Chắc hẳn khái niệm đạo hàm đã quá quen thuộc với mỗi chúng ta từ khi còn đi học. Thông thường học sinh khó hiểu điều này, không nghi ngờ gì nữa, điều rất quan trọng. Nó được sử dụng tích cực trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống con người, và nhiều phát triển kỹ thuật dựa trên chính xác các phép tính toán học bằng cách sử dụng đạo hàm. Nhưng trước khi tiếp tục phân tích các phái sinh của các con số là gì, cách tính toán chúng như thế nào và chúng hữu ích ở đâu đối với chúng ta, hãy cùng đi sâu vào lịch sử.
Lịch sử
Khái niệm đạo hàm, là cơ sở của phân tích toán học, đã được khám phá ra (tốt hơn là "được phát minh ra", bởi vì nó không tồn tại trong tự nhiên như vậy) bởi Isaac Newton, người mà chúng ta đều biết từ việc phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn. Chính ông là người đầu tiên áp dụng khái niệm này trong vật lý để liên kết bản chất của tốc độ và gia tốc của các vật thể. Và nhiều nhà khoa học vẫn ca ngợi Newton về phát minh kỳ vĩ này, vì thực tế ông đã phát minh ra cơ sở của phép tính vi phân và tích phân, thực chất là cơ sở của cả một lĩnh vực toán học gọi là "giải tích". Nếu vào thời điểm đó, Newton đã nhận được giải Nobel với xác suất cao vài lần.
Không phải không có những bộ óc vĩ đại khác. Ngoại trừ Newtonnhững thiên tài toán học lỗi lạc như Leonhard Euler, Louis Lagrange và Gottfried Leibniz đã nghiên cứu sự phát triển của đạo hàm và tích phân. Đó là nhờ họ mà chúng tôi đã nhận được lý thuyết của phép tính vi phân ở dạng mà nó tồn tại cho đến ngày nay. Nhân tiện, chính Leibniz là người đã khám phá ra ý nghĩa hình học của đạo hàm, hóa ra không gì khác hơn là tang của hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số.
Đạo hàm của số là gì? Hãy nhắc lại một chút những gì chúng ta đã trải qua ở trường.
Đạo hàm là gì?
Khái niệm này có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Giải thích đơn giản nhất là đạo hàm là tốc độ thay đổi của hàm. Hãy tưởng tượng một đồ thị của một số y của x. Nếu nó không thẳng, thì nó có một số đường cong trong đồ thị, các chu kỳ tăng và giảm. Nếu chúng ta lấy một khoảng nhỏ vô hạn nào đó của đồ thị này, nó sẽ là một đoạn thẳng. Vì vậy, tỷ số giữa kích thước của đoạn nhỏ vô hạn này dọc theo tọa độ y với kích thước dọc theo tọa độ x sẽ là đạo hàm của hàm này tại một điểm cho trước. Nếu chúng ta xem xét một hàm tổng thể chứ không phải tại một điểm cụ thể, thì chúng ta sẽ nhận được một hàm đạo hàm, nghĩa là, một sự phụ thuộc nhất định của y vào x.
Bên cạnh đó, ngoài ý nghĩa vật lý của đạo hàm như tốc độ thay đổi của một hàm, còn có ý nghĩa hình học. Bây giờ chúng ta sẽ nói về anh ấy.
Cảm quan hình học
Bản thân các dẫn xuất của số đại diện cho một số nhất định, nếu không hiểu đúng, sẽ không mangkhông có điểm. Hóa ra đạo hàm không chỉ cho biết tốc độ tăng giảm của hàm số mà còn thể hiện phương trình hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại một điểm cho trước. Không phải là một định nghĩa rất rõ ràng. Hãy phân tích nó một cách chi tiết hơn. Giả sử chúng ta có đồ thị của một hàm số (để quan tâm, chúng ta hãy lấy một đường cong). Nó có vô số điểm, nhưng có những khu vực mà chỉ một điểm duy nhất có điểm cực đại hoặc cực tiểu. Qua một điểm bất kỳ có thể vẽ một đường thẳng vuông góc với đồ thị của hàm số tại điểm đó. Một đường thẳng như vậy sẽ được gọi là một tiếp tuyến. Giả sử chúng ta đã dành nó đến giao điểm với trục OX. Vì vậy, góc thu được giữa tiếp tuyến và trục OX sẽ được xác định bởi đạo hàm. Chính xác hơn, tiếp tuyến của góc này sẽ bằng nó.
Hãy nói một chút về các trường hợp đặc biệt và phân tích các đạo hàm của các số.
Trường hợp đặc biệt
Như chúng ta đã nói, đạo hàm của số là giá trị của đạo hàm tại một điểm cụ thể. Ví dụ, hãy lấy hàm y=x2. Đạo hàm x là một số, và trong trường hợp tổng quát, một hàm bằng 2x. Nếu chúng ta cần tính đạo hàm, chẳng hạn tại điểm x0=1, thì chúng ta nhận được y '(1)=21=2. Mọi thứ rất đơn giản. Một trường hợp thú vị là đạo hàm của một số phức. Chúng tôi sẽ không đi vào giải thích chi tiết về số phức là gì. Hãy chỉ nói rằng đây là một số có chứa cái gọi là đơn vị ảo - một số có bình phương là -1. Việc tính đạo hàm như vậy chỉ có thể thực hiện được nếu những điều sauđiều kiện:
1) Phải có các đạo hàm riêng bậc nhất của phần thực và phần ảo đối với Y và X.
2) Các điều kiện Cauchy-Riemann liên quan đến đẳng thức của các đạo hàm riêng được mô tả trong đoạn đầu tiên được đáp ứng.
Một trường hợp thú vị khác, mặc dù không phức tạp như trường hợp trước, là đạo hàm của một số âm. Trên thực tế, bất kỳ số âm nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng số dương nhân với -1. Chà, đạo hàm của hằng số và hàm bằng hằng số nhân với đạo hàm của hàm.
Sẽ rất thú vị khi tìm hiểu về vai trò của đạo hàm trong cuộc sống hàng ngày, và đây là những gì chúng ta sẽ thảo luận bây giờ.
Đơn
Chắc hẳn ai trong chúng ta cũng ít nhất một lần trong đời bắt mình nghĩ rằng toán học không chắc có ích cho mình. Và một thứ phức tạp như một đạo hàm, có lẽ, không có ứng dụng nào cả. Trên thực tế, toán học là một môn khoa học cơ bản, và tất cả các thành quả của nó được phát triển chủ yếu bởi vật lý, hóa học, thiên văn học và thậm chí cả kinh tế học. Đạo hàm là bước khởi đầu của phân tích toán học, cho chúng tôi khả năng rút ra kết luận từ đồ thị của các hàm số và chúng tôi học cách giải thích các quy luật tự nhiên và biến chúng thành lợi thế của chúng tôi nhờ nó.
Kết
Tất nhiên, không phải ai cũng có thể cần phái sinh trong cuộc sống thực. Nhưng toán học phát triển logic, điều này chắc chắn sẽ cần thiết. Không phải vì lý do gì mà toán học được gọi là nữ hoàng của các ngành khoa học: nó tạo cơ sở cho việc hiểu các lĩnh vực kiến thức khác.
