi 74 tại Matxcova. Ngày mà vấn đề của Goldbach được giải quyết sẽ là một sự tưởng nhớ phù hợp đối với trí nhớ của anh ấy.
Kết
Goldbach là một nhà toán học vĩ đại, người đã cho chúng ta một trong những bí ẩn lớn nhất của ngành khoa học này. Nó không biết liệu nó có bao giờ được giải quyết hay không. Chúng ta chỉ biết rằng độ phân giải được cho là của nó, như trong trường hợp của định lý Fermat, sẽ mở ra những triển vọng mới cho toán học. Các nhà toán học rất thích giải và phân tích nó. Nó rất thú vị và tò mò từ quan điểm khám phá. Ngay cả sinh viên toán cũng thích giải bài toán Goldbach. Làm thế nào khác? Xét cho cùng, những người trẻ tuổi thường xuyên bị thu hút bởi mọi thứ tươi sáng, đầy tham vọng và không thể giải quyết được, bởi vì bằng cách vượt qua khó khăn, người ta có thể khẳng định chính mình. Hãy hy vọng rằng vấn đề này sẽ sớm được giải quyết bởi những khối óc trẻ trung, đầy tham vọng và ham học hỏi.
