Một khái niệm quan trọng trong toán học là một hàm. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể hình dung nhiều quá trình xảy ra trong tự nhiên, phản ánh mối quan hệ giữa các đại lượng nhất định bằng cách sử dụng công thức, bảng và hình ảnh trên biểu đồ. Một ví dụ là sự phụ thuộc của áp suất của một lớp chất lỏng lên một vật thể vào độ sâu ngâm, gia tốc - vào tác dụng của một lực nhất định lên vật thể, sự tăng nhiệt độ - vào năng lượng truyền đi, và nhiều quá trình khác. Việc nghiên cứu một hàm liên quan đến việc xây dựng một đồ thị, làm rõ các thuộc tính của nó, phạm vi và giá trị, khoảng thời gian tăng và giảm. Một điểm quan trọng trong quá trình này là tìm ra các điểm cực trị. Về cách làm đúng và cuộc trò chuyện sẽ tiếp tục.
Giới thiệu về bản thân khái niệm trên một ví dụ cụ thể
Trong y học, việc vẽ đồ thị hàm số có thể cho biết tiến triển của bệnh trong cơ thể bệnh nhân, phản ánh trực quan tình trạng của bệnh nhân. Giả sử rằng thời gian tính theo ngày được vẽ dọc theo trục OX và nhiệt độ của cơ thể con người được vẽ dọc theo trục OY. Hình này cho thấy rõ chỉ số này tăng mạnh như thế nào vàsau đó nó rơi. Cũng có thể dễ dàng nhận thấy các điểm kỳ lạ phản ánh các khoảnh khắc khi hàm, trước đó đã tăng, bắt đầu giảm và ngược lại. Đây là các điểm cực trị, tức là các giá trị tới hạn (tối đa và tối thiểu) trong trường hợp nhiệt độ của bệnh nhân này, sau đó các thay đổi về tình trạng của bệnh nhân sẽ xảy ra.
Góc nghiêng
Từ hình vẽ có thể dễ dàng xác định được sự thay đổi của đạo hàm của một hàm số như thế nào. Nếu các đường thẳng của đồ thị đi lên theo thời gian thì nó là số dương. Và chúng càng dốc, giá trị của đạo hàm càng lớn, khi góc nghiêng càng tăng. Trong khoảng thời gian giảm, giá trị này nhận các giá trị âm, chuyển về 0 tại các điểm cực trị và đồ thị của đạo hàm trong trường hợp thứ hai được vẽ song song với trục OX.
Bất kỳ quy trình nào khác cũng nên được xử lý theo cách tương tự. Nhưng điều tuyệt vời nhất của khái niệm này là có thể nói lên chuyển động của các vật thể khác nhau, được thể hiện rõ ràng trên đồ thị.
Phong trào
Giả sử một vật nào đó chuyển động thẳng đều, tốc độ nhanh. Trong giai đoạn này, sự thay đổi tọa độ của vật thể hiện bằng đồ thị một đường cong nhất định, mà nhà toán học gọi là một nhánh của parabol. Đồng thời, chức năng không ngừng tăng lên, vì các chỉ số tọa độ thay đổi ngày càng nhanh hơn theo từng giây. Biểu đồ tốc độ cho thấy hoạt động của đạo hàm, giá trị của nó cũng tăng lên. Điều này có nghĩa là phong trào không có điểm quan trọng.
Nó sẽ tiếp tục vô thời hạn. Nhưng nếu cơ thể đột ngột quyết định giảm tốc độ, hãy dừng lại và bắt đầu chuyển động khácchiều hướng? Trong trường hợp này, các chỉ số tọa độ sẽ bắt đầu giảm. Và hàm sẽ chuyển giá trị tới hạn và chuyển từ tăng sang giảm.
Trong ví dụ này, bạn có thể hiểu lại rằng các điểm cực trị trên đồ thị hàm số xuất hiện tại những thời điểm nó không còn đơn điệu.
Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
Được mô tả trước đó cho thấy rõ rằng đạo hàm về bản chất là tốc độ thay đổi của hàm. Sự sàng lọc này chứa đựng ý nghĩa vật lý của nó. Các điểm cực trị là các khu vực quan trọng trên biểu đồ. Có thể tìm ra và phát hiện chúng bằng cách tính giá trị của đạo hàm, giá trị của đạo hàm bằng 0.
Còn một dấu hiệu nữa, là điều kiện đủ cho một thái cực. Đạo hàm ở những vị trí uốn như vậy thay đổi dấu của nó: từ "+" thành "-" trong vùng cực đại và từ "-" thành "+" trong vùng cực tiểu.
Chuyển động dưới tác động của trọng lực
Hãy tưởng tượng một tình huống khác. Những đứa trẻ, đang chơi bóng, ném nó theo cách mà nó bắt đầu di chuyển theo một góc với đường chân trời. Tại thời điểm ban đầu, tốc độ của vật này là lớn nhất, nhưng dưới tác dụng của trọng lực, nó bắt đầu giảm và với cùng một giá trị thì mỗi giây bằng một giá trị xấp xỉ 9,8 m / s2. Đây là giá trị của gia tốc xuất hiện dưới tác dụng của trọng trường trái đất trong quá trình rơi tự do. Trên Mặt trăng, nó sẽ nhỏ hơn khoảng sáu lần.
Biểu đồ mô tả chuyển động của cơ thể là một hình parabol với các nhánh,hướng xuống. Cách tìm điểm cực trị? Trong trường hợp này, đây là đỉnh của hàm, nơi tốc độ của cơ thể (quả bóng) nhận giá trị bằng không. Đạo hàm của hàm số trở thành không. Trong trường hợp này, hướng, và do đó giá trị của tốc độ, thay đổi thành ngược lại. Cơ thể bay xuống với tốc độ nhanh hơn và nhanh hơn mỗi giây, và tăng tốc với cùng một tốc độ - 9,8 m / s2.
Đạo hàm cấp hai
Trong trường hợp trước, đồ thị của môđun vận tốc được vẽ dưới dạng một đường thẳng. Đường này đầu tiên hướng xuống dưới, vì giá trị của đại lượng này không ngừng giảm. Khi đạt đến 0 tại một trong các thời điểm, sau đó các chỉ số của giá trị này bắt đầu tăng lên và hướng biểu diễn đồ họa của mô-đun tốc độ thay đổi đáng kể. Dòng hiện đang hướng lên.
Vận tốc, là đạo hàm theo thời gian của tọa độ, cũng có một điểm tới hạn. Trong vùng này, chức năng, ban đầu giảm, bắt đầu tăng lên. Đây là vị trí của điểm cực trị của đạo hàm của hàm số. Trong trường hợp này, hệ số góc của tiếp tuyến bằng không. Và gia tốc, là đạo hàm thứ hai của tọa độ theo thời gian, thay đổi dấu từ “-” thành “+”. Và chuyển động từ chậm đồng đều trở nên tăng tốc đồng đều.
Biểu đồ tăng tốc
Bây giờ hãy xem xét bốn hình ảnh. Mỗi một trong số chúng hiển thị một đồ thị về sự thay đổi theo thời gian của một đại lượng vật lý như gia tốc. Trong trường hợp của "A", giá trị của nó vẫn dương và không đổi. Điều này có nghĩa là tốc độ của cơ thể, giống như tọa độ của nó, không ngừng tăng lên. Nếu mộttưởng tượng rằng vật thể sẽ chuyển động theo cách này trong một thời gian dài vô hạn, hàm phản ánh sự phụ thuộc của tọa độ vào thời gian sẽ không ngừng tăng lên. Do đó, nó không có vùng quan trọng. Cũng không có điểm cực trị nào trên đồ thị của đạo hàm, tức là tốc độ thay đổi tuyến tính.
Điều tương tự cũng áp dụng cho trường hợp "B" với gia tốc dương và liên tục tăng. Đúng vậy, ở đây các biểu đồ về tọa độ và tốc độ sẽ phức tạp hơn một chút.
Khi gia tốc có xu hướng bằng không
Xem hình "B", bạn có thể thấy một hình hoàn toàn khác đặc trưng cho chuyển động của cơ thể. Tốc độ của nó sẽ được mô tả bằng đồ thị như một hình parabol với các nhánh hướng xuống dưới. Nếu chúng ta tiếp tục dòng mô tả sự thay đổi của gia tốc cho đến khi nó giao với trục OX và xa hơn nữa, thì chúng ta có thể tưởng tượng rằng đến giá trị tới hạn này, khi gia tốc hóa ra bằng 0, thì tốc độ của vật thể sẽ tăng lên. càng ngày càng chậm. Điểm cực trị của đạo hàm của hàm tọa độ sẽ nằm ngay trên đỉnh của parabol, sau đó cơ thể sẽ thay đổi hoàn toàn bản chất của chuyển động và bắt đầu chuyển động theo hướng khác.
Trong trường hợp thứ hai, "G", không thể xác định chính xác bản chất của chuyển động. Ở đây chúng ta chỉ biết rằng không có gia tốc trong một số khoảng thời gian đang xét. Điều này có nghĩa là đối tượng có thể giữ nguyên vị trí hoặc chuyển động xảy ra với tốc độ không đổi.
Nhiệm vụ bổ sung tọa độ
Chúng ta hãy chuyển sang các nhiệm vụ thường thấy trong việc học đại số ở trường và được đề xuất chochuẩn bị cho kỳ thi. Hình bên dưới là đồ thị của hàm số. Yêu cầu tính tổng các điểm cực trị.
Hãy làm điều này cho trục y bằng cách xác định tọa độ của các vùng quan trọng nơi quan sát thấy sự thay đổi trong các đặc tính của hàm. Nói một cách đơn giản, chúng tôi tìm các giá trị dọc theo trục x cho các điểm uốn, sau đó tiến hành thêm các số hạng kết quả. Theo đồ thị, rõ ràng chúng nhận các giá trị sau: -8; -7; -5; -3; -2; một; 3. Điều này cộng với -21, đó là câu trả lời.
Giải pháp tối ưu
Không cần thiết phải giải thích tầm quan trọng của việc lựa chọn giải pháp tối ưu trong việc thực hiện các nhiệm vụ thực tế. Rốt cuộc, có nhiều cách để đạt được mục tiêu, và cách tốt nhất, theo quy luật, chỉ có một. Điều này là cực kỳ cần thiết, chẳng hạn như khi thiết kế tàu thủy, tàu vũ trụ và máy bay, các công trình kiến trúc để tìm ra hình dạng tối ưu của những vật thể nhân tạo này.
Tốc độ của các phương tiện phần lớn phụ thuộc vào mức độ giảm thiểu có thẩm quyền của lực cản mà chúng phải chịu khi di chuyển trong nước và không khí, do quá tải phát sinh dưới tác động của lực hấp dẫn và nhiều chỉ số khác. Một con tàu trên biển cần có những phẩm chất như ổn định khi có bão, đối với tàu sông thì mớn nước tối thiểu là rất quan trọng. Khi tính toán thiết kế tối ưu, các điểm cực trị trên đồ thị có thể đưa ra một cách trực quan ý tưởng về giải pháp tốt nhất cho một bài toán phức tạp. Các nhiệm vụ thuộc loại này thường làđược giải quyết trong nền kinh tế, trong các lĩnh vực kinh tế, trong nhiều tình huống cuộc sống khác.
Từ lịch sử cổ đại
Vấn đề cực đoan đã chiếm lấy ngay cả các hiền nhân cổ đại. Các nhà khoa học Hy Lạp đã làm sáng tỏ thành công bí ẩn về diện tích và thể tích thông qua các phép tính toán học. Họ là những người đầu tiên hiểu rằng trên một mặt phẳng gồm các hình khác nhau có cùng chu vi, hình tròn luôn có diện tích lớn nhất. Tương tự, một quả bóng có thể tích lớn nhất trong số các vật thể khác trong không gian có cùng diện tích bề mặt. Những nhân vật nổi tiếng như Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius đã cống hiến hết mình để giải quyết những vấn đề đó. Heron đã thành công rất tốt trong việc tìm ra các điểm cực trị, người đã sử dụng đến tính toán để tạo ra các thiết bị tài tình. Chúng bao gồm các máy tự động di chuyển bằng hơi nước, máy bơm và tuabin hoạt động trên cùng một nguyên tắc.
Xây dựng Carthage
Có một truyền thuyết, cốt truyện dựa trên việc giải quyết một trong những vấn đề nan giải. Kết quả của cách tiếp cận kinh doanh được chứng minh bởi công chúa Phoenicia, người đã tìm đến các nhà hiền triết để được giúp đỡ, là việc xây dựng Carthage. Thửa đất cho thành phố cổ kính và nổi tiếng này đã được trao cho Dido (đó là tên của người cai trị) bởi thủ lĩnh của một trong những bộ lạc châu Phi. Diện tích của khu phân bổ thoạt đầu dường như không lớn lắm, vì theo hợp đồng, nó phải được phủ một lớp oxhide. Nhưng công chúa đã ra lệnh cho binh lính của mình cắt nó thành những dải mỏng và làm một chiếc thắt lưng từ chúng. Hóa ra nó dài đến mức bao phủ cả trang web,nơi cả thành phố hòa vào.
Nguồn gốc của giải tích
Và bây giờ chúng ta hãy chuyển từ thời cổ đại sang thời đại sau. Điều thú vị là vào thế kỷ 17, Kepler đã được thúc đẩy để hiểu nền tảng của phân tích toán học qua một cuộc gặp gỡ với một người bán rượu. Người lái buôn thông thạo nghiệp vụ của mình đến mức có thể dễ dàng xác định thể tích của đồ uống trong thùng chỉ bằng cách hạ một garô sắt vào trong thùng. Suy nghĩ về một sự tò mò như vậy, nhà khoa học nổi tiếng đã xoay sở để giải quyết tình huống khó xử này cho chính mình. Hóa ra những người thợ khéo léo thời đó đã có công chế tạo những chiếc bình theo cách sao cho ở một độ cao và bán kính nhất định của chu vi vòng buộc chúng sẽ có sức chứa tối đa.
Đây là lý do Kepler phản ánh thêm. Bochars đã đi đến giải pháp tối ưu bằng một quá trình tìm kiếm lâu dài, những sai lầm và những nỗ lực mới, truyền kinh nghiệm của họ từ thế hệ này sang thế hệ khác. Nhưng Kepler muốn tăng tốc quá trình và học cách làm điều tương tự trong thời gian ngắn thông qua các phép tính toán học. Tất cả những phát triển của ông, được các đồng nghiệp tiếp thu, biến thành các định lý ngày nay được biết đến của Fermat và Newton - Leibniz.
Vấn đề về diện tích tối đa
Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một sợi dây dài 50 cm. Làm thế nào để tạo ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
Bắt đầu một quyết định, người ta nên tiến hành từ những sự thật đơn giản và đã biết. Rõ ràng là chu vi của hình của chúng ta sẽ là 50 cm, nó cũng bao gồm hai lần chiều dài của cả hai cạnh. Điều này có nghĩa là, khi đã chỉ định một trong số chúng là "X", thì số còn lại có thể được biểu thị là (25 - X).
Từ đây chúng tôi nhận đượccó diện tích bằng X (25 - X). Biểu thức này có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm nhận nhiều giá trị. Lời giải của bài toán yêu cầu tìm ra điểm cực đại, có nghĩa là bạn nên tìm ra điểm cực trị.
Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm đầu tiên và cân bằng nó bằng không. Kết quả là một phương trình đơn giản: 25 - 2X=0.
Từ đó chúng ta biết rằng một trong các cạnh X=12, 5.
Do đó, khác: 25 - 12, 5=12, 5.
Hóa ra lời giải là một hình vuông có cạnh 12,5 cm.
Cách tìm tốc độ tối đa
Hãy xem xét một ví dụ nữa. Hãy tưởng tượng rằng có một vật thể có chuyển động thẳng nghiêng được mô tả bởi phương trình S=- t3+ 9t2- 24t - 8, trong đó khoảng cách quãng đường đi được biểu thị bằng mét và thời gian tính bằng giây. Nó được yêu cầu để tìm tốc độ tối đa. Làm thế nào để làm nó? Đã tải xuống tìm thấy tốc độ, tức là, đạo hàm cấp một.
Ta được phương trình: V=- 3t2+ 18t - 24. Bây giờ, để giải bài toán, chúng ta một lần nữa cần tìm các điểm cực trị. Điều này phải được thực hiện theo cách tương tự như trong nhiệm vụ trước. Tìm đạo hàm đầu tiên của tốc độ và tính nó bằng 0.
Ta được: - 6t + 18=0. Do đó t=3 s. Đây là thời điểm mà tốc độ của cơ thể có một giá trị quan trọng. Chúng tôi thay dữ liệu thu được vào phương trình vận tốc và nhận được: V=3 m / s.
Nhưng làm thế nào để hiểu rằng đây chính xác là tốc độ tối đa, bởi vì các điểm tới hạn của một hàm có thể là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của nó? Để kiểm tra, bạn cần tìm giâyđạo hàm của tốc độ. Nó được biểu thị bằng số 6 với một dấu trừ. Điều này có nghĩa là điểm tìm được là điểm tối đa. Và trong trường hợp giá trị dương của đạo hàm cấp hai, sẽ có giá trị nhỏ nhất. Vì vậy, giải pháp tìm được hóa ra là đúng.
Các nhiệm vụ được đưa ra làm ví dụ chỉ là một phần của những nhiệm vụ có thể được giải quyết bằng cách có thể tìm thấy các điểm cực trị của một hàm. Trên thực tế, còn rất nhiều điều khác nữa. Và những kiến thức như vậy mở ra khả năng vô hạn cho nền văn minh nhân loại.
